Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C7) Числа и их свойства

Числа и их свойства

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10446

В рамках проекта ежегодной аттестации учителей начальных классов, в котором приняли участие два города А и В, 51 учитель написал тест. Известно, что из каждого города тест написали хотя бы два учителя, причем каждый набрал целое положительное количество баллов, а после предварительных подсчетов средний балл в каждом городе оказался целым числом. Затем один из учителей, писавших тест, переехал из города А в город В, и средние баллы по городам пришлось пересчитать.

а) Мог ли средний балл в городе А после пересчета вырасти в два раза?
б) Известно, что после пересчета средние баллы в городах выросли на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в городе В равняться 1?
в) Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в городе В в условиях пункта б) (если после пересчета средние баллы в городах выросли на 10%)
Ответ: нет, нет, 3
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10292

Имеются два многочлена от целочисленной переменной x :

$$p(x)=1+x^{2}+x^{4}+...+x^{2k}$$
$$q(x)=1+x+x^{2}+...+x^{k}$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$ от целочисленной переменной x , определенную для тех значений x , для которых $$q(x)\neq 0$$

а) Может ли функция $$f(x)$$ принимать не целые значения при k=3?
б) Может ли функция $$f(x)$$ принимать не целые значения при k=2 ?
в) При каких натуральных значениях k функция $$f(x)$$ может принимать только целые значения?
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10266

За круглым столом сидели 110 человек, а на столе лежали абрикосы. Для каждой пары соседей число съеденных ими абрикосов отличается на 3.

а) Могли ли быть съедены все абрикосы, если изначально их было 1000?
б) Какое наименьшее число абрикосов могло остаться, если изначально их было 1000?
в) Пусть один из присутствующих съел a абрикосов, а другой b. Найдите наибольшее возможное значение a-b при условии, что изначально было 10 000 абрикосов?
Ответ: нет; 1; 165
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10198

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник размера $$m\times n$$ клеток и проведена его диагональ. Все вершины прямоугольника лежат в узлах сетки и стороны прямоугольника не пересекают клетки.

а) Через сколько узлов сетки пройдет диагональ, если $$m=100, n=64$$
б) На сколько частей эта диагональ делится линиям сетки, если $$m=195, n=221$$
в) Найдите m и n, если известно, что числа m и n взаимно простые, m<n и диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 2020 клеток этого прямоугольника.
Ответ: А)5 Б)403 В)(2;2021), (5;506), (11;203)
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10179

Два натуральных числа a и b таковы, что если к десятичной записи числа приписать справа десятичную запись числа b, то получится число, большее произведения a и b на 32.

а) Приведите пример таких чисел a и b 
б) Может ли число b быть двухзначным?
в) Найдите все числа a и b , удовлетворяющие условию задачи. (Для «крутых» ‐ ноль натуральным числом не считается)
Ответ: А)a=12, b=8 Б)нет В)a=12, b=8 или a=23, b=9
Аналоги к этому заданию:

Задание 10173

Последовательность $$(a_{n})$$ состоит из 100 натуральных чисел. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше его на 150.

а) Может ли такая последовательность быть образована ровно пятью различными числами?
б) Чему может равняться , $$a_{100}$$ если $$a_{1}=75$$ ?
в) Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел такой последовательности?
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10139

В фирме имеется n отделов, в одном из которых работает 1/8 сотрудников, в другом ‐ 210 сотрудников, а численность каждого из оставшихся отделов составляет 1/9 от всей численности сотрудников фирмы.

а) Может ли быть n>9 ?
б) Найдите наименьшее возможное значение n
б) Найдите наибольшее возможное значение n
Ответ: нет; 8; 9
Аналоги к этому заданию:

Задание 10120

Написаны три различных натуральных числа. Затем написаны три различных попарных произведения этих чисел и произведение всех трех исходных чисел. Сумма полученных семи чисел оказалась равной 1514 .

а) Может ли хотя бы одно из исходных чисел быть нечетным?
б) Может ли одно из исходных чисел быть больше чем число 200 ?
в) Найдите три исходных числа.
Ответ: А) нет Б) нет В)2, 4 ,10
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10101

Про натуральное число n известно, что оно делится на 17, а число, полученное из числа n вычеркиванием последней цифры, делится на 13.

