Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C6) Задача с параметром

Функции, зависящие от параметра

 

Задание 9492

Найдите все значения а, при каждом из которых функция

$$f(x)=x^{2}-3|x-a^{2}|-5x$$

имеет более двух точек экстремума.

Ответ: $$-2< a< -1; 1< a< 2$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9532

Найдите все значения а, при каждом из которых функция

$$f(x)=x^{2}-4|x-a^{2}|-8x$$

имеет хотя бы одну точку максимума.

Ответ: $$a\in(-\sqrt{6};-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};\sqrt{6})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10119

Найдите все значения a, при которых наименьшее значение функции $$y=|x+4|+|2x-a|$$ меньше 3

Ответ: (-14;-2)
 

Задание 10265

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых функция $$f(x)=x(1-a)+3(1-2a)\sin \frac{x}{3}+\frac{3}{2}\sin \frac{2x}{3}+\pi a$$ имеет не более двух экстремумов на промежутке $$(\pi;5\pi)$$

Ответ: $$(-\infty;-1]\cup {-\frac{1}{2}}\cup [\frac{1}{2};+\infty)$$
 

Задание 10291

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции $$f(x)=-x^{4}+\frac{2ax^{3}}{9}+\frac{a^{2}x^{2}}{3}$$ на отрезке [-1;0] не превышает единицы и достигается на левом конце отрезка.

Ответ: $$[\frac{1-2\sqrt{7}}{3};\frac{1+-2\sqrt{7}}{3}]$$
 

Задание 10845

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых множество значений функции $$y=\frac{\sqrt{a+1}-2{\cos 3x\ }+1}{{{\sin }^{{\rm 2}} 3x\ }+a+2\sqrt{a+1}+2}$$ содержит отрезок $$[2;3]$$.
Ответ: -1
Скрыть

$$a+1\ge 0,\ a\ge -1.$$ Пусть $${\cos 3x\ }=t,t\in \left[-1;1\right],\ b=\sqrt{a+1}+1,\ b\ge 1$$.

Рассмотрим функцию $$f\left(t\right)=\frac{2t-b}{t^2-b^2-1}$$, исследуем ее при помощи производной.

$$f'\left(t\right)=\frac{2\left(t^2-b^2-1\right)-2t\left(2t-b\right)}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}=\frac{-2t^2-2b^2+2bt-2}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}=$$ $$=\frac{-{\left(t-b\right)}^2-t^2-b^2-2}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}<0.$$ Функция $$f(t)$$ убывает на области определения, поэтому множество ее значений содержит отрезок $$[2;3]$$, тогда и только тогда, когда $$\left\{ \begin{array}{c} f(-1)\ge 3 \\ f(1)\le 2 \end{array} \right.$$.

Решим систему неравенств $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{-2-b}{1-b^2-1}\ge 3 \\ \frac{2-b}{1-b^2-1}\le 2 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} \frac{b+2}{b^2}\ge 3 \\ \frac{b-2}{b^2}\le 2 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} 3b^2-b-2\le 0 \\ 2b^2-b+2\ge 0 \end{array} \right.\to -\frac{2}{3}\le b\le 1$$.

Учитывая, что $$b\ge 1$$, получим $$b=1,\ \sqrt{a+1}+1=1,a=-1$$.

 

Задание 11471

Найдите все положительные значения параметра , при которых модуль разности корней уравнения $$ax^{2}-2x-2,25=0$$ не больше расстояния между точками экстремума функции $$f(x)=2x^{3}-9x^{2}-6ax+13a^{2}$$

Ответ: $$[1;+\infty)$$
 

Задание 12316

Найдите, при каких неотрицательных значениях $$a$$ функция $$f\left(x\right)=\ 3ax^4-8x^3+\ 3x^2-7$$ на отрезке $$[-1;\ 1]$$ имеет ровно одну точку минимума.

Ответ: $$[0;1,5); [2;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12336

Найдите, при каких неположительных значениях а функция $$f(x)=\ ax^4+4x^3-3x^2-5$$ на отрезке [-2; 2] имеет две точки максимума.

Ответ: $$(-\frac{3}{2}; -\frac{9}{8}]$$
Скрыть

Найдем производную заданной функции: $$f'(x)=4ax^3+12x^2-6x.$$ Необходимо и достаточно, чтобы f' имела на отрезке [−2; 2] два нуля, в которых она меняет знак с плюса на минус. При этом, если корней ровно два, то в одном из них производная знак не меняет. Следовательно, корней ровно три и характеры смены знака в них чередуются (с плюса на минус, с минуса на плюс и снова с плюса на минус). Поэтому все три корня должны лежать на отрезке [−2; 2]. Тогда

$$4ax^3+12x^2-6x=0\Leftrightarrow 2x(2ax^2+6x-3)=0.$$

Следовательно, число $$x=0$$ — корень, то есть теперь необходимо и достаточно, чтобы два корня уравнения $$2ax^2+6x-3=0$$ лежали на отрезке [−2; 2].

