ЕГЭ Профиль
Задание 4191
Предприятие производит холодильники и является прибыльным. Известно, что при изготовлении $$n$$ холодильников в месяц расходы на выпуск одного холодильника составляют не менее $$\frac{48000}{n}+240-|80-\frac{48000}{n}|$$ тыс. руб., а цена реализации каждого холодильника при этом не превосходит $$480-\frac{n}{5}$$ тыс.руб. Определить ежемесячный объем производства, при котором может быть получена наибольшая при данных условиях ежемесячная прибыль.
$$\frac{48000}{n}+240-|80-\frac{48000}{n}|$$ - расход; $$480-\frac{n}{5}$$ - доход;
a) Если $$80-\frac{48000}{n}\geq0$$ (1), то прибыль с одного холодильника: $$S=480-\frac{n}{5}-\frac{48000}{n}-240+80-\frac{48000}{n}=$$ $$320-\frac{96000}{n}-\frac{n}{5}=$$ $$\frac{-n^{2}+1600n-480000}{5n}$$ (2)
Общая прибыль при этом: $$S_{n}=480-\frac{n}{5}-\frac{48000}{n}-240+80-\frac{48000}{n}\cdot n=\frac{-n^{2}+1600n-480000}{5}$$
В данном случае представлена квадратичная функция, наибольшее значение которой при $$n=\frac{-1600}{-2}=800$$ $$S_{n}(800)=\frac{-640000+1280000-480000}{5}=32000$$
б) Если $$80-\frac{4800}{n}<0$$ $$\Rightarrow$$ $$n\in(0;600)$$, то прибыль с одного: $$S=480-\frac{n}{5}-\frac{48000}{n}-240-80+\frac{48000}{n}=$$ $$160-\frac{n}{5}=\frac{800-n}{5}$$
Общая прибыль: $$S_{n}=\frac{800-n}{5}\cdot n=\frac{800n-n^{2}}{5}$$
Снова квадратичная убывающая функция, наибольшее значение которой при $$n=\frac{-800}{-2}=400$$; $$S_{n}=\frac{800\cdot400-400^{2}}{5}=32000$$
Как видим, одинаковая максимальная прибыль при 800 и 400 единицах товара
Задание 4775
В пчелиной семье, зимующей в помещении, в день последней весенней подкормки было 9 тысяч пчел. К концу k ‐го дня ( k = ,2,1 ,...3 ) после дня подкормки численность пчелиной семьи, зимующей в помещении, становится равной тысяч пчел. Далее, при перевозке пчел на летнюю стоянку, численность пчелиной семьи в каждый последующий день возрастает на 25% по сравнению с предыдущим днем. В конце какого дня после весенней подкормки нужно перевезти пчел на летнюю стоянку, чтобы через 38 дней после подкормки численность пчелиной семьи стала наибольшей? Известно, что у фермера нет возможности поместить пчел на летнюю стоянку сразу же после подкормки.
Задание 4822
Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн руб. Вася может купить её в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Васе придётся 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придётся выплатить сумму, на 180% превышающую исходную. Вместо этого Вася может какое‐то время снимать квартиру (стоимость аренды—15 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съёмную квартиру. За сколько лет в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если считать, что её стоимость не изменится?
Квартира стоит 3 (млн. рублей )=3000 (тыс. рублей), кредит берется на 20 (лет)=240 (месяцев). Задачу решим по действиям :
1) 3000*2,8=8400 (тыс. руб.)-общая сумма выплат банку;
2) 8400:240=35(тыс. руб.)-ежемесячный платеж банку;
3) 35-15=20(тыс. руб.)-сумма , которую Вася сможет откладывать каждый месяц после уплаты аренды;
4) 3000:20=150(месяцев)=12,5(лет)-потребуется Васе, чтобы накопить на квартиру .
Задание 4964
Ученики второго, третьего четвертого классов собирали макулатуру. Каждый второклассник работал по 3 дня, третьеклассник – по 12 дней, четвероклассник – по 16 дней. При этом каждый второклассник собрал 30 кг макулатуры, каждый третьеклассник – 130 кг, а каждый четвероклассник – 170 кг. Все дети вместе отработали 95 дней. Сколько учеников каждого класса участвовало в работе, если общее количество макулатуры оказалось максимальным?
