ЕГЭ Профиль
Задание 4771
Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?
Задание 4772
Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
Задание 4773
1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?
Задание 4866
Руслан вложил 1 млн. в банк под 14% годовых (начисление в конце года на общую сумму). При этом каждый месяц он снимает по Х тыс. рублей на проживание (начиная со 2 года) в течении 4 лет, и в конце 5 года после начисления процентов сумма оказалась не менее 1 млн. Определите какую максимальную сумму он мог снимать ежемесячно. В ответе укажите целочисленное значение в тысячах рублей?
Пусть начальная сумма $$S=10^{6}$$, процент $$a=14% , b =1 +\frac{a}{100}=\frac{57}{50}$$, M - сумма, которую снимал.
После 1го года на счет: Sb.
После 2го: Sb-12M - до начисления процента; (Sb-12M)b - после начисления процента.
После 3го: (Sb-12M)b-12M - до начисления процента; ((Sb-12M)b-12M)b - после начисления процента.
После 4го: ((Sb-12M)b-12M)b-12M - до начисления процента; (((Sb-12M)b-12M)b-12M)b - после начисления процента.
После 5го: (((Sb-12M)b-12M)b-12M)b-12M - до начисления процента; ((((Sb-12M)b-12M)b-12M)b-12M)b - после начисления процента.
Раскроем скобки и сделаем группировку слагаемых с 12M и запишем условие, сумма на счету больше первоначальной:
$$Sb^{5}-12M(b^{4}+b^{3}+b^{2}+b)> S$$
Вынесем еще b за скобки, и воспользуемся формулой:
$$b^{n-1}+b^{n-2}+b^{n-3}+....+1=\frac{b^{n}-1}{b-1}$$ $$Sb^{5}-12Mb(\frac{b^{4}-1}{b-1})> S$$
Подставим наши данные:
$$10^{6}(\frac{57}{50})^{5}-12M*\frac{57}{50}*(\frac{(\frac{57}{50})^{4}-1}{\frac{57}{50}-1})> 10^{6}$$
$$M< \frac{10^{6}*7(57^{5}-50^{5})}{12*15*50(57^{4}-50^{4})}$$
$$M< 13746,25...$$ Так как требуется наибольшее целое, то получаем M=13
Задание 4917
Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тысяч рублей до 20 тысяч рублей, а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тысяч рублей и не больше 60 тысяч рублей. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
| № полета | 1 | 2 | 3 |
| Цена одной, тыс. руб. | x | $$\frac{4x}{l}$$ | $$\frac{5x}{l+1}$$ |
| Кол-во акций, шт. | y | $$ly$$ | $$y(l+1)$$ |
| Цена пакета, тыс. руб. | xy | $$4xy$$ | $$5xy$$ |
Цена второй: $$\frac{4xy}{ly}=\frac{4x}{l}$$
Кол-во акций в третьем: $$y+ly=y(l+1)$$
Цена третьей: $$\frac{5xy}{y(l+1)}=\frac{5x}{l+1}$$
Всего акций: $$y+ly+y(l+1)=2y(l+1)$$
Найти: $$\frac{y}{2y(l+1)}=\frac{1}{2(l+1)}$$
Имеем условия: $$\left\{\begin{matrix}16\leq\frac{4x}{l}-x\leq20\\42\leq\frac{5x}{l+1}\leq60\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}16\leq\frac{x(4-l}{l}\leq20\\42\leq\frac{5x}{l+1}\leq60\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{16l}{4-l}\leq x\leq \frac{10l}{4-l}\\\frac{42}{5}(l+1)\leq x\leq12(l+1)\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}a_{1}\leq x\leq b_{1}\\a_{2}\leq x\leq b_{2}\end{matrix}\right.$$ Пересения будут, если: $$\left\{\begin{matrix}a_{1}\leq b_{2}\\a_{2}\leq b_{1}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{16l}{4-l}\leq 12(l+1)\\\frac{42}{5}(l+1)\leq\frac{10l}{4-l}\end{matrix}\right.$$
Задание 5013
Олигарх Аристарх Луков‐Арбалетов имеет в собственности три частных банка. Активы первого банка состоят на 70% из рублей и на 30% из долларов. Во втором банке 80% активов составляют рубли и 20% – евро; в третьем банке 50% активов в рублях, 10% – в долларах и 40% – в евро. Аристарх планирует открыть 4‐й банк, направив туда часть активов из каждого банка так, чтобы доля каждой валюты в каждом из них сохранилась, а активы нового банка состояли бы ровно на 15% в долларах. Какой наименьший процент рублей могут содержать активы нового банка?