а) Приведите пример такого числа n
б) Сколько существует трехзначных чисел n ?
в) Найдите наибольшее шестизначное число n .
Ответ: А)да, например, 136 Б) 5 В) 999838
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10078

а) Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей $$\frac{14}{25}$$ и $$\frac{21}{40}$$ получаются натуральные числа
б) Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей $$\frac{35}{66}$$,$$\frac{28}{165}$$ и $$\frac{25}{231}$$ получаются натуральные числа
в) Найдите наибольшую дробь, при делении на которую каждой из дробей $$\frac{154}{195}$$,$$\frac{385}{156}$$ и $$\frac{231}{130}$$ получаются натуральные числа
Ответ: А) 42/5 Б) 700/33 В) 77/780
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10058

Известно, что m и n – натуральные числа.

а) Существует ли пара чисел n и m, для которых выполняется равенство $$\frac{1}{n}-\frac{1}{m}=\frac{1}{72}$$ ?
б) Существует ли пара чисел п и т, для которых выполняется равенство $$\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}=\frac{1}{72^2}$$?
в) Найдите все пары чисел п и т, для которых выполняется равенство $$\frac{1}{n^{3}}-\frac{1}{m^2}=\frac{1}{72}$$.
Ответ: а)да, например, m=9,n=8 б)да, например, m=24,n=8 в) $$(m;n)\in \left \{(3;2);(24;4) \right \}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9953

Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел в А равно q и никакие два числа в множестве А не являются взаимно простыми. Найдите все числа множества А, если:

а) q=210 , произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа.
б) q=390, произведение всех чисел из А не делится на 160 и не является четвертой степенью никакого целого числа.
в) q=330, произведение всех чисел из А не является четвертой степенью никакого целого числа, а сумма всех чисел из А равна 755.
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9881

Саша придумала уравнение $$n^{3}+13n=k^{3}+273$$ 

а) Может ли данное уравнение иметь натуральные решения при k=21?
б) Может ли данное уравнение иметь натуральные решения при $$n\geq 2020$$
в) Найдите все пары (n;k) натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению.
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9806

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.

а) Может ли наибольшее из этих одиннадцати чисел равняться 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех одиннадцати чисел.
Ответ: нет; нет; $$\frac{123}{11}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9786

Вовочка написал домашнее сочинение и допустил орфографические и пунктуационные ошибки. Затем его сестра проверила сочинение и исправила часть ошибок. В новом тексте количество пунктуационных ошибок оказалось в пределах от 15,5% до 18% от числа пунктуационных ошибок в старом тексте. Количество орфографических ошибок уменьшилось втрое и составило 25% от числа пунктуационных ошибок в первоначальном тексте.

а) Может ли в новом тексте содержаться ровно 5 ошибок?
б) Может ли в новом тексте содержаться ровно 6 ошибок?
в) Какое наименьшее число ошибок могло содержаться в первоначальном тексте?
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9686

В классе учится 15 мальчиков и n девочек. Анализируя успеваемость учащихся по предмету за полугодие, завуч заметил, что общее количество оценок в журнале составляет $$n^{2}+13n-2$$, причём все ученики имеют одинаковое количество оценок.

а) Может ли в классе быть 16 девочек?
б) Сколько может быть девочек в классе?
в) Сколько оценок получил каждый ученик по предмету за полугодие?
Ответ: а)нет б)13 в)12
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9666

На доске написано 12 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 16.

а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 18?
б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 11?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел
Ответ: а) нет; б) нет; в) 11,75
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9638

а) Существует ли пара натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 5, а наименьшее общее кратное – 123?
б) Существует ли пара натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 7, а наименьшее общее кратное – 294?
в) Найдите все пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 13, а наименьшее общее кратное – 78.
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9388

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 14 раз больше, либо в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7424.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9368

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 12 раз больше, либо в 12 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 8750.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9167

Будем называть дробь «простой», если её числитель равен 1, а знаменатель – натуральное число.

а) Запишите число 1 в виде суммы трёх различных простых дробей.

б) Можно ли записать число 1 в виде суммы двух различных простых дробей?

в) Какие действительные числа, меньшие 1, можно записать в виде суммы некоторого числа различных простых дробей?