Обозначим через х количество второклассников, через y – третьеклассников, через z – четвероклассников. Тогда 3 x + 12 y + 16 z = 95 . (1)
Количество собранной макулатуры равно 30 x + 130 y + 170 z = 10(3 x + 13 y + 17 z).
Максимальным должно быть значение функции: F = 3 x + 13 y + 17 z = 95 + ( y + z), а значит, суммы y + z.
Из равенства (1) будем иметь: 12( y + z) = 95 - 3 x - 4 z. (2)
Отсюда 12( y + z) < 96 $$\Rightarrow$$ y + z < 8. Далее, если y + z = 7, из (2) получаем: 3 x + 4 z = 11. (3) Так как $$x \leq 3$$ и x - нечетное, единственное решение уравнения (3) x = 1, z = 2 (при x = 3 z = 0,5) $$\Rightarrow$$ y= 7 - 2 = 5.
Задание 5060
На счет, который вкладчик имел в начале первого квартала, начисляется в конце этого квартала$$r_{1}$$%, а на счет, который вкладчик имел в начале второго квартала, начисляется в конце этого квартала $$r_{2}$$%, причем $$r_{1}+r_{2}=150$$%. Вкладчик положил на счет в начале первого квартала некоторую сумму и снял в конце того же квартала половину этой суммы. При каком значении $$r_{1}$$ счет вкладчика в конце второго квартала окажется максимально возможным?
Пусть $$S_{0}$$ - первоначальная сумма на счет, $$r_{1}=x$$, тогда $$r_{2}=150-x$$.
После начисления % у конце 1-го квартала на счету окажется : $$S_{0}+0,01 xS_{0}$$. После снятия половины первоначальной суммы: $$S_{0}+0,01xS_{0}-0,5S_{0}=S_{0}90,5+0,01x=S_{1}$$
После начисления %ов конце 2-го квартала на счету окажется: $$S_{1}+0,01(150-z)S_{1}=S_{1}(1+1,5-0,01x)=$$$$S_{0}(0,5+0,01x)(2,5-0,01x)=$$$$\frac{S_{0}}{10000}(50+x)(250-x)$$
Так как $$\frac{S_{0}}{10000}=const$$, задача сводится к тому ,чтобы найти , при каком значении переменной x функция $$S(x)=(50+x)(250-x)$$ доститгает своего наибольшего значения на отрезке [0 ;150]
Графиком функции является параболам, ветви направлены вниз, вершина параболы $$x_{0}=\frac{250-50}{2}=100\in [0 150]\Rightarrow$$ наибольшее значение на указанном отрезке достигается в вершине (единственная точка экстремума и это точка максимума) $$\Rightarrow$$ $$t_{1}=100$$
Ответ:100
Задание 5244
Иван Иванович попросил у своего соседа Ивана Никифоровича взаймы на несколько дней 648 тысяч рублей, пообещав вернуть долг с процентами. Иван Никифорович заявил, что если он даст в долг на п дней S рублей, то сосед должен будет вернуть сумму, равную $$S(1+\frac{n}{300})+\frac{S}{n^{2}}$$. После недолгих раздумий Иван Иванович согласился на предложенные условия. Через сколько дней Ивану Ивановичу следует рассчитаться с долгом, чтобы выплаты оказались наименьшими? Сколько в этом случае составит переплата сверх взятой в долг суммы?
