ЕГЭ Профиль
Задание 6090
В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Точки L и M являются соответственно серединами сторон BC и AD . Отрезок LM содержит точку K . Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность.
А) 1)Пусть BC не параллельна AD. Построим $$a \left | \right |AD ;a\cap AD=P$$; $$MK\cap BP=L_{1}$$ и $$BL_{1}=L_{1}P$$ (свойство трапеции)
2) $$BL=LC; BL_{1}=L_{1}P\Rightarrow LL_{1}$$-средняя линия. $$\Delta BCP$$ и $$LL_{1}\left | \right |PC$$ и $$LM\left | \right |AC$$, но $$LM\cap AC=K\Rightarrow BC\left | \right |AP ABCD$$-трапеция.
б) 1) $$\Delta BCK\sim \Delta AKD\Rightarrow \frac{LK}{KM}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{3}$$ Пусть BC=x; AD=3x.
2)Т.к. окружность можно вписать ,то $$AD+BC=AB+CD\Rightarrow CD=4x-3$$
3) Из C проведем $$CQ\left | \right |AB(CQ\cap AD=Q)$$, $$CQ=AB=3 BC=AQ=x\Rightarrow QD=2x$$.
4)Из $$\Delta ADC$$: $$\cos\angle D=\frac{3x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2*3x(4x-3)}$$
Из $$\Delta QDC$$: $$\cos\angle D=\frac{(2x)^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2*2x*(4x-3)}$$
$$\frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2*3x(4x-3)}=$$$$\frac{4x^{2}+(4x-3)-9}{2*2x(4x-3)}\Leftrightarrow$$$$\frac{25x^{2}-24x-4}{3}=\frac{20x^{2}-24x}{2}\Leftrightarrow$$$$25x^{2}-24x-4=30x^{2}-36x\Leftrightarrow$$$$5x^{2}-12x+4=0\Leftrightarrow$$$$\left [\begin{matrix}x_{1}=2 & & \\x_{2}=0,4 & &\end{matrix}\right.$$
Т. К. 4x-3> 0, то $$x_{2}$$ не подходит $$\Rightarrow x=2$$, тогда BC=2 QD=4 CD=5.
5 ) Из $$\Delta QCD: QC^{2}+QD^{2}=3^{2}+4^{2}=25=CD^{2}\Rightarrow \Delta QCD$$- прямоугольный $$QC\perp AP\Rightarrow r=\frac{1}{2}*QC=1,5$$.
Задание 6137
Точка M пересечения медиан треугольника ABC , вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности.
a)1) Пусть $$CM\cap AB=Q; BM\cap AC=P$$, тогда QP-средняя линия $$\Rightarrow QP\left | \right |BC\Rightarrow \Delta QPM\sim \Delta BMC \angle BPQ=\angle PBC$$
2) $$\angle QPM=\angle QAM$$(вписанные и опираются на одну дугу)$$\Rightarrow \angle QAM=\angle MBK \angle BKA$$-общий $$\Rightarrow \Delta ABK\sim \Delta MBK$$.
b)1)Пусть MK=x,тогда по свойству имеем MA=2x.Из подобия $$\Delta ABK$$ и $$\Delta MBK$$
$$\frac{BK}{KM}=\frac{AK}{BK}\Rightarrow BK^{2}=AK*KM.$$
2)$$BK=\frac{1}{2}BC=3\sqrt{3}$$,тогда $$(3\sqrt{3})^{2}=3x*x\Rightarrow$$ x=3,тогда AK=9.
Задание 6375
В треугольнике АВС угол С тупой, а точка D выбрана на продолжении АВ за точку В так, что $$\angle ACD=135$$ точка D' симметрична точке D относительно прямой ВС, точка D'' симметрична точке D’ относительно прямой АС и лежит на прямой ВС. Известно, что $$\sqrt{3}BC=CD''$$, AC=6.
