ЕГЭ Профиль
Задание 6478
Два банка начисляют проценты по вкладам (свои в каждом банке). Причем первый из них начисляет проценты ежеквартально на всю лежащую на счете сумму, второй – начисляет проценты по вкладу в конце года. Если клиент положит на два года четверть имеющейся у него суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть – во второй, то его прибыли составит 40,08% от первоначальной суммы. Если же наоборот три четверти исходной суммы – в первый, а оставшуюся часть – во второй, то через два года прибыль составит 70%. Какова будет его прибыль в процентах от первоначальной суммы, если он положит все деньги на один год в первый банк?
Обозначим сумму вклада как S, а процентные ставки по кредиту в первом и втором банках соответственно $$k_{1}$$ и $$k_{2}$$.
1) Если клиент положит на два года четверть суммы в первый банк, то сумма вклада составит $$\frac{S}{4}k_{1}^{8}$$, а если во второй банк три четверти суммы, то сумма вклада составит $$\frac{3S}{4}k_{2}^{2}$$. Прибыль составит 40,08% от первоначальной суммы, тогда получаем уравнение $$\frac{S}{4}k_{1}^{8}+\frac{3S}{4}k_{2}^{2}=1,4008S\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{4}k_{1}^{3}=1,4008$$
2) Если клиент наоборот положит на два года три четверти суммы в первый банк, то сумма вклада составит $$\frac{3S}{4}k_{1}^{8}$$, а если во второй банк четверть суммы, то сумма вклада составит $$\frac{S}{4}k_{2}^{2}$$. Прибыль составит 70% от первоначальной суммы, отсюда получаем еще одно уравнение $$\frac{3S}{4}k_{1}^{8}+\frac{S}{4}k-{2}^{2}=1,7S\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{4}k_{1}^{8}+\frac{1}{4}k_{2}^{2}=1,7$$
3) Получаем систему: $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{4}k_{1}^{8}+\frac{3}{4}k_{2}^{2}=1,4008\\\frac{3}{4}k_{1}^{8}+\frac{1}{4}_{2}^{2}=1,7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}k_{1}^{8}+3k_{2}^{2}=5,6032\\k_{2}^{2}=6,8-3k_{1}^{8}\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$k_{1}^{8}+3(6,8-3k_{1}^{8})=5,6032\Leftrightarrow$$ $$k_{1}^{8}+20,49k_{1}^{8}=5,6032\Leftrightarrow$$ $$8k_{1}^{8}=14,7968\Leftrightarrow$$ $$k_{1}^{8}=1,8496\Leftrightarrow$$ $$k_{1}^{4}=1,36$$
4) Если клиент положит всю сумму в первый банк, то прибыль в процентах от первоначальной суммы составит $$\frac{Sk_{1}^{4}-S}{S}=k_{1}^{4}-1=1,36-1=0,36$$ - 36%
Задание 6702
Фирма планирует взять в январе кредит на целое число миллионов рублей на четыре года на следующих условиях:
Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат фирмой превысит 100 млн. рублей.