$$S(1+\frac{n}{300})+\frac{S}n^{2}=S(1+\frac{n}{300}+\frac{1}{n^{2}})$$
Пусть $$f(n)=1+\frac{n}{300}+\frac{1}{n^{2}}$$, найдем производную данной функции:
$${f}'(n)=\frac{1}{300}+\frac{-2}{n^{3}}=\frac{}{300}-\frac{2}{n^{3}}=0\Leftrightarrow$$$$\frac{n^{3}-600}{n^{3}}=0\Leftrightarrow$$$$n=\sqrt[3]{600}$$
Так как $$8<\sqrt[3]{600}<9$$, и при этом n - число целое, то рассмотрим значение функции в границах:
$$f(8)=1+\frac{8}{300}+\frac{1}{64}=\frac{65}{64}+\frac{2}{75}=$$$$\frac{4875+128}{4800}=\frac{5003}{4800}=1,0422$$
$$f(9)=1+\frac{9}{300}+\frac{1}{81}=\frac{82}{81}+\frac{3}{100}=$$$$\frac{8200+24}{8100}=\frac{8443}{4800}=1,0423$$
Как видим, наименьшее значение будет при n=8:
$$648(\frac{8}{300}+\frac{1}{64})=648(\frac{2}{75}+\frac{1}{64})=$$$$\frac{648(128+75)}{75*64}=\frac{648*203}{75*64}=27,405$$
Отвеь:8; 27,405.
Задание 6138
Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио и телевизионную сети. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной 1000$ в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5$, а каждая минута телерекламы ‐ в 100$. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем сеть телевидения, но при этом фирма решила, что время радиорекламы не должно превышать двух часов. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определите оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио‐ и телерекламой, если время можно покупать только поминутно.
Пусть x-эффективность радио 1 минуты ,тогда 25x-1 минуты теле При этом цена теле в $$\frac{100}{5}=20$$ раз выше. Получаем, что прирост эффективности к цене от радио к теле составит $$\frac{25}{20}$$ т.е. эффективность растет быстрее цены. Тогда $$t_{1}$$-время теле берем максимум $$\frac{1000}{100}=10$$ мин. , но 1 взять не можем, т.к. $$t_{2}$$-время радио должно быть в 2 раза больше. Т.к. $$t_{1}$$ и $$t_{2}\in N$$, возьмем $$t_{1}=9$$,тогда бюджет для $$t_{2:}1000-9*100=100$$. Тогда $$t_{2}=\frac{100}{5}=20$$. Все условия выполнены. Следовательно под радио отдадим 20*5=100$, а под теле 900$
Задание 6281
Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» ‐ 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать на своем отеле предприниматель?
Пусть x - количество стандартных, y - количество люкс. Тогда общая площадь: $$27x+45y\leq 981\Leftrightarrow 3x+5y\leq 109(1)$$
Общая стоимость: $$2000x+4000y=max$$
Рассмотрим площадь и цену стандартного через люкс. Один стандарт занимает место $$\frac{27}{45}=\frac{3}{5}$$ люкса , то есть 6 люксовых по площади равны 10 стандартам.
При этом стоимость 6 люксов выйдет как 12 стандартов . Очевидно , что по отношению цены за единицу площади люксовый лучше, потому их и максимизируем: с учетом неравенства (1): $$5y\leq 109-3x\Leftrightarrow$$ $$y\leq \frac{109-3x}{5}\Leftrightarrow$$ $$y\leq \frac{109}{5}\Rightarrow$$ $$y=21$$. Остаётся $$4\Rightarrow 3x\leq 4\Rightarrow x=1$$
То есть 21 люкс и 1 стандарт. Тогда доход с них составит $$21*4000+1*2000=86000$$
Задание 6329
В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 7000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 2000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счет будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?
Очевидно, что необходимо снимать деньги в тот год, когда увеличение цены на 2000 рублей будет меньше, чем увеличение на 10%, согласно ставке банка. Пусть n - год, в который это произойдет.
Следует учитывать, что начисление 2000 рублей происходит в конце года, а снять и положить можно только в начале, потому результат мы должны будем увеличить на единицу (например, в конце пятого года цена бумаги позволяет ее перекладывать, то переложим мы только в шестом году).
Если взять n-ый год, то стоимость бумаги составит: $$7000+2000n$$. Если бы мы ее положили под 10%, то на нее начислилась бы сумма $$0,1(7000+2000n)=700+200n$$. И эта сумма должна быть больше, чем 2000, чтобы был смысл перекладывать деньги в банк:
$$700+200n>2000\Leftrightarrow$$$$200n>1300|:200\Leftrightarrow$$$$n>6,5$$.
Так как n - число натуральное, то получаем, что $$n=7$$. То есть в конце 7 года цена бумаги станет такой, что 10% от ее стоимости, составят больше 2000, и тогда на 8 год (2008) мы ее продаем.