Пусть х - объем денег с первого, тогда рубли $$0,7x$$; доллары - $$0,3x$$. Второй - $$y$$; тогда рубли - $$0,8y$$; $$0,2y$$ - евро, третий - $$z$$, тогда $$0,5z$$ - рубли, доллары - $$0,1z$$, евро - $$0,4z$$. Т.к. во втором долларов нет, то при внесении денег оттуда добавятся только рубли и евро, а т.к. процент рублей больше, чем евро, то по отношению к общей массе денег в четвертом процент рублей увеличится. Тогда из 2го лучше не брать, раз надо минимальный процент рублей в четвертом:
Всего: $$x+y+z$$
Рубли: $$0,7x+0,8y+0,5z$$
Доллары: $$0,3x+0,1z$$
Евро: $$0,2y+0,4z$$
$$\frac{0,3x+0,1z}{x+y+z}=0,15$$ - (15% долларов); $$x+y+z=\frac{0,3x+0,1z}{0,15}$$; $$x+y+z=2x+\frac{2}{3}z$$; $$z=3x-3y$$ $$\Rightarrow$$ $$x>y$$
Функция процента рублей: $$f(x;y;z)=\frac{0,7x+0,8y+0,5z}{x+y+z}=\frac{(0,7x+0,8y+0,5z)\cdot0,15}{0,3x+0,1z}=$$ $$\frac{0,15(0,7x+0,8y+1,5x-1,5y)}{0,3x+0,1(3x-3y)}=\frac{0,15(2,2x-0,7y)}{0,3x+0,3x-0,3y}=$$ $$\frac{2,2x-0,7y}{4x-2y}=0,55+\frac{0,4y}{4x-2y}$$
Задание 5144
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4 млн рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:
Найдите $$r$$%, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,16 млн рублей, а наименьший — не менее 0,476 млн рублей.
Поскольку долг уменьшается на одну и ту же сумму ежегодно, то уменьшене долга за год составит 400 тыс. рублей .Следовательно: $$\left\{\begin{matrix}\frac{r}{100}*4000+400\leq 1160\\\frac{r}{100}400+400\geq 476\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4r+40\leq 116\\4r+400\geq 476\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}r\leq 19\\r\geq 19\end{matrix}\right.$$. Следовательно, r=19
Задание 5197
Аристарх Луков‐Арбалетов хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Аристарха совсем не было денег, а пакет стоил 100 000 рублей. В середине каждого месяца Аристарх откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце каждого месяца пакет дорожает на 20%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Аристарху каждый месяц, чтобы через некоторое время купить вожделенный пакет акций?
Пусть x–сумма , которую откладывает , n- число месяцев, через которое отложенная сумма станет не меньше стоимости пакета: $$10^{5}*1,2^{n-1}\leq xn$$ $$n-1$$ Т.к. сначала он отложит и только потом зачислится процент $$x\geq \frac{10^{5}*1,2^{n-1}}{n}$$ Найдем минимум этой функции относительно n : $$(\frac{10^{5}*1,2^{n-1}}{n})^{1}=10^{5}\frac{n*1,2^{n-1}*\ln1,2-1,2^{n-1}}{n^{2}}=0\Leftrightarrow$$$$1,2^{n-1}(n*\ln1,2-1)=0\Leftrightarrow$$$$\ln 1,2^{n}=1\Leftrightarrow$$$$\ln 1,2^{n}=\ln e\Leftrightarrow$$$$1,2^{n}=e$$, следовательно, $$n \in [5; 6]$$. Найдем значения на концах данного промежутка: $$x(5)=\frac{10^{5}*1,2^{4}}{5}=41472$$ $$x(6)=\frac{10^{5}*1,2^{5}}{6}=41472$$
Задание 5292
В 2016 году в НИИ «Наномир» работали 20 сотрудников: директор, пять его заместителей, 12 инженеров и две уборщицы. Среднемесячная зарплата директора составляла 500 тыс. руб., зама – 200 тыс. руб., инженера 50 тыс. руб., уборщицы – 25 тыс. руб.
