Уравнения с параметром

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение

$$\frac{x^3+2ax^2-4a}{ax^2+x-3a}=0$$

имеет ровно два различных корня.

(Автор задачи Николай Журавлев)

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение

$$\pi\cdot\cos(\pi^{2x-x^2})=a-\sqrt{3}\cdot\pi\cdot\sin(\pi^{2x-x^2})$$

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых уравнение $$(a-x)^2+4a+1=(2x+1)^2-8|x|$$ имеет четыре различных корня.

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение

$$|\log_5(x^2)-a|-|\log_5 x+2a|=(\log_5 x)^2$$

имеет ровно четыре решения.

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых уравнение $$2a^2+3ax-2x^2-8a-6x+10|x|=0$$ имеет четыре различных корня.

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение:

$$\frac{a}{25^x}-a=2-\frac{25^{-2x}}{5}$$

имеет ровно 2 корня, хотя бы один из которых не менее 0,5.

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение:

$$3\cdot\sqrt[5]{x+2}=16a^2\cdot\sqrt[5]{32x+32}+\sqrt[10]{x^2+3x+2}$$

имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение

$$5x+\frac{18}{\sqrt{x^2+36}}=a\sqrt{x^2+36}$$

имеет хотя бы один корень.

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение

$$(\ctg x+3)^2+2a^3+3a^2=(a^2+2a+3)(\ctg x+3)$$

имеет ровно 2 решения на интервале $$(-\frac{\pi}{2};\pi)$$

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение

$$|(2x - a)^2 - |x| - 28| + 2|x| = 16$$

имеет ровно три решения.

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение

$$17|x-a|+|a^2-7x+12|+|a^2+2x-15|=|2a^2-6a+x-3|+|4|x|-|x+3a||$$

имеет хотя бы один корень

При каких $$x$$ для любого $$y$$ существует $$z$$ такое, что

$$\sin(x+y+z)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})\cdot|y+\frac{1}{2}|+\frac{|y-\frac{3}{2}|}{2\cos x}$$?

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение

$$x^6-6ax^5+12a^2x^4-8a^3x^3-7x^2+14ax-6=0$$

имеет ровно два корня.

(Автор задачи Николай Журавлев)

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение:

$$|-a^2-a+x+32|+|-a^2+a+x+3|=2a-29$$

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (-2;-1).

При каких значениях параметра $$a$$ уравнения $$4^{x+1}+2^{x+4}=2^{x+2}+16$$ и $$|a-9|\cdot3^{x-2}+a\cdot9^{x-1}=1$$ равносильны?