Учитывая, что графиком функции $$g(x)=2ax^2+6x-3$$ при $$a<0$$ является парабола, ветви которой направлены вниз, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств:

$$\left\{\begin{matrix} g(2)\leq0,\\ g(-2)\leq0,\\ D>0,\\ x_{верш}\in(-2;2), \end{matrix}\right.$$

то есть

$$\left\{\begin{matrix} 8a+12-3\leq0,\\ 8a-12-3\leq0,\\ 36+24a>0,\\ -2<-\frac{6}{4a}<2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\leq-\frac{9}{8},\\ a\leq\frac{15}{8},\\ a>-\frac{3}{2},\\ a>-\frac{3}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a\leq-\frac{9}{8}.$$

 

Задание 12517

Найдите все значения а, при каждом из которых линии $$y\ =\ a|x-2|\ +\ |a|-2$$ и $$y=\frac{a}{2}$$ ограничивают многоугольник, площадь которого не более 0,5.

Ответ: $$[-2; -\frac{4}{3}); [2; 4)$$
 

Задание 12536

Найдите все значения а, при каждом из которых линии $$y=a\left|3-x\right|+\left|a\right|-3$$ и $$y=\frac{a}{3}$$ ограничивают многоугольник, площадь которого не менее $$\frac{1}{3}$$.

Ответ: $$(-\infty; -3] \cup (0; 3]$$
 

Задание 12657

Найдите все значения а, при каждом из которых функция $$f\left(x\right)=x^2-4\left|x-a^2\right|-8x$$ имеет хотя бы одну точку максимума.

Ответ: $$-\sqrt{6}<a<-\sqrt{2}; \sqrt{2}<a<\sqrt{6}$$
 

Задание 12717

Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции $$y=\frac{5a+150x-10ax}{100x^2+20ax+a^2+25}$$ содержит отрезок [0; 1]

Ответ: $$(-\infty ; 7-2\sqrt{6}]; [7+2\sqrt{6}; 15); (15; +\infty)$$
 

Задание 14245

Для каждого значения $$a$$ найдите наибольшее значение функции $$y=x\cdot\sqrt{x^2-4ax+4a^2}$$ на отрезке $$[-2;2]$$

Ответ: $$a\leq 2\sqrt{2}-2: y_{max[-2;2]}=4-4a$$;$$2\sqrt{2}<a<2:y_{max[-2;2]}=a^{2}$$;$$a\geq 2:y_{max[-2;2]}=4a-4$$

Задание 14467

Найдите, при каких неотрицательных значениях а функция $$f(х)=Зах^4-8х^3+Зх^2-7$$ на отрезке $$[-1; 1]$$ имеет ровно одну точку минимума.
Ответ: $$[0;1,5);[2;+\infty)$$
Скрыть

Найдём производную функции:

$$f'(x)=12ax^3-24x^2+6x$$

$$12ax^3-24x^2+6x=0$$

$$6x\cdot(2ax^2-4x+1)=0$$

В точке $$x=0$$ производная меняет знак с «-» на «+», поэтому точка $$x=0$$ является точкой минимума.

Функция $$f(x)=3ax^4-8x^3+3x^2-7$$ может иметь ещё точку минимума, если уравнение $$2ax^2-4x+1=0$$ имеет два корня, а значит, при $$a<2.$$

а) При $$a=0$$ уравнение имеет два корня:

$$x=0;$$ $$x=\frac{1}{4}$$

Точка $$x=\frac{1}{4}$$ является точкой максимума.

б) При $$a\in (0;2)$$ уравнение имеет три различных корня:

$$x_1=0$$

$$x_2=\frac{2-\sqrt{4-2a}}{2a}$$

$$x_3=\frac{2+\sqrt{4-2a}}{2a}$$

где $$x_1<x_2<x_3.$$ Точка $$x_2$$ является точкой максимума, а точки $$x_1$$ и $$x_3$$ – точками минимума. Точка $$x_3$$ лежит на отрезке $$[-1; 1],$$ если $$\frac{2+\sqrt{4-2a}}{2a}\leq1,$$ а это выполнено при всех $$a\geq1,5.$$

Получили: функция $$f(x)=3ax^4-8x^3+3x^2-7$$ на отрезке $$[-1; 1]$$ имеет одну точку минимума при $$a\in [0;1,5)$$ и $$a>2.$$