Пусть взяли S млн.руб ($$S \in N$$), A-сумма выплат во 2-ой и 4-ой год . Т.к. в 1-ой и 2-ой год выплачивались только проценты, то можно рассмотреть ситуацию кредита на 2 года с платежом А , процентом 10%. Составим таблицу изменения долга и платежей:
| Год | Долг | Долг с процентом | Платеж |
| 1 | S | S+0,1S | 0,1S |
| 2 | S | S+0,1S | A |
| 3 | 1,1S-A | 1,1S-A+0,1(1,1S-A) | 0,1(1,1S-A) |
| 4 | 1,1S-A | 1,1S-A+0,1(1,1S-A) | A |
Рассмотрим 4ый год: $$(\frac{11}{10})^{2}S-A(1,1+1)=0\Leftrightarrow$$ $$A=\frac{11^{2}S}{10^{2}*2,1}=\frac{121S}{21*10}=\frac{121S}{210}$$
Тогда процент после 1-го : S*0,1
После третьего : $$(S+0,1S-\frac{121S}{210})*0,1=\frac{11S}{210}$$
Итоговые выплаты: $$\frac{S}{10}+\frac{11S}{210}+2*\frac{121 S}{210}>100\Leftrightarrow$$$$\frac{S}{10}+\frac{11S}{210}+\frac{242S}{210}>100\Leftrightarrow$$$$\frac{274S}{210}>100\Leftrightarrow$$$$S>76,6\Rightarrow S=77$$
Задание 6761
15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
Известно, что в пятый месяц кредитования нужно выплатить 44 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Пусть S-сумма кредита в тыс. руб. , n=9-число месяцев, r=4%. Кредит на 9 месяцев, следовательно, по основной част долга ежемесячный платеж $$\frac{S}{9}$$ . Составим таблицу:
| Месяц | Долг на начало месяца | Начисленный процент | Итоговый платеж |
| 1 | S | $$\frac{rS}{100}$$ | $$\frac{S}{9}+\frac{rS}{100}$$ |
| 2 | $$S-\frac{S}{9}=\frac{8S}{9}$$ | $$\frac{r*8S}{100*9}$$ |
$$\frac{S}{9}+\frac{rS}{100}*\frac{8}{9}$$ |
| 3 | $$\frac{8S}{9}-\frac{S}{9}=\frac{7S}{9}$$ | $$\frac{rS}{100}*\frac{7}{9}$$ | $$\frac{S}{9}+\frac{rS}{100}*\frac{7}{9}$$ |
| ... | ... | ... | ... |
| 5 | $$\frac{6S}{9}-\frac{S}{9}=\frac{5S}{9}$$ | $$\frac{rS}{100}*\frac{5}{9}$$ | $$\frac{S}{9}+\frac{rS}{100}*\frac{5}{9}$$ |
| ... | ... | ... | ... |
| 9 | $$\frac{2S}{9}-\frac{S}{9}=\frac{S}{9}$$ | $$\frac{rS}{100}*\frac{1}{9}$$ | $$\frac{S}{9}+\frac{rS}{100}*\frac{1}{9}$$ |
Получим $$\frac{S}{9}+\frac{4*S*5}{100*9}=44\Leftrightarrow$$ $$5S+S=44*45\Leftrightarrow$$ $$6S=44*45\Leftrightarrow$$ $$S=330 $$тыс.руб.
Тогда итоговые выплаты составят: $$S+\frac{rS}{100}(1+\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+...+\frac{1}{9})=1,2S=396$$ тыс. руб (сложили суммы с четвертого столбика)
Задание 6879
Вновь созданное акционерное общество продало населению 1000 своих акций, установив скидку 10% на каждую пятую продаваемую акцию и 25% на каждую тринадцатую продаваемую акцию. В случае, если на одну акцию выпадают обе скидки, то применяется большая из них. Определите сумму, вырученную от продажи всех акций, если цена акции составляет 1000 рублей.
Всего акций n=1000. При этом под «каждую пятую» попадает $$m=\frac{1000}{5}=200$$ акций, под каждую 13: $$h =\frac{1000}{13}\approx 76$$ акций
При этом, так как 5 и 13 взаимопростые , то из 76 в каждой пятерке номеров один так же будет попадать в «каждую пятую» $$\frac{76}{5}\approx 15$$. Получим, что со скидкой 10% : 200-15=185 акций (так как на 15 штук будет браться большая скидка - они попадают так же под 13-е). Со скидкой 25% : 76 шт., без скидки: 1000-185-76=739 шт. Тогда выручка: $$S=739*1000+185*900+76*750=962500$$
Задание 6927
Тема сделал несколько мелких покупок в супермаркете, имея при себе сто рублей. Давая сдачу с этой суммы, кассир ошиблась, перепутав местами цифры, и выплатила рублями то, что должна была вернуть копейками, и, наоборот, копейками то, что должна была вернуть рублями. Купив в аптеке набор пипеток за 1 руб.40 коп., Тема обнаружил ошибку кассира и, пересчитав деньги, нашел, что оставшаяся у него сумма втрое превышает ту, которую ему должны были вернуть в супермаркете. Какова стоимость всех покупок Темы?
