Перейти к основному содержанию

ОГЭ

Площади фигур

Параллелограмм

Задание 1993

Сто­ро­на ромба равна 50, а диа­го­наль равна 80. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ответ: 2400
Скрыть

  1. Пусть BD=80, тогда по свойству диагоналей ромба: $$ED=\frac{1}{2}BD=40$$
  2. Из прямоугольного треугольника EAD: $$EA=\sqrt{50^{2}-40^{2}}=30$$, тогда AC=60
  3. Из формулы площади ромба: $$S=\frac{1}{2}*80*60=2400$$

Задание 1994

Вы­со­та BH па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 1 и HD = 28. Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма BD равна 53. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ: 1305
Скрыть

  1. Из прямоугольного треуголььника BDH : $$BH=\sqrt{53^{2}-28^{2}}=45$$
  2. $$AD=AH+AD=29$$, тогда площадь параллелограмма $$S=45*29=1305$$

Задание 1995

Вы­со­та BH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 5 и HD = 8. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ответ: 156
Скрыть

  1. $$AD=AH+HD=5+8=13$$, тогда по свойству ромба $$AB=13$$
  2. Из прямоугольного треугольника ABH: $$BH=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$$
  3. Из формулы площади ромба $$S=12*13=156$$

Задание 1996

Диа­го­наль AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 30° и 45° . Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 105
Скрыть

  1. Пусть $$\angle BAC=30^{\circ} ; \angle CAD=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=30+45=75^{\circ}$$
  2. По свойству углов параллелограмма: $$\angle B=180-75=105^{\circ}$$ - это и есть больший угол

Задание 2967

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 62° и 84°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 34
Скрыть

$$\angle B=62+84=146^{\circ}$$ $$\angle A=180-\angle A=180-146=34^{\circ}$$

Задание 3096

Высота BH ромба ABCD равна 10 и делит его сторону AD на отрезки AH=5 и HD=8. Найдите площадь ромба.

Ответ: 130
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

AD=5+8=13 S=AD*BH=13*10=130

Задание 3353

Сторона ромба равна 25, а диагональ равна 48. Найдите площадь ромба.

Ответ: 336
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Введем обозначения, как показано на рисунке

Пусть AD=25, AC=48. Диагонали в ромбе делятся пополам и перпендикулярны, значит AH = 48/2 = 24. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AHD: $$HD = \sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{625-576}=7$$

Тогда BD = 7*2 =14

Площадь ромба вычисляется как половина произведния длин его диагоналей: $$S=0,5*14*48=336$$

Задание 4795

Сторона ромба равна 15, а диагональ равна 24. Найдите площадь ромба.

Ответ: 216
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

По свойству ромба, диагонали делятся пополам и под прямым углом, в таком случае мы можем по теореме Пифагора найти половину второй диагонали: $$\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$$. В таком случае вся вторая диагональ составляет 18. Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей: $$0,5*18*24=216$$

Задание 4843

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 12 и 7. 

Ответ: 42
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot7=42$$

Задание 4891

 Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=8 и HD=9. Найдите площадь ромба. 

Ответ: 255
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$BH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{(17-8)(17+8)}=15$$; $$S=17\cdot15=255$$

Задание 5272

Одна из сторон параллелограмма равна $$4\sqrt{3}$$ см, его площадь равна 12 см2, а острый угол между сторонами равен $$60^{\circ}$$. Найдите длину другой стороны параллелограмма. 

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Площадь параллелограмма вычисляется как произведение длин сторон на синус угла между ними. Пусть х - вторая сторона. Тогда; $$4\sqrt{3} * x * \sin 60^{\circ}=12 \Leftrightarrow$$$$x=\frac{12}{4\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$$

Задание 5361

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть a,b - стороны прямоугольника и параллелограмма. Площадь прямоугольника: $$S_{1}=ab$$, площадь параллелограмма: $$S_{2}=ab\sin\alpha$$, где $$\alpha$$ - острый угол между сторонами параллелограмма, тогда: $$\frac{1}{2}ab=ab\sin\alpha\Leftrightarrow$$$$\sin\alpha=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$$$\alpha=30^{\circ}$$

Задание 6302

Сторона ромба равна 26, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Ответ: 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Из ABH: $$\angle B=90-\angle A=30\Rightarrow$$ $$AH=\frac{1}{2}AB=13$$

$$HD=AD-AH=13$$

Задание 6707

Сторона ромба равна 17, а диагональ равна 16. Найдите площадь ромба

Ответ: 240
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Из $$\Delta ABH$$: $$BH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15\Rightarrow$$ $$BD=30$$

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC*BD=$$$$\frac{1}{2}*30*16=240$$

Задание 7243

Сторона ромба равна 15, а диагональ равна 18. Найдите площадь ромба

Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$BD\cap AC=H\Rightarrow$$ $$BH=HD=\frac{18}{2}=9$$ Из $$\Delta ABH$$: $$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=12$$$$\Rightarrow$$ $$AC=24$$