Задание 6376
В пряничный цех поступил заказ на изготовление партии сувенирных пряников трех видов: с клубничной начинкой, с вишневой и с шоколадной. Цена пряников с клубничной и вишневой начинкой одинакова, первых заказали на сумму 4000 руб, вторых – 60 штук. Пряники с шоколадной начинкой стоят 150 руб за штуку, их заказали столько же, сколько пряников с вишневой и клубничной начинками вместе. Какова наименьшая стоимость всего заказа? При какой цене на пряники с фруктовой начинкой она достигается?
Пусть x-цена пряников с клубникой и вишневой начинкой. Пусть y-количество пряников с клубникой, тогда цена одного: $$x=\frac{4000}{y}(1)$$. Общее количество с клубникой и вишней $$(y+60)$$. Общая их цена : $$(y+60)*x$$
Общая цена с шоколадом : $$(y+60)*150$$. Итого: $$S=(y+60)*x+(y+60)*150$$
С учетом (1): $$y=\frac{4000}{x}$$
$$S=(\frac{4000}{x}+60)x+(\frac{4000}{x}+60)*150\rightarrow min$$
$$S=4000+60x+\frac{600000}{x}+9000=$$$$60x+\frac{600000}{x}+13000$$
$${S}'=60-\frac{600000}{x^{2}}=0$$
$$x^{2}=\frac{600000}{60}=10000$$
$$x=\pm 100$$
То есть $$x_{min}=100$$
$$S=4000+60*100+\frac{600000}{100}+9000=25000$$
Задание 6423
На каждом из двух комбинатов работает по 1800 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 1 деталь А или 2 детали В. На втором комбинате для изготовления t деталей ( и А, и В) требуется t2 человеко‐смен. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна или 1 деталь А, или 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?
Так как для изготовления изделия нежна или 1 деталь А, или 1 деталь B( то есть они взаимозаменяемы) , тогда на первом комбинате всех рабочих эффективнее отправить на детали В . Их будет произведено $$1800*2=3600$$
На втором комбинате у рабочих пойдут на А , тогда 1800-y на B. При этом деталей A произведут $$\sqrt{y}$$ , деталей B: $$\sqrt{1800-y}$$
Из условия очевидно , что количество изделий соответствует общему количеству деталей: $$S=3600+\sqrt{y}+\sqrt{1800-y}$$. Найдем максимальное значение:
$${S}'=\frac{1}{2\sqrt{y}}+\frac{1}{2\sqrt{1800-y}}*(-1)=0$$
$$2\sqrt{y}=2\sqrt{1800-y}$$
$$y=1800-y\Rightarrow y=900$$ - точка максимума
Тогда максимальное количество изделий составит: $$S_{max}=S(900)=3600+\sqrt{900}+\sqrt{1800-900}=3660$$
Задание 6471
Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объеме $$t^{2}$$ Гб входящей в него информации выходит $$20t$$ Гб, а с сервера №2 при объеме $$t^{2}$$ Гб входящей в него информации выходит $$21t$$ Гб обработанной информации $$(25\leq t \leq 55)$$. Каков наибольший общий объем выходящей информации при общем объеме входящей информации в 3364 Гб?
Пусть $$x^{2}$$ - вход на первый сервер, тогда выход с него 20x, пусть $$y^{2}$$ - на второй, $$21y$$ - выход с него . Тогда :
$$\left\{\begin{matrix}V=20x+21y\rightarrow max\\x^{2}+y^{2}=3364(2)\end{matrix}\right.$$
С учетом, что x и y больше нуля, то из(2): $$y=\sqrt{3364-x^{2}}$$.Тогда
$$V(x)=20x+21\sqrt{3364-x^{2}}$$
$$V'(x)=20+\frac{21}{2\sqrt{3364-x^{2}}}*(-2x)=0$$
$$\frac{21x}{\sqrt{3364-x^{2}}}=20\Leftrightarrow$$ $$\frac{441x^{2}}{3364-x^{2}}=400\Leftrightarrow$$$$400*3364-400x^{2}=441x^{2}\Leftrightarrow$$ $$841x^{2}=400*3364\Leftrightarrow$$$$x^{2}=400*4\Rightarrow x=40$$
$$V(40)=20*40+21\sqrt{3364-1600}=1682$$
Задание 6525
Производительность первого цеха завода не более 730 произведённых телевизоров в сутки. Производительность второго цеха завода до реконструкции составляла 75% от производительности первого цеха. После реконструкции второй цех увеличил производительность на 20% и стал выпускать более 640 телевизоров в сутки. Найдите, сколько телевизоров в сутки выпускает второй цех после реконструкции, если оба цеха выпускают в сутки целое число телевизоров.
