ОГЭ
Задание 10975
Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 11036
Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 11060
Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 14857
Пусть $$S_{ABCD}=S.$$ Тогда:
$$S_{ADB}=\frac{S}{2};S_{AGB}=\frac{GB}{DB}S_{ADB}=\frac{1}{4}\cdot\frac{S}{2}=\frac{S}{8};\frac{HD}{CB}=\frac{DE}{EB}=\frac{1}{3}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AD$$
$$S_{AHI}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot S=\frac{1}{3}S.$$ Тогда $$S_{FGI}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot S_{AHI}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}S=\frac{1}{24}S$$
Итого сумма: $$(\frac{S}{8}+\frac{S}{24})\cdot2=\frac{4S}{12}=\frac{4\cdot12^2}{12}=48$$
$$AB^2+AD^2=(12\sqrt{2})^2\Rightarrow AB^2=12^2=S$$
Задание 15285
Треугольники MBN и АВС подобны, так как MN параллельна АС.
Из подобия:
$$\frac{MN}{AC}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}.$$ Это коэффициент подобия.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть
$$\frac{S_{mbn}}{S_{abc}}=\frac{9}{16}.$$
Тогда $$S_{mbn}=\frac{9}{16}\cdot S_{abc}$$
$$S_{mbn}=\frac{9}{16}\cdot80=45$$
Задание 15613
$$S=\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot47^2\cdot\sin150^{\circ}=\frac{47^2}{4}=552,25$$