ОГЭ
Задание 1993
Сторона ромба равна 50, а диагональ равна 80. Найдите площадь ромба.
- Пусть BD=80, тогда по свойству диагоналей ромба: $$ED=\frac{1}{2}BD=40$$
- Из прямоугольного треугольника EAD: $$EA=\sqrt{50^{2}-40^{2}}=30$$, тогда AC=60
- Из формулы площади ромба: $$S=\frac{1}{2}*80*60=2400$$
Задание 1994
Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 1 и HD = 28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма.
- Из прямоугольного треуголььника BDH : $$BH=\sqrt{53^{2}-28^{2}}=45$$
- $$AD=AH+AD=29$$, тогда площадь параллелограмма $$S=45*29=1305$$
Задание 1995
Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 5 и HD = 8. Найдите площадь ромба.
- $$AD=AH+HD=5+8=13$$, тогда по свойству ромба $$AB=13$$
- Из прямоугольного треугольника ABH: $$BH=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$$
- Из формулы площади ромба $$S=12*13=156$$
Задание 1996
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45° . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- Пусть $$\angle BAC=30^{\circ} ; \angle CAD=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=30+45=75^{\circ}$$
- По свойству углов параллелограмма: $$\angle B=180-75=105^{\circ}$$ - это и есть больший угол
Задание 2967
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 62° и 84°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
$$\angle B=62+84=146^{\circ}$$ $$\angle A=180-\angle A=180-146=34^{\circ}$$
Задание 3096
Высота BH ромба ABCD равна 10 и делит его сторону AD на отрезки AH=5 и HD=8. Найдите площадь ромба.
AD=5+8=13 S=AD*BH=13*10=130
Задание 3353
Сторона ромба равна 25, а диагональ равна 48. Найдите площадь ромба.
Введем обозначения, как показано на рисунке
Пусть AD=25, AC=48. Диагонали в ромбе делятся пополам и перпендикулярны, значит AH = 48/2 = 24. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AHD: $$HD = \sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{625-576}=7$$
Тогда BD = 7*2 =14
Площадь ромба вычисляется как половина произведния длин его диагоналей: $$S=0,5*14*48=336$$
Задание 4795
Сторона ромба равна 15, а диагональ равна 24. Найдите площадь ромба.
По свойству ромба, диагонали делятся пополам и под прямым углом, в таком случае мы можем по теореме Пифагора найти половину второй диагонали: $$\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$$. В таком случае вся вторая диагональ составляет 18. Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей: $$0,5*18*24=216$$
Задание 4843
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 12 и 7.
$$S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot7=42$$
Задание 4891
Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=8 и HD=9. Найдите площадь ромба.
$$BH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{(17-8)(17+8)}=15$$; $$S=17\cdot15=255$$
Задание 5272
Одна из сторон параллелограмма равна $$4\sqrt{3}$$ см, его площадь равна 12 см2, а острый угол между сторонами равен $$60^{\circ}$$. Найдите длину другой стороны параллелограмма.
Площадь параллелограмма вычисляется как произведение длин сторон на синус угла между ними. Пусть х - вторая сторона. Тогда; $$4\sqrt{3} * x * \sin 60^{\circ}=12 \Leftrightarrow$$$$x=\frac{12}{4\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$$
Задание 5361
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть a,b - стороны прямоугольника и параллелограмма. Площадь прямоугольника: $$S_{1}=ab$$, площадь параллелограмма: $$S_{2}=ab\sin\alpha$$, где $$\alpha$$ - острый угол между сторонами параллелограмма, тогда: $$\frac{1}{2}ab=ab\sin\alpha\Leftrightarrow$$$$\sin\alpha=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$$$\alpha=30^{\circ}$$
Задание 6707
Сторона ромба равна 17, а диагональ равна 16. Найдите площадь ромба
Из $$\Delta ABH$$: $$BH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15\Rightarrow$$ $$BD=30$$
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC*BD=$$$$\frac{1}{2}*30*16=240$$
Задание 7243
Сторона ромба равна 15, а диагональ равна 18. Найдите площадь ромба
Пусть $$BD\cap AC=H\Rightarrow$$ $$BH=HD=\frac{18}{2}=9$$ Из $$\Delta ABH$$: $$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=12$$$$\Rightarrow$$ $$AC=24$$