Пусть x - число телевизоров в сутки 1-го цеха $$x\leq 730$$ . Тогда 0,75x - второй цех до реконструкции. После реконструкции : $$0,75*1,2=0,9 x$$. При этом $$0,9x>640$$
Получим: $$\left\{\begin{matrix}x\leq 730\\0,9x>640\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\leq 730\\x>711,(1)\end{matrix}\right.$$
При этом $$0,9x \in N$$ и $$0,75x \in N$$ (т.к. выпускается целое число телевизоров ). С учетом, что $$x \in [712; 730]$$ получаем, что $$0,9 x \in N$$ при x=729 или x=720. Но $$0,75x \in N$$ только при $$x =720\Rightarrow 720*09=648$$ - второй.
Задание 6572
Цех сборки может выпускать 50 мотоциклов и 150 скутеров в день. Отдел технического контроля в день может проверить не более 75 изделий. Мотоцикл в полтора раза дороже скутера. Сколько мотоциклов и сколько скутеров нужно выпускать в сутки, чтобы общая стоимость продукции была наибольшей и все изделия были проверены отделом технического контроля
Т.к. мотоцикл и скутер являются изделием и стоимость мотоцикла больше, то количесвто мотоциклов возьмем максимальное , т.е. 50, тогда скутеров будет 75-50=25
Задание 6619
В офисном здании 8 этажей, на каждом из которых, кроме первого, находится кабинет начальника отдела. Управляющая жилищная компания объявила что в день профилактического ремонта лифта он сделает всего один подъем сразу всех начальников на один, указанный ими этаж. После подъема начальники будут вынуждены идти в свои кабинеты по лестнице. В качестве компенсации за причиненные неудобства за каждый необходимый подъем на очередной этаж по лестнице каждому начальнику будет начислено 200 рублей. За каждый аналогичный спуск – 100 рублей. Этаж необходимо выбрать так, чтобы общая сумма компенсаций была минимальной. Укажите в рублях эту сумму
1 Вариант. Составим таблицу
Как видим, наименьшая сумма 1600, при выходе на 6 этаже.
2 вариант.
Пусть n -этаж выхода, тогда количество подъемов максимальное 8-n, спусков- n-2. При этом каждый последующий этаж прибавляет в сравнении с предыдущим 1 подъем (спуск). Т.е. получим арифметическую прогрессию .
В обоих случаях, разность которой d=1 и необходимо найти сумму (8-n) членов для подъемов и (n-2) членов для спусков (первый член в обоих случаях равен 1) :
Сумма за подъемы: $$S_{1}=\frac{2*1+1*(8-n-1)}{2}(8-n)*200=(9-n)(8-n)*100$$
Сумма за спуски : $$S_{2}=\frac{2*1+1(n-2-1)}{2}(n-2)*100=(n-1)(n-2)*50$$
Итоговая сумма: $$S=S_{1}+S_{2}=100(9-n)(8-n)+50(n-1)(n-2)\rightarrow min$$
Тогда $$g(n)=2(9-n)(8-n)+(n-1)(n-2)\rightarrow$$ $$min$$
$$g(n)=144-34n+2n^{2}+n^{2}-3n+2=3n^{2}-37n+146$$
$${g}'n=6n-37=0\Rightarrow n=\frac{37}{6}$$
С учетом $$n \in N$$ получаем n=6 или n=7
$$g(6)=3*6^{2}-37*6+146=32$$
$$g(7)=3*7^{2}-37*7-146=34$$
Следовательно, 6 этаж.