ЕГЭ Профиль

←
(C6) Задача с параметром

Неравенства с параметром

→
 

Задание 10445

При каких значениях b неравенство $$x^{2}+(2a+4b)x+2a^{2}b+4b^{2}-2ab+6b+15\leq 0$$ не имеет решений ни при одном значении a?

Ответ: $$(\frac{5}{7};1)$$
Решение 1 Решение 2 Предложить свое решение / сообщить об ошибке
 

Задание 10512

Найдите все значения параметра
$$a\neq 0$$, такие что неравенство $$\log^{2}_{2}(x^{2}+2ax+a^{2}-a+1)-\log_{2}\frac{a^{2}}{6}\cdot \log_{2}(x^{2}+2ax+a^{2}-a+1)\leq 0$$
не имеет решений.
Ответ: $$(-3-\sqrt{15};0)$$
Решение 1 Решение 2 Решение 3 Предложить свое решение / сообщить об ошибке
 

Задание 10660

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых неравенство $${{\sin }^{{\rm 4}} x\ }+{{\cos }^{{\rm 4}} x\ }>a\cdot {\sin x\ }\cdot {\cos x\ }$$ выполнено при любом значении $$x$$.

Ответ: (-1;1)
Решение 1 Решение 2 Решение 3 Предложить свое решение / сообщить об ошибке
 

Задание 11090

Найдите все значения параметра $$a$$ при каждом из которых множество решений неравенства $$2+\sqrt{x^2+ax}>x$$ содержит отрезок $$[4;7]$$

Ответ: (-3;$$\infty $$)
Решение 1 Решение 2 Предложить свое решение / сообщить об ошибке
 

Задание 11148

Найдите все значения $$a,$$ при каждом из которых неравенство $$2x^3+9x+3\left|x+a-2\right|+2\left|2x-a+2\right|+\sqrt[5]{2x-3}\le 16$$ выполняется для всех значений $$x\in \left[-2;1\right].$$

Ответ:
Решение 1 Предложить свое решение / сообщить об ошибке
Скрыть

Поскольку неравенство должно выполняться для всех значений $$x\in \left[-2;1\right]$$, то оно должно выполняться и при $$x=1.$$ Подставим $$x=1$$ в неравенство: $$11+3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|-1\le 16$$ или $$3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|\le 6$$ $$(\cdot )$$.

Рассмотрим функцию $$f\left(a\right)=3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|$$ на трёх промежутках: 
$$1) \left\{ \begin{array}{c}a\ge 4 \\ f\left(a\right)=3\left(a-1\right)+2\left(a-4\right)=5a-11 \end{array}\right.$$ 
$$2) \left\{ \begin{array}{c}1<a<4 \\ f\left(a\right)=3\left(a-1\right)+2\left(4-a\right)=a+5 \end{array}\right.$$ 
$$3) \left\{ \begin{array}{c}a\le 1 \\ f\left(a\right)=3\left(1-a\right)+2\left(4-a\right)=-5a+11 \end{array}\right.$$ 
При $$a>1$$ функция возрастает, а при $$a<1$$ убывает. Следовательно, она принимает наименьшее значение в точке $$a=1.$$ Имеем: $$f_{min}=f\left(1\right)=6.$$ Значит, неравенство $$(\cdot )$$ может быть выполнено только при $$a=1.$$

При $$a=1$$ получим $$2x^3+9x+3\left|x-1\right|+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}\le 16.$$

Поскольку $$x\in \left[-2;1\right],$$ то $$2x^3+9x+3\left(1-x\right)+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}\le 16\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 2x^3+6x+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}-13\le 0\ \left(\cdot \cdot \right).$$

Пусть $$g\left(x\right)=2x^3+6x+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}-13,\ x\in \left[-2;1\right].$$

При $$x\in \left[-2;-\frac{1}{2}\right];g\left(x\right)=2x^3+6x-2\left(2x+1\right)+\sqrt[5]{2x-3}-13=$$ $$=2x^3+2x+\sqrt[5]{2x-3}-15.$$

