ОГЭ
Задание 6443
Катеты прямоугольного треугольника равны 24 и 7. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Пусть c-гипотенуза, h-высота $$c=\sqrt{24^{2}+7^{2}}=25$$ (по т. Пифагора) $$h=\frac{24*7}{25}=6,72$$
Задание 6445
Площадь прямоугольного треугольника равна $$49\sqrt{12}$$ . Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы треугольника.
Пусть x-гипотенуза AB, тогда $$AC=\frac{x}{2}$$
$$S=\frac{1}{2}*AB*AC*\sin A=49\sqrt{12}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{2}*x*\frac{x}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}=49\Leftrightarrow$$$$\sqrt{12} x^{2}=49*2*2^{3}\Leftrightarrow$$ $$x=7*4=28$$
Задание 6547
В треугольнике ABC угол C равен 90, CH — высота, BC=15, CH=9. Найдите sin A
$$\sin A=\sin HCB$$( из $$\Delta ABC\sim \Delta HCB$$)
$$\sin HCB=\frac{HB}{CB}$$
$$HB=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=12$$
$$\sin HCB=\frac{12}{15}=0,8$$
Задание 6639
В треугольнике АВС углы А и С равны 32° и 68° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
1) $$\angle B=180-(\angle A+\angle \angle C)=80$$
2) $$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle B=40$$(DB - биссектриса)
3) $$\angle HBC=90-\angle C=22$$($$\Delta BHC$$ - прямоугольный)
4) $$\angle DBH=\angle DBC-\angle HBC=18$$
Задание 6708
В треугольнике ABC $$AC=\sqrt{5}$$ , $$BC=\sqrt{11}$$ , угол C равен 90. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы:
$$R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{11+5}=2$$
Задание 6781
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
По т. Пифагора : $$\sqrt{7^{2}+24^{2}}=25$$
Задание 6783
Катеты прямоугольного треугольника равны $$5\sqrt{3}$$ и 5. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
Пусть CB=5; $$AC=5\sqrt{3}$$; $$CB<AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle A<\angle B$$ и $$\sin A$$ - наименьший
$$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=10$$; $$\sin A=\frac{CB}{AB}=0,5$$
Задание 6998
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$4\sqrt{51}$$ , а сторона AB равна 40. Найдите cos B
1) из $$\Delta ABH$$: $$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=$$$$\sqrt{40^{2}-(4\sqrt{51})^{2}}=$$$$\sqrt{1600-816}=\sqrt{784}=28$$ 2) $$\cos \beta=\frac{BH}{AB}=$$$$\frac{28}{40}=0,7$$
Задание 7084
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, tg A=0,75. Найдите BC.
$$tg A=\frac{CB}{AC}\Rightarrow$$ $$CB=AC*tgA=0,75*8=6$$
Задание 7131
Катеты прямоугольного треугольника равны $$5\sqrt{3}$$ и 5 . Найдите наименьший угол этого треугольника.
Меньший угол напротив меньшей стороны . Пусть $$BC=5\Rightarrow$$ $$\angle A$$-меньший
$$tg\angle A=\frac{BC}{AB}=$$$$\frac{1}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow$$ $$\angle A=30$$
Задание 7244
В треугольнике ABC угол C равен 90, AC=16, $$tg A=\frac{3}{4}$$ . Найдите AB.
1) $$tg A=\frac{BC}{AC}\Rightarrow$$ $$BC=AC tgA=16*\frac{3}{4}=12$$ 2) по т. Пифагора : $$AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=20$$
Задание 7274
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{15}$$ и 3. Найдите косинус наибольшего угла этого треугольника.
Пусть $$AC=3\sqrt{15}; CB=3$$; Наибольший угол в прямоугольном треугольнике составляет 90 (прямой) $$\Rightarrow$$ $$\cos 90=0$$