Пусть правильная сдача n рублей и m копеек $$\Rightarrow$$ $$100n+m$$ копеек. Кассир не дала m рублей и n копеек $$\Rightarrow $$100m+n копеек. После покупки пипеток у Темы остается : $$(100m+n-140)$$ копеек. Эта сумма в 3 раза больше, чем $$100n+m$$:
$$3(100n+m)=(100m+n-140)\Leftrightarrow$$$$300n+3m=100m+n-140\Leftrightarrow$$$$299n=97m-140, n,m \in N$$ и $$(n,m \leq 99)\Leftrightarrow$$$$m=\frac{299n+140}{97}=3n+1+\frac{8n+43}{97}$$
Тогда $$\frac{8n+43}{97}\in N$$ или 0 (0 не может быть, так как тогда n отрицательное) $$\Rightarrow$$ $$\frac{8n+43}{97}=k$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{97k-43}{8}=n=12k-5+\frac{k-3}{8}$$
Тогда $$\frac{k-3}{8}\in N$$ или 0 (то есть делится нацело на 8: $$\frac{k-3}{8}=0\Rightarrow$$ $$k=3\Rightarrow$$ $$n=12*3-5=31\Rightarrow$$ $$m=\frac{299*31+140}{97}=97$$
Тогда правильная сдача 31 рубль 97 копеек $$\Rightarrow$$ покупка 68 рублей 3 копейки . С учетом 1 рубля 40 копеек получим , что общая покупка 69 рублей 43 копейки.
Задание 7183
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн. рублей на 15 лет. Условия его возврата таковы:
Какую сумму нужно вернуть банку?
Пусть $$S=12*10^{6}$$ руб. –первоначальная сумма кредита, $$n=15$$ лет-срок кредита, $$a=12$$ % , $$b=4$$ % . Составим таблицу платежей (каждый платеж состоит из суммы по основному долгу $$\frac{S}{15}$$ (за 15 лет надо отдать S) и начисленные за год процентов) :
| № года | Долг на начало года | Сумма по начисленному проценту | Итоговый платеж (по основному долгу и проценту) |
| 1 | $$S$$ | $$\frac{Sa}{100}$$ | $$\frac{S}{15}$$+$$\frac{Sa}{100}$$ |
| 2 | $$\frac{14S}{15}$$ | $$\frac{14S}{15}*\frac{a}{100}$$ | $$\frac{S}{15}$$+$$\frac{14Sa}{1500}$$ |
| ... | ... | ... | ... |
| 8 | $$\frac{8S}{15}$$ | $$\frac{8S}{15}*\frac{a}{100}$$ | $$\frac{S}{15}$$+$$\frac{8Sa}{1500}$$ |
| 9 | $$\frac{7S}{15}$$ | $$\frac{7S}{15}*\frac{b}{100}$$ | $$\frac{S}{15}$$+$$\frac{7Sb}{1500}$$ |
| ... | ... | ... | ... |
| 15 | $$\frac{S}{15}$$ | $$\frac{S}{15}*\frac{b}{100}$$ | $$\frac{S}{15}$$+$$\frac{Sb}{1500}$$ |
Итого будет выплачено : $$\frac{S}{15}*15+\frac{Sa}{100}(1+\frac{14}{15}+..+\frac{8}{15})+\frac{8b}{100}(\frac{7}{15}+\frac{6}{15}+..+\frac{1}{15})$$
Подставим известные значения: $$S+Sa*\frac{92}{15}+8b*\frac{28}{15}=$$$$S(1+\frac{92a}{15}+\frac{28b}{15})=$$$$12*10^{6}(1+\frac{91*12}{15*100}+\frac{28*4}{15*100})=21728000$$
Задание 7368
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 600 тыс. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
- 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15‐го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца.
На сколько рублей увеличится сумма выплат, если взять кредит с такими же условиями на 30 месяцев?
Задание 7517
Вкладчик разместил в банке 32 тысячи рублей. Несколько лет он получал то 5%, то 10% годовых, а за последний год получил 25% годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого года и добавлялись к сумме вклада. В результате его вклад стал равен 53361 рублю. Сколько лет пролежал вклад?
Задание 7639
Иван Васильевич по случаю рождения сына открыл 1 апреля 2000 года счёт в банке, на который он ежегодно вносит 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 10% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у Ивана Васильевича родилась дочь, и 1 апреля 2006 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно вносит по 2100 рублей, а банк начисляет 21% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравнялись, если деньги со счетов не снимались?
