Задача на доказательство и вычисление

а) Дана трапеция $$ABCD,$$ в которой $$M$$ – середина $$BC,$$ а $$N$$ – середина $$AD$$ (см. рисунок ниже). Следовательно,

$$BM=MC$$ и $$AN=ND$$      (1).

По условию задания в трапецию $$ABMN$$ можно вписать окружность, значит, суммы ее противоположных сторон равны:

$$AB+MN=BM+AN,$$

откуда

$$MN=BM+AN-AB.$$

Аналогично для трапеции $$MCDN:$$

$$CD+MN=MC+ND$$

$$MN=MC+ND-CD$$

Приравниваем два выражения для $$MN,$$ имеем:

$$BM+AN-AB=MC+ND-CD$$

и, учитывая равенство (1), получаем:

$$-AB=-CD$$

$$AB=CD$$

Получаем равенство боковых сторон, значит, трапеция $$ABCD$$ – равнобедренная.

б) Так как радиус вписанных окружностей равен $$4,$$ значит, высота трапеции $$MN=2\cdot4=8.$$ Также по условию дана длина $$BC=14$$ и, следовательно, $$BM=\frac{BC}{2}=\frac{14}{2}=7.$$ Обозначим $$BF$$ через $$x$$ (см. рисунок ниже). Тогда $$BM_1=x$$ как отрезки касательных.

Получаем, что $$M_1M=7-x,$$ поэтому и $$MZ=7-x,$$

$$NZ=MN-MZ=8-(7-x)=x+1,$$

следовательно, $$N_1N=x+1$$ (так как соответствующие отрезки касательных равны). Так как $$MZ=ZN$$ (радиус $$O_1Z$$ вписанной окружности будет параллелен основаниям трапеции), имеем:

$$7-x=x+1$$

$$2x=6$$

$$x=3$$

Значит, $$BF=BM_1=3.$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BO_1A$$ (он прямоугольный, так как $$AO_1$$ и $$BO_1$$ – биссектрисы,

а $$\angle A+\angle B=180^{\circ},$$ поэтому $$\angle BO_1A=90^{\circ}$$).$$ Квадрат высоты $$OF_1,$$ проведенной из прямого угла, равен:

$$O_1F^2=BF\cdot FA$$

$$4^2=3\cdot FA$$

$$FA=\frac{16}{3}$$

и по теореме Пифагора

$$O_1A=\sqrt{O_1F^2+FA^2}$$

$$O_1A=\sqrt{16+\frac{16^2}{9}}=\frac{20}{3}$$

Обозначим радиус малой окружности $$AO=y,$$ тогда

$$OA=O_1A-OO_1=O_1A-(4+y)$$

$$OA=\frac{20}{3}-4-y=\frac{8}{y}-y$$

Учитывая, что треугольники $$AFO_1$$ и $$AYO$$ подобны по двум углам, можем записать отношение:

$$\frac{y}{4}=\frac{AO}{AO_1}$$

$$\frac{y}{4}=\frac{\frac{8}{3}-y}{\frac{20}{3}}$$

$$32-12y=20y$$

$$y=1$$

а) Поскольку точка О — центр вписанной в треугольник ABC окружности, лучи АО и ВО являются биссектрисами углов треугольника ABC. Угол РОА является внешним углом треугольника АОВ. Следовательно,

$$\angle POA=\angle BAO+\angle ABO=\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ABC$$

Углы РАС и РВС равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около треугольника ABC, поэтому

$$\angle PAO=\angle PAC+\angle OAC=\angle PBC+\angle OAC=\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle BAC$$

Таким образом, $$\angle POA=\angle PAO$$.

б) Пусть R = 6 — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Поскольку $$\angle POA=\angle PAO,$$ треугольник АРО равнобедренный, следовательно,.

$$OP=AP=2R\sin\angle ABP=2R\sin 30^{\circ}=6$$

Таким образом, площадь треугольника АРО равна

$$\frac{AP\cdot OP\cdot\sin\angle APO}{2}=\frac{AP^2\cdot\sin\angle ACB}{2}=\frac{AP^2\cdot\sin 45^{\circ}}{2}=9\sqrt{2}$$