С 1 января 2017 года 4 инженера ушли на заслуженный отдых. Чтобы сохранить среднюю зарплату по НИИ на уровне прошлого года, директор решил изменить зарплату только у своих замов.
В конце 2017 года неожиданно выяснилось, что годовой фонд заработной платы НИИ, сформированный в объеме прошлого года, оказался выбран не полностью. В связи с этим все оставшиеся на счету фонда деньги директор перечислил себе в качестве премии.
Определите:
а) среднюю зарплату по НИИ в 2017 году;
б) на сколько % изменилась (увеличилась или уменьшилась) зарплата заместителей директора НИИ в 2017 году;
в) размер премии, полученной директором НИИ в конце 2017 года
Средняя зарплата в 2016: $$\frac{500+5*200+12*50+2+25}{20}=107,5$$ тысяч. Данная зарплата сохраняется и в 2017, только меняется количество людей и зарплата замов. Пусть она составляет х тысяч рублей, тогда:
$$\frac{500+5*x+8*50*2*25}{16}=107,5|*16$$
$$950+5x=1720$$
$$x=\frac{1720-950}{5}=154$$ тысячи рублей.
То есть их зарплата уменьшилась на $$200-154=46$$ тысяч рублей, что составляет : $$\frac{46}{200}*100=23$$ процента от первоначальной.
В 2016 году в месяц общая зарплата составляла 2150 тысяч, в 2017 стала 1720 тысяч. То есть экономия в месяц $$2150-1720=430$$ тысяч. В таком случае после распила бюджета годовая премия составила: $$430*12=5160$$ тысяч (как у наших неуважаемых госдеятелей)
Задание 5340
В июле планируется взять кредит банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?
Пусть S-начальный кредит (S=20 млн), r - процент по кредиту (r=30%), n - количество лет. С учетом того, что сумма долга уменьшается равномерно, то ежегодный платеж будет складываться из платежа по основному долгу и начисленных процентов. Так как берется сумма S на n лет, то ежегодный платеж по основному долгу составит $$\frac{S}{n}$$. Составим таблицу платежей:
| Номер года | Долг на начало года | Начисленный процентный долг | Итоговый платеж |
| 1 | S | $$\frac{r}{100}*S$$ | $$\frac{r}{100}*S+\frac{S}{n}$$ |
| 2 | $$\frac{n-1}{n}S$$ | $$\frac{r}{100}*\frac{n-1}{n}S$$ | $$\frac{r}{100}*\frac{n-1}{n}S+\frac{S}{n}$$ |
| 3 | $$\frac{n-2}{n}S$$ | $$\frac{r}{100}*\frac{n-2}{n}S$$ | $$\frac{r}{100}*\frac{n-2}{n}S+\frac{S}{n}$$ |
| ... | ... | ... | ... |
| n | $$\frac{1}{n}S$$ | $$\frac{r}{100}*\frac{1}{n}S$$ | $$\frac{r}{100}*\frac{1}{n}S+\frac{S}{n}$$ |
Тогда итоговая сумма выплат составит: $$\frac{S}{n}*n+\frac{r}{100}*S(1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...\frac{1}{n})=47$$
При этом $$(1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...\frac{1}{n})=\frac{n+1}{2}$$ (вы можете вывести эту формулу самостоятельно рассмотрев сумму чисел при n=4 и n=5, посчитав полученный суммы вы заметите данную зависимость)
Подставим имеющиеся данные в полученное уравнение:$$20+\frac{30}{100}*20*\frac{n+1}{2}=47 \Leftrightarrow$$$$6*\frac{n+1}{2}=47-20 \Leftrightarrow$$$$n+1=9\Leftrightarrow n=8$$
Задание 5388
Банк планирует на один год вложить 30 % имеющихся у него средств клиентов в проект А, а остальные 70 % – в проект B. В зависимости от обстоятельств проект А может принести прибыль в размере от 32 % до 37 % годовых, а проект B – от 22 % до 27 % годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им процент по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в проекты А и B может при этом получить банк.