Задание 7686
Два участника создали общество с ограниченной ответственностью, при этом каждый внёс определенную сумму денег в уставный капитал общества. Через некоторое время один из участников внёс дополнительно в уставный капитал 4 млн. рублей, в результате его доля возросла на 6%. А когда он внёс в уставный капитал ещё 4 млн. рублей, его доля возросла ещё на 2%. Какую сумму ему нужно внести, чтобы увеличить свою долю ещё на 3%?
Задание 7785
Александр Сергеевич взял ипотечный кредит суммой 2 млн. рублей на 20 лет. Условия выплаты кредита таковы:
После 8‐й выплаты Александру Сергеевичу удалось произвести реструктуризацию кредита, в результате чего процент, начисляемый в последующие годы, уменьшился до 8%. Какую сумму сэкономил Александр Сергеевич?
Задание 7878
В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере 880 000 рублей. Условия его возврата таковы:
Найдите S.
Задание 7897
В июле 2019 года планируется взять кредит на 1 000 000 рублей. Условия возврата таковы:
Какую сумму необходимо выплатить банку в течение всего срока кредитования?
По условию задания уменьшается долг на 100 тыс. или на сумму $$x$$ (которая понижается затем на 50 тыс. в год платежа). Т.е. сумма каждого платежа включает не только сумму в 100 или $$x$$ тыс, но и начисленные проценты за текущий год. Составим таблицу (лучше сначала заполнить "долг на начало")
| Год | Долг на начало (тыс.руб.) | Начисленный % | Итого выплачено |
| 2020 | 1000 | 50 | 100+(50) |
| 2021 | 900 | 45 | 45+($$x$$) |
| 2022 | $$900-x$$ | $$45-0,05x$$ | $$100+(45-0,05x)$$ |
| 2023 | $$800-x$$ | $$40-0,05x$$ | $$x-50+(40-0,05x)$$ |
| 2024 | $$850-2x$$ | $$4,25-0,1x$$ | $$100+(4,25-0,1x)$$ |
| 2025 | $$750-2x$$ | $$37,5-0,1x$$ | $$x-100+(37,5-0,1x)$$ |
| 2026 | $$850-3x$$ | $$42,5-0,15x$$ | $$100+(42,5-0,15x)$$ |
| 2027 | $$750-3x$$ | $$37,5-0,15x$$ | $$x-150+(37,5-0,15x)$$ |
| июль 2027 | 0 |
Получим,что $$750-3x=x-150$$ $$\Rightarrow$$ $$x=225$$. Сложим все суммы платежа: $$440+3,4x=440+3,4\cdot225=1205$$ тыс. было выплачено
Задание 7946
В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4 200 000 рублей. Условия его возврата таковы:
Найдите r , если долг выплачен полностью в 2021 году и общие выплаты составили 6 100 000 рублей.
Задание 8240
Клиент оформил ипотеку в банке на 1 000 000 рублей 1 июля 2019 года на 3 года. Начиная с 1 августа 2019 года он должен выплачивать ежемесячно одну и ту же сумму. 15 июля 2019 года сумма долга увеличивается на 10%, 15 июля 2020 года – на 20%, а 15 июля 2021 года – на 30%. Найти сумму ежемесячной платы. Ответ округлите до 1 руб в большую сторону.
Пусть $$S=10^{6}$$; $$n=3$$ года, $$x$$ - месячная выплата $$\Rightarrow$$ $$12x$$ - годовая. Распишем таблицу:
| Год | Долг на начало | Начисленный процент | Выплата |
| 2019 | $$S$$ | $$0,1S$$ | $$12x$$ |
| 2020 | $$1,1S-12x$$ | $$0,2(1,1S-12x)$$ | $$12x$$ |
| 2021 | $$((1,1S-12x)1,2-12x)$$ | $$0,3((1,1S-12x)1,2-12x)$$ | $$12x$$ |
Получим: $$((1,1S-12x)1,2-12x)1,3-12x=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{11\cdot12\cdot13}{10^{3}}S-\frac{12\cdot12\cdot13x}{10^{2}}-\frac{12\cdot13x}{10}-12x=0|\cdot10^{3}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$11\cdot12\cdot13S-12^{2}\cdot13\cdot10x-12\cdot13\cdot10^{2}x-12\cdot10^{3}x=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{11\cdot12\cdot13S}{10(156+130+100)}=\frac{11\cdot12\cdot13\cdot10^{6}}{10\cdot386}\approx37047$$