При $$x\in \left[-\frac{1}{2};1\right];g\left(x\right)=2x^3+6x+2\left(2x+1\right)+\sqrt[5]{2x-3}-13=$$ $$=2x^3+10x+\sqrt[5]{2x-3}-11$$ функция $$g\left(x\right)$$ также возрастающая, как сумма возрастающих функций. И поскольку $$g\left(1\right)=0,$$ то при всех $$x\in \left[-2;1\right]$$ выполняется неравенство $$(\cdot \cdot )$$

 

Задание 11279

Найдите все значения параметра а, при которых неравенство $$|\cos^{2}x+0,5\sin 2x+(1-a)\sin^{2}x|\leq 1,5$$ выполняется для любого действительного числа х.

Ответ: $$[0;2,4]$$
Решение 1 Решение 2 Решение 3 Предложить свое решение / сообщить об ошибке
 

Задание 11715

Найдите все значения $$\alpha$$, при каждом из которых оба числа $$3\sin \alpha +5$$ и $$9\cos 2\alpha-36\sin \alpha-18$$ являются решениями неравенства $$\frac{(25x-3x^{2}+18)\sqrt{x-1}}{\log_{4}|x-7|-1}\geq 0$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n,n \in Z$$
Решение 1 Решение 2 Решение 3 Предложить свое решение / сообщить об ошибке
 

Задание 11857

Найдите все значения параметра а, при которых неравенство $$\cos x-2\sqrt{x^{2}+9}\leq -\frac{x^{2}+9}{a+\cos x}-a$$ имеет единственное решение.

Ответ: $$2$$
Решение 1 Решение 2 Предложить свое решение / сообщить об ошибке
 

Задание 12475

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство $$(4\left|x\right|-a-3)(x^2-2x-2-a)\le 0$$ имеет хотя бы одно решение из промежутка [-4; 4].

Ответ: [-3; 22]
Предложить свое решение / сообщить об ошибке
 

Задание 12497

Найдите все значения а, при каждом из которых любое значение из промежутка $$[-1,5;\ -0,5]$$ является решением неравенства $$(4\left|x\right|-a-3)(x^2-2x-2-a)\ge 0$$

Ответ: $$(-\infty ; -3); (-3; -1]; 1; [3,25; +\infty )$$
Предложить свое решение / сообщить об ошибке
 

Задание 13696

Найдите все такие значения а, при каждом из которых неравенство $$-1\leq |\sin x(a-\cos 2x)|\leq 1$$ верно при всех действительных значениях х.

Ответ: $$[1-1,5\sqrt[3]{4};0]$$
Видео-решение Предложить свое решение / сообщить об ошибке
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13779

Найдите все такие значения а, при каждом из которых неравенство $$-1\leq \cos x(\cos 2x -a-1)\leq 1$$ верно при всех действительных значениях х.

Ответ: $$[-1;1,5\sqrt[3]{4}-2]$$
Видео-решение Предложить свое решение / сообщить об ошибке
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14238

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$$\lg(x^2(x-2a)+x(2+a)+1-a^2)=\lg(x^2-a^2x+2x-a^2+1)$$

имеет ровно два различных действительных корня.

Ответ: $$(-\infty;-2);$$ $$(-1;\frac{1-\sqrt5}{2}];{0};$$$$[1;\frac{1+\sqrt5}{2})$$.
Решение 1 Решение 2 Предложить свое решение / сообщить об ошибке
 

Задание 14346

Найдите наибольшее значение параметра $$a$$, при котором неравенство $$a\sqrt{a}(x^{2}-2x+1)+\frac{\sqrt{a}}{x^{2}-2x+1}\leq \sqrt[4]{a^{3}}|\sin \frac{\pi x}{2}|$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$\frac{1}{16}$$
Решение 1 Решение 2 Предложить свое решение / сообщить об ошибке

Задание 15057

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых неравенство

$$a+|x|+\frac{x^2+(a-2)^2}{a+|x|}\leq2\sqrt{x^2+(a-2)^2}$$

имеет единственное решение.

Ответ: 1
Решение 1 Предложить свое решение / сообщить об ошибке