Ответ: да; нет; положительное рациональное число, меньшее 1
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9051

На сайте школы идет голосование на звание «Лучший ученик года», где каждый посетитель голосует только за одного из претендентов. Рейтинг каждого претендента (доля голосов, отданных за него) выражается в процентах, округленных до целого числа. Например, числа 9,3; 17,5 и 19,9 округляются до 9; 18 и 20 соответственно.

а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Мог ли рейтинг одного из претендентов равняться 41?

б) Пусть претендентов четверо. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?

в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого претендента равнялся 5. Это число не изменилось и после того, как Игорь проголосовал за него. При каком наименьшем числе отданных за всех претендентов голосов, включая Игоря, такое возможно?

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8877

На листочке записано 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 7, среднее арифметическое семи наибольших из них равно 16.

а) Может ли наименьшее из 13 чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех 13 чисел равняться 12?

в) Пусть P – среднее арифметическое всех 13 чисел, Q – седьмое по величине число. Найдите наибольшее значение выражения.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 8723

В ящике лежит 58 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 976 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1036 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 12 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Ответ: нет; нет; 240 гр.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8703

В ящике лежит 76 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 85 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 124 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 8 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Ответ: нет, нет, 676 гр.
Аналоги к этому заданию:

Задание 1339

Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние $$n^{k+1}-n!=5(30k+11)$$

Ответ: $$n=5 , k=3$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1338

Перед каж­дым из чисел 5, 6, . . ., 10 и 12, 13, . . ., 16 про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего к каж­до­му из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел пер­во­го на­бо­ра при­бав­ля­ют каж­дое из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел вто­ро­го на­бо­ра, а затем все 30 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Ответ: 1 и 645
Аналоги к этому заданию:

Задание 1337

Мно­же­ство А со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел. Ко­ли­че­ство чисел в А боль­ше семи. Наи­мень­шее общее крат­ное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наи­боль­ший общий де­ли­тель боль­ше еди­ни­цы. Про­из­ве­де­ние всех чисел из А де­лит­ся на 1920 и не яв­ля­ет­ся квад­ра­том ни­ка­ко­го це­ло­го числа. Найти числа, из ко­то­рых со­сто­ит А.

Ответ: {6,10,14,30,42,70,105,210}
Аналоги к этому заданию:

Задание 1336

Най­ди­те все пары  $$(x;y)$$  целых чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щие си­сте­ме не­ра­венств:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}< 18x-20y-166\\ 32x-y^{2}> x^2+12y+271\end{matrix}\right.$$

Ответ: (12;-8)
Аналоги к этому заданию:

Задание 1335

Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния $$2^{m}-3^{n}=1$$

Ответ: m=2 , n=1
Аналоги к этому заданию:

Задание 1334

Най­ди­те все трой­ки на­ту­раль­ных чисел k, m и n, удо­вле­тво­ря­ю­щие урав­не­нию $$2\cdot k!=m!-2\cdot n! (1!=1;2!=1*2;n!=1*2*...*n)$$

Ответ: k=1 ,n=2, k=3 ; k=n=3 , m =4 ; k=2, n=1, m=3
Аналоги к этому заданию:

Задание 1333

Каж­дое из чисел 2, 3, …, 7 умно­жа­ют на каж­дое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каж­дым из по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ний про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего все 54 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Ответ: 1 и 4131
Аналоги к этому заданию:

Задание 1332

Наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее число x, равно  $$\frac{x^{2}+6}{7}$$  Най­ди­те все такие зна­че­ния x.

Ответ: $$1 ; \sqrt{8}; \sqrt{15}; \sqrt{22}; \sqrt{29} ; 6$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1331

За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за про­иг­рыш ─ 0 очков. В тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие m маль­чи­ков и d де­во­чек, причём каж­дый иг­ра­ет с каж­дым два­жды.

а) Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать де­воч­ки, если m = 3, d = 2.
б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d = 10.
в) Ка­ко­вы все воз­мож­ные зна­че­ния d, если m = 7d и из­вест­но, что в сумме маль­чи­ки на­бра­ли ровно в 3 раза боль­ше очков, чем де­воч­ки?
Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.
Аналоги к этому заданию:

Задание 1330

Дано трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число (число не может на­чи­нать­ся с нуля), не крат­ное 100.
а) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 90?
б) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 88?
в) Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?
Ответ: а) да ; б) нет ; в) 91