Очевидно, что наибольшую прибыль получит банк, если доход от проектов будет по процентам наибольший, а выплаты клиентам произведутся по наименьшему проекту, и наоборот, наименьшая - при меньшей доходности и максимальных выплатах. Пусть S - имеющиеся средства, тогда на проект А пойдет 0,3S, на проект Б пойдет 0,7S. Помним, что увеличение на n% суммы S можно записать, как $$S(1+\frac{n}{100})$$ max: $$0,3S*1,37+0,7S*1,27-S*1,1=0,2S$$. То есть наибольшая прибыль составит 20% min: $$0,3S*1,32+0,7S*1,22-S*1,2=0,05S$$. То есть наименьшая прибыль составит 5%
Задание 6044
В июле планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия возврата кредита таковы: ‐ каждый январь долг увеличивается на 22,5% по сравнению с концом предыдущего года; ‐ в июне каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; ‐ в июле каждого года величина долга задается таблицей
| Год | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
| Долг, тыс.руб | S | 0,7S | 0,4S | 0 |
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.
Каждая выплата состоит из начисленных за текущий год процентов и разницы долга между следующими и текущими: 2018: S*0,225-начисленный процент; S-0,7; S-разница долга,тогда общий платеж; $$S*0,225+0,3*S=0,525S=\frac{21}{49}*S$$ 2019: $$0,7*S*0,225+\left ( 0,7*S-0,4*S\right )=0,1575*S+0,3S=0,4575*S=\frac{183}{400}*S$$ 2020: $$0,4*S*0,225*S+\left ( 0,4*S-0\right )=0,49*S=\frac{49}{100}*S$$ Чтобы были все целые,то S должна быть кратными для 40;100 и 400$$\Rightarrow S=400$$
Задание 6091
Алексей решил взять кредит в банке 100 тысяч рублей на 4 месяца под 5% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита. По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 5%), затем Алексей переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг четырьмя равными платежами. По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 5%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Алексеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Какую схему выгоднее выбрать Алексею? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
Для равных платежей:
Все преобразования с суммами долга занесём в таблицу:
| n | Долг после начисления процентов | Сумма долга после очередной выплаты |
| 1 | $$Sk$$ | $$Sk-x$$ |
| 2 | $$(Sk-x)k$$ | $$(Sk-x)k-x$$ |
| 3 | $$((Sk-x)k-x)k$$ | $$((Sk-x)k-x)k-x$$ |
| 4 | $$(((Sk-x)k-x)k-x)k$$ | $$(((Sk-x)k-x)k-x)k-x$$ |
По условию задачи через 4 месяца долг выплачен полностью, то есть:
$$(((Sk-x)k-x)k-x)k-x=0\Leftrightarrow$$$$Sk^{4}-x(k^{3}+k^{2}+k+1)=0$$
Учтем, что $$k^{n-1}+k^{n-2}+...+k+1=\frac{k^{n}-1}{k-1}$$. Получим;
$$Sk^{4}-x*\frac{k^{4}-1}{k-1}=0\Rightarrow$$$$x=\frac{Sk^{4}(k-1)}{k^{4}-1}=$$$$\frac{10^{5}*(\frac{21}{20})^{4}*(\frac{21}{20}-1)}{(\frac{21}{20})^{4}-1}=$$$$\frac{10^{5}*21^{4}}{20(21^{4}-20^{4})}$$
Вся сумма равна 4 платежам, то есть $$4*\frac{10^{5}*21^{4}}{20(21^{4}-20^{4})}\approx 112805$$ рублей
Для равномерного погашения долга:
По условию задачи каждый месяц долг уменьшается на одну и ту же сумму, равную 1000000:4 = 25000 (тыс. рублей), тогда оставшиеся суммы долга равны: 1000000; 75000; 50000 и 25000 (руб.) на начало каждого месяца кредитования соответственно. Каждый месяц Алексей выплачивает четверть суммы, взятой в кредит (фиксированная часть выплаты) + проценты, начисленные на оставшуюся на этот месяц сумму долга. Вся выплаченная банку сумма в этом случае составит: S2 = 100000 + 0,05 ∙ (100000 + 75000 + 50000 + 25000) = 100000 + 0,05 ∙ 250000 = = 100000 + 12500 = 112500 (руб. )
Так как 112805>112500, то выгоднее вторая схема, на 112805-112500=305 рублей (приближенное значение с учетом расчетов)
Задание 6186
15‐го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?
