Перейти к основному содержанию

ОГЭ

Окружность, круг и их элементы

Касательная, хорда, секущая, радиус

 

Задание 13265

Хорды АС и BD окружности пересекаются в точке Р, BP = 9, СР = 15, DP = 20. Найдите АР.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13286

Хорды АС и BD окружности пересекаются в точке P, ВР = 12, СР = 6, ВР = 13. Найдите АР.

Ответ: 26
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13350

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD , если AB=40, CD=42, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 21.

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13623

В окружности с центром О отрезки АС и BD — диаметры. Угол AOD равен 108°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13645

Отрезок AB=40 касается окружности радиуса 30 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13753

Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды  AC, если BD=1, а радиус окружности равен 5.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13835

Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD=1, а радиус окружности равен 5.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13856

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72o. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 14777

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна $$66^{\circ}.$$ Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 33
Скрыть

$$\angle ABC$$ - угол между хордой и касательной. Он равен половине величины отсекаемой дуги, то есть $$33^{\circ}.$$

Задание 14854

Радиус окружности с центром в точке O равен 50, длина хорды AB равна 96. Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k. В ответе запишите произведение найденных значений.
Ответ: 2304
Скрыть

 

$$OA=50;OM\perp AB;OB=50\Rightarrow AM=MB=48\Rightarrow OM=\sqrt{50^2-48^2}=14$$

$$\Rightarrow MN=50-14=36$$

$$LM=50+14=64$$

$$LM\cdot MN=2304$$

Можно по свойству хорд: $$LM\cdot MN=AM\cdot MB=48\cdot48=2304$$

Задание 14973

Дана окружность с центром в точке O. Две точки этой окружности соединены хордой AB = 4. Угол AOB, равен 60o. Найдите радиус окружности.

Ответ: 4
Скрыть

$$OA=OB$$ - радиусы $$\Rightarrow \angle OAB=\angle OBA=\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}=60^{\circ}\Rightarrow \Delta AOB$$ - равносторонний $$\Rightarrow OA=4.$$

Задание 15166

Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду MN этой окружности в её середине — точке K. Найдите длину хорды MN, если KB = 1, а радиус окружности равен 13.
Ответ: 10
Скрыть

 

 

Построим радиусы ОН и ОМ.

Так как радиус ОВ перпендикулярен хорде МН, то треугольники ОКМ и ОКН прямоугольные.

В треугольниках ОКМ и ОКН катет ОК общий, а гипотенузы $$ОМ = ОН = R = 13$$ см.

Тогда прямоугольные треугольники ОКМ и ОКН равны по катету и гипотенузе, а значит $$КМ = КН.$$

Радиус $$ОВ = 13 = ВК + ОК = 1 + ОК.$$

$$ОК = 13 – 1 = 12$$ см.

По теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника ОКН определим длину катета КН.

$$КН^2=ОН^2-ОК^2=169-144=25.$$

$$КН=5$$ см.

Тогда хорда $$МН=5+5=10$$ см.

Задание 15748

Найдите величину (в градусах) вписанного в окружность угла, опирающегося на хорду, равную радиусу окружности. В ответе запишите произведение найденных значений.
Ответ: 4500
Скрыть

$$\Delta AOD$$ и $$\Delta COB$$ - равносторонние $$\Rightarrow\angle AOD=\angle COB=60^{\circ}\Rightarrow\cup AD=360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}$$.

$$\cup CB=60^{\circ}\Rightarrow\angle AMD=\frac{300^{\circ}}{2}=150^{\circ}, \angle CKB=\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}$$

$$150\cdot30=4500$$

Задание 16126

К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 65, AO = 97.
Ответ: 72
Скрыть

$$R = OB$$

По теореме Пифагора:

$$ОВ = \sqrt{АО^2 - АВ^2}$$

$$ОВ = \sqrt{97^2-65^2}=\sqrt{5184}=72$$

 

Задание 16745

Касательные в точках $$A$$ и $$B$$ к окружности с центром в точке $$O$$ пересекаются под углом $$88^{\circ}$$. Найдите угол $$ABO$$. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 44