Задачи на оптимальный выбор

Пусть на втором объекте работает $$k$$ рабочих, тогда на 1-м будет работать $$30-k$$ рабочих. Получаем суммарное значение их зарплаты:

$$f(k)=(30-k)\cdot200\cdot(30-k)+k\cdot(50k+300)$$

$$f(k)=(30-k)^2\cdot200+50k^2+300k$$

Найдем такое $$k,$$ при котором функция принимает наименьшее значение, то есть, вычислим точку экстремума:

$$f'(k)=-400\cdot(30-k)+100k+300=0$$

$$500k=11700$$

$$k=\frac{11700}{500}=23,4$$

Так как число рабочих – целое число, то $$k=23.$$ Получаем, что на первом объекте работает $$30-23=7$$ рабочих, а на втором – $$23.$$ Их суммарная зарплата, составит:

$$7^2\cdot200+23\cdot(50\cdot23+300)=43150$$ рублей

1. Если объём заказа не превышает 4000 единиц товара, то выручка фирмы не превышает $$4000\cdot300=1200000$$ руб.

2. Если объём заказа $$4000< x\leq 16000,$$ где x — количество единиц товара в заказе, то выручка S (в руб.) равна

$$S(x)=(300-\frac{x-4000}{50})\cdot x=\frac{1}{50}(19000-x)x.$$

Найдём, при каком значении x выражение S(x) принимает наибольшее значение.

Если раскрыть скобки, то S(x) окажется квадратичной функцией с отрицательным старшим коэффициентом. Она принимает своё наибольшее значение в точке $$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}:$$

$$x_0=\frac{19 000-0}{2}=9500.$$

Найденное число удовлетворяет требуемому объёму заказа. Найдём $$S(x_0):$$

$$S(x_0)=\frac{1}{50}(19000-9500)\cdot9500=190\cdot9500=1 805 000$$ (руб.).

Найденная сумма превышает максимальную выручку при $$0< x\leq 4000,$$ значит, наибольшую выручку фирма получит при объёме заказа в 9500 единиц товара.