Пусть S-начальная сумма, n=24 - число месяцев; a=0,02 - процент (представлен в долях). Так как долг гасится равномерно за 24 месяца (основная его часть), то ежемесячный платеж по основному долгу: $$\frac{S}{n}=\frac{S}{24}$$. Так же к данному платежу будут прибавлять ежемесячные начисленные проценты на оставшуюся часть долга:
| месяц | долг на начало месяца | начисленный процент | итоговый платеж |
| 1 | S | Sa | $$\frac{S}{24}+Sa$$ |
| 2 | $$S-\frac{S}{24}=\frac{23S}{24}$$ | $$\frac{23S}{24}a$$ | $$\frac{S}{24}+\frac{23S}{24}a$$ |
| ... | ... | ... | ... |
| 24 | $$\frac{S}{24}$$ | $$\frac{S}{24}a$$ | $$\frac{S}{24}+\frac{S}{24}a$$ |
Сложим все выплаты и получим суммарные выплаты за 24 месяца:
$$24\frac{S}{24}+Sa(1+\frac{23}{24}+\frac{22}{24}+\frac{1}{24})=S+Sa*\frac{15}{2}=10^{6}$$
Найдем первоначальную сумму долга:
$$S(1+\frac{2}{100}*\frac{25}{2})=10^{6}$$
$$S=\frac{10^{6}*4^{4}}{5}=800000$$
Задание 6233
Оксана положила некоторую сумму на счет в банке на полгода. По этому вкладу установлен «плавающий» процент, то есть число начисленных процентов зависит от числа полных месяцев, которые вклад пролежал на счете. В таблице указаны условия начисления процентов.
| Срок вклада | 1‐2 месяца | 3‐4 месяца | 5‐6 месяцев |
| Ставка % годовых | 12% | 24% | 18% |
Начисленные проценты добавляются к сумме вклада. В конце каждого месяца, за исключением последнего Оксана после начисления процентов добавляет такую сумму, чтобы вклад ежемесячно увеличивался на 5% от первоначального. Какой процент от суммы первоначального вклада составляет сумма, начисленная банком в качестве процентов?
Решаем по простому проценту .Если первые два месяца по 12% годовых , то $$\frac{12}{12}=1$$% в месяц . Аналогично, следующие 2 месяца :$$\frac{24}{12}=2$$%, и затем $$\frac{18}{12}=1,5$$%.
Раз каждый месяц сумма увеличивается на 5 % в сравнении с напольной , то : пусть изначально S, тогда прибавится 0,05 *S. Заполним таблицу:
| Месяц | сумма на счету | % от банка |
| 1 | S | 0,01S |
| 2 | 1,05S | 0,01*1,05S=0,00105S |
| 3 | 1,1S | 0,02*1,1S=0,022S |
| 4 | 1,15S | 0,02*1,15S=0,023S |
| 5 | 1,2S | 0,015 *1,2S=0,018S |
| 6 | 1,25S | 0,015*1,25S=0,0187S |
Итого банк начислит : (0,01+0,0105+0,022+0,023+0,08+0,01875)S=0,10225S
Данная сумма составит $$\frac{0,10225S}{S}*100=10,225$$%