ЕГЭ Профиль
Задание 10845
$$a+1\ge 0,\ a\ge -1.$$ Пусть $${\cos 3x\ }=t,t\in \left[-1;1\right],\ b=\sqrt{a+1}+1,\ b\ge 1$$.
Рассмотрим функцию $$f\left(t\right)=\frac{2t-b}{t^2-b^2-1}$$, исследуем ее при помощи производной.
$$f'\left(t\right)=\frac{2\left(t^2-b^2-1\right)-2t\left(2t-b\right)}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}=\frac{-2t^2-2b^2+2bt-2}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}=$$ $$=\frac{-{\left(t-b\right)}^2-t^2-b^2-2}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}<0.$$ Функция $$f(t)$$ убывает на области определения, поэтому множество ее значений содержит отрезок $$[2;3]$$, тогда и только тогда, когда $$\left\{ \begin{array}{c} f(-1)\ge 3 \\ f(1)\le 2 \end{array} \right.$$.
Решим систему неравенств $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{-2-b}{1-b^2-1}\ge 3 \\ \frac{2-b}{1-b^2-1}\le 2 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} \frac{b+2}{b^2}\ge 3 \\ \frac{b-2}{b^2}\le 2 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} 3b^2-b-2\le 0 \\ 2b^2-b+2\ge 0 \end{array} \right.\to -\frac{2}{3}\le b\le 1$$.
Учитывая, что $$b\ge 1$$, получим $$b=1,\ \sqrt{a+1}+1=1,a=-1$$.
Задание 12336
Найдем производную заданной функции: $$f'(x)=4ax^3+12x^2-6x.$$ Необходимо и достаточно, чтобы f' имела на отрезке [−2; 2] два нуля, в которых она меняет знак с плюса на минус. При этом, если корней ровно два, то в одном из них производная знак не меняет. Следовательно, корней ровно три и характеры смены знака в них чередуются (с плюса на минус, с минуса на плюс и снова с плюса на минус). Поэтому все три корня должны лежать на отрезке [−2; 2]. Тогда
$$4ax^3+12x^2-6x=0\Leftrightarrow 2x(2ax^2+6x-3)=0.$$
Следовательно, число $$x=0$$ — корень, то есть теперь необходимо и достаточно, чтобы два корня уравнения $$2ax^2+6x-3=0$$ лежали на отрезке [−2; 2].
Учитывая, что графиком функции $$g(x)=2ax^2+6x-3$$ при $$a<0$$ является парабола, ветви которой направлены вниз, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств:
$$\left\{\begin{matrix} g(2)\leq0,\\ g(-2)\leq0,\\ D>0,\\ x_{верш}\in(-2;2), \end{matrix}\right.$$
то есть
$$\left\{\begin{matrix} 8a+12-3\leq0,\\ 8a-12-3\leq0,\\ 36+24a>0,\\ -2<-\frac{6}{4a}<2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\leq-\frac{9}{8},\\ a\leq\frac{15}{8},\\ a>-\frac{3}{2},\\ a>-\frac{3}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a\leq-\frac{9}{8}.$$
Задание 14467
Найдём производную функции:
$$f'(x)=12ax^3-24x^2+6x$$
$$12ax^3-24x^2+6x=0$$
$$6x\cdot(2ax^2-4x+1)=0$$
В точке $$x=0$$ производная меняет знак с «-» на «+», поэтому точка $$x=0$$ является точкой минимума.
Функция $$f(x)=3ax^4-8x^3+3x^2-7$$ может иметь ещё точку минимума, если уравнение $$2ax^2-4x+1=0$$ имеет два корня, а значит, при $$a<2.$$
а) При $$a=0$$ уравнение имеет два корня:
$$x=0;$$ $$x=\frac{1}{4}$$
Точка $$x=\frac{1}{4}$$ является точкой максимума.
б) При $$a\in (0;2)$$ уравнение имеет три различных корня:
$$x_1=0$$
$$x_2=\frac{2-\sqrt{4-2a}}{2a}$$
$$x_3=\frac{2+\sqrt{4-2a}}{2a}$$
где $$x_1<x_2<x_3.$$ Точка $$x_2$$ является точкой максимума, а точки $$x_1$$ и $$x_3$$ – точками минимума. Точка $$x_3$$ лежит на отрезке $$[-1; 1],$$ если $$\frac{2+\sqrt{4-2a}}{2a}\leq1,$$ а это выполнено при всех $$a\geq1,5.$$
Получили: функция $$f(x)=3ax^4-8x^3+3x^2-7$$ на отрезке $$[-1; 1]$$ имеет одну точку минимума при $$a\in [0;1,5)$$ и $$a>2.$$