ЕГЭ Профиль
Задание 8271
Клиент оформил ипотеку в банке на 1 000 000 руб 1 июля 2019 года сроком на 5 лет. Начиная с 1 августа 2019 года, он должен выплачивать ежемесячно одну и ту же сумму. 15 июля каждого года величина долга увеличивается на 10%. Найдите сумму ежемесячной выплаты в рублях. Ответ округлите до 1 рубля в большую сторону.
Пусть $$S=10^{6}$$ - сумма ипотеки (руб) $$n=5$$ лет, $$x$$ - сумма ежемесячной выплаты (тогда $$12x$$ в год), $$a=10$$%; $$b=1+\frac{a}{100}=\frac{11}{10}$$. Составим таблицу выплат:
| Год | Сумма долга на начало | Сумма долга с % |
| 2019 | $$S$$ | $$S+\frac{S\cdot a}{100}=S(1+\frac{a}{100})=S\cdot b$$ |
| 2020 | $$S\cdot b-12x$$ | $$(S\cdot b-12x)\cdot b=S\cdot b^{2}-12xb$$ |
| 2021 | $$S\cdot b^{2}-12xb-12x$$ | $$S\cdot b^{3}-12x\cdot b^{2}-12xb-12x$$ |
| ....... | ........ | ........... |
| 2022 | $$S\cdot b^{4}-12x\cdot\frac{b^{4}-1}{b-1}$$ | $$S\cdot b^{5}-12xb\cdot\frac{b^{4}-1}{b-1}$$ |
Заметим, что $$b^{n-1}+b^{n-2}+b^{n-3}+...+b^{0}=\frac{b^{n}-1}{b-1}$$. Тогда после 5ой выплаты имеем: $$Sb^{5}-12x\cdot\frac{b^{5}-1}{b-1}=0$$, т.к.долг был погашен. Тогда $$x=\frac{Sb^{5}(b-1)}{12(b^{5}-1)}$$. Подставим значения: $$x=\frac{10^{6}\cdot\frac{11^{5}}{10^{5}}\cdot\frac{1}{10}}{12\cdot(\frac{11^{5}}{10^{5}}-1)}\approx219,83=21984$$
Задание 8290
Сумма вклада в банке увеличивалась 1‐го числа каждого месяца на 8% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца. Аналогично, цена на кирпич убывала на 10% ежемесячно. Отсрочив покупку кирпича, 1 сентября в банк положили некоторую сумму. На сколько процентов больше в этом случае можно было купить кирпича 1 ноября того же года на всю сумму, полученную из банка вместе с процентами?
Задание 8309
Александра взяла в банке кредит на 3 года, который ей предстоит погасить тремя равными платежами. В конце каждого года банк начисляет 10% на оставшуюся часть долга, после чего наша героиня в тот же день вносит очередной платеж в банк. Как известно, часть такого платежа идет на погашение суммы начисленных процентов, а вторая часть идет на уменьшение основного долга. Оказалось, что наименьшая из трех сумм, направленных на погашение основного долга, составила ровно 2 млн. рублей. Определите наименьшую из трех сумм, направленных на погашение процентов за пользование кредитом.
Пусть сумма кредита $$S$$, $$x$$ - выплата годовая (состоит из процентной части и части, гасящей основную часть $$x_{i}$$, где $$i\in[1...3]\in N$$). В певрый год начислится $$0,1S$$ процентов, т.е. $$X=x_{i}+0,1S$$. Тогда на второй год должны банку: $$S+0,1S-x_{1}-0,1S=S-x_{1}$$. Тогда начислится $$0,1(S-x_{1})$$ процента $$\Rightarrow$$
Задание 8327
20 февраля планируется взять кредит в банке на 600 тысяч рублей на n+1 месяц. Условия его возврата таковы:
Найдите n, если банку было выплачено 691 тыс. рублей, а долг на 20‐е число n‐го месяца составлял 100 тыс. рублей.
Пусть $$S$$ - сумма кредита $$S=600$$т.р., $$a=2$$% - процент банка. За первые $$n$$ месяцев долг уменьшился на $$600-100=500$$т.р., следовательно, т.к. он уменьшался равномерно, то каждый месяц платим $$x=\frac{500}{n}$$т.р. по соновному долгу и весь начисленный за месяц процент.
| Месяц | Сумма долга на 1ое число | Начисленный процент |
| 1 | $$S$$ | $$Sa$$ |
| 2 | $$S-x$$ | $$\frac{a}{10}(S-x)$$ |
| 3 | $$S-2x$$ | $$\frac{a}{10}(S-2x)$$ |
| ... | ... | .... |
| $$n$$ | $$S-(n-1)x$$ | $$\frac{a}{10}(S-(n-1)x)$$ |
| $$n+1$$ | $$100$$ | $$\frac{a}{10}\cdot100$$ |
Переплата составила $$691-600=91$$т.р. - сумма третьего столбца: $$\frac{a}{100}(S+S-x+S-2x+...+S-(n-1)x)+100a=91$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{a}{100}(S_{n}-x(1+2+3+...+(n-1)))+\frac{100a}{100}=91$$, т.к. $$1+2+3+...+n-1=\frac{1+(n-1)}{2}(n-1)$$, $$a=2$$, $$x=\frac{500}{n}$$; $$S=600$$ $$\Rightarrow$$ $$0,02(600n-\frac{500}{n}\cdot\frac{n(n-1)}{2})+2=91$$ $$\Rightarrow$$ $$350n+250=4450$$ $$\Rightarrow$$ $$350n=4200$$ $$n=12$$
Задание 8684
Александре и Всеволоду 1 сентября неимоверно повезло открыть в банке по вкладу на одинаковые суммы и на один и тот же срок, меньший одного года. У Александры первые несколько месяцев процентная ставка составила 81,44% в месяц, а на оставшийся срок – 5% в месяц. У Всеволода на протяжении всего срока ставка составила 26% в месяц. Суммы накопленных процентов в конце каждого месяца добавляются к остатку на счете, при этом клиент может снять деньги только в конце срока. Какое наибольшее количество месяцев у Александры могла действовать ставка 81,44%, если к моменту закрытия вкладов суммы на счетах обоих героев оказались одинаковыми?
Задание 8701
15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Задание 8721
Задание 8744
Задание 8763
Задание 8782
Задание 8801
Задание 8875
19 января планируется взять в кредит некоторую сумму на 16 месяцев. Условия кредита таковы:
Какой долг будет 19‐го числа 15‐го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 914 тыс. рублей?
Пусть долг 19‐го числа 15‐го месяца будет равен S тыс. рублей. Тогда, сумма кредита больше S на 30 умножить на 15=450 тыс. рублей. В соответствии с условием задачи заполним таблицу:
| долг на 1-е число, тыс. руб. | выплата, тыс. руб. | долг на 19-е число, тыс. руб. | |
| $$S+450$$ | |||
| 1-ый месяц | $$1,1\cdot(S+450)$$ | $$0,1S+75$$ | $$S+420$$ |
| 2-ой месяц | $$1,1\cdot(S+420)$$ | $$0,1S+72$$ | $$S+390$$ |
| $$...$$ | $$...$$ | $$...$$ | $$...$$ |
| 14-ый месяц | $$1,1\cdot(S+60)$$ | $$0,1S+36$$ | $$S+30$$ |
| 15-ый месяц | $$1,1\cdot(S+30)$$ | $$0,1S+33$$ | $$S$$ |
| 16-ый месяц | $$1,1S$$ | $$1,1S$$ | 0 |
сумма выплат в тыс. руб. равна:
$$0,1S+75+0,1S+72+...+0,1S+33+1,1S=$$$$15\cdot 0,1S+\frac{75+33}{2}\cdot 15+1,1S=$$$$2,6S+810=915$$
Откуда $$S=40$$
Задание 8896
Задание 8916
Задание 9049
Всеволод и Александра в один день открыли в банке по вкладу с возможностью частичного снятия средств. Размер каждого вклада составил 1 000 000 рублей. В конце очередного месяца банк увеличивает размер вклада на некоторую фиксированную сумму, но только в том случае, если клиент в течение данного месяца не снимал деньги со счета. Всеволод попал под условия бонусной акции, поэтому его ежемесячная прибавка оказалась выше, чем у Александры. Некоторое время наши герои не обращались в банк. Но когда вклад Всеволода достиг суммы 1 200 000 рублей, он каждый месяц с марта по август 2019 года снимал со счета по 25 000 рублей, а вклад Александры продолжал ежемесячно расти. При этом в конце июля 2019 года суммы на вкладах наших героев оказались одинаковыми, а спустя некоторое время сравнялись повторно. Определите размер вкладов Всеволода и Александры, когда они сравняются повторно, если после августа 2019 года наши герои не будут снимать деньги со счетов?