A) 1) Пусть $$\angle {D}'CO=\alpha$$ .Т.к. $${D}'Q=QD$$, CQ-общая и $$\angle {D}'QC=90$$, то $$\Delta C{D}'Q=\Delta CQD$$ и $$\angle QCD=\alpha$$
2) из $$\Delta ACD :\angle ACB=135-\alpha$$
$$\angle AC{D}'=135-2\alpha =\angle {D}''CA$$(аналогично п.1)
$$\angle {D}''CA+ACQ=180$$
$$135-2\alpha +135-\alpha =180$$
$$3\alpha =90\Leftrightarrow$$ $$\alpha=30$$
3) Пусть $${D}''C=x$$, тогда $$C{D}'=x=CD$$.Т.к. $$\angle {D}'CD=2\alpha=60$$ и $$C{D}'=CD$$, $$\Delta C{D}'D$$-равносторонний .Тогда $$CQ=C{D}'\sin 60=\frac{\sqrt{3x}}{2}$$
4) $$BC=\frac{C{D}''}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}x}{3}$$.Тогда $$BQ=CQ-CB=$$$$\frac{\sqrt{3}x}{2}-\frac{\sqrt{3}x}{3}=\frac{\sqrt{3}x}{6}$$, $$\frac{CB}{BQ}=\frac{\sqrt{3}x}{3}:\frac{\sqrt{3}x}{6}=2:1$$
а т.к. $$CQ\perp DB$$, то CQ- медиана, тогда B-точка пересечения медиан $$\Rightarrow CN\perp C{D}'$$ и $$\angle BDC=\angle BD{D}'\Rightarrow$$ $$\Delta CBD$$-равнобедренный.
Б) 1) $$\angle ACB=135-\alpha=105$$ , $$\angle ABC=180-120=60.$$
По т. Синусов из $$\Delta ACB$$: $$\frac{AC}{\sin \beta }=\frac{OB}{\sin \alpha }\Leftrightarrow$$ $$CB=\frac{6*\sin 15}{\sin 60}=4\sqrt{3}\sin 15$$
2) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*CB*\sin C=$$$$\frac{1}{2}*6*4\sqrt{3}\sin 15 *\sin 105=$$$$12\sqrt{3}*\sin 15*\cos 15=$$$$12\sqrt{3}*\frac{1}{2}*\sin 30=3\sqrt{3}$$
Задание 6470
В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС расположены точки Е и D соответственно так, что AD – биссектриса треугольника АВС, DE – биссектриса треугольника ABD, AE=ED=9/16, CD=3/4.
A) 1) $$\angle EAD=\angle DAC$$(AD-биссектриса ), $$AE=ED\Rightarrow$$ $$\angle EAD=\angle EDA\Rightarrow$$ $$\angle EDA=\angle DAC$$, $$ED\left | \right |AC$$
2) из п.1 $$\Delta EBD\sim \Delta ABC\Rightarrow$$ $$\angle BDE=\angle BCA$$.Но $$\angle BDC=\angle EDA=\angle DAC$$, тогда $$\angle DCA=\angle DAC\Rightarrow$$ $$AD=DC=\frac{3}{4}$$
3) $$\frac{EA}{AD}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow$$ $$AC=\frac{AD^{2}}{EA^{2}}=$$$$\frac{(\frac{3}{4})^{2}}{\frac{9}{16}}=1$$
Б) 1) Пусть EB=x; BD=y. Из подобия п.2 :
$$\left\{\begin{matrix}\frac{EB}{AB}=\frac{ED}{AC}\\\frac{BD}{DC}=\frac{ED}{AC}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{\frac{9}{16}+x}=\frac{\frac{9}{16}}{1}\\\frac{y}{y+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{9}{16}}{1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}16x=9x+\frac{81}{16}\\16y=9y+\frac{27}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{81}{7*16}\\y=\frac{27}{4*7}\end{matrix}\right.$$
Тогда: $$AB=\frac{9}{16}+\frac{81}{7*16}=$$$$\frac{63+81}{7*16}=\frac{9}{7}$$
$$BC=\frac{3}{4}+\frac{27}{4*7}=$$$$\frac{21+27}{4*7}=\frac{12}{7}$$
2) $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
$$p=\frac{1+\frac{9}{7}+\frac{12}{7}}{2}=2$$
$$S=\sqrt{2(2-\frac{9}{7}(2-\frac{12}{7})(2-1)}=$$$$\frac{2}{7}\sqrt{5}$$
Задание 7223
Площадь трапеции ABCD равна 6. Пусть Е – точка пересечения продолжений боковых сторон этой трапеции. Через точку Е и точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая пересекает меньшее основание ВС в точке Р, а большее основание AD – в точке Q. Точка F лежит на отрезке ЕС, причем EF:FC=EP:EQ=1:3.
A) 1) Пусть P и Q не середины . $$\Delta PMC\sim \Delta AMQ$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{PC}{AQ}=\frac{PM}{MQ}(1)$$
$$\Delta BPM\sim \Delta MQD\Rightarrow$$$$\frac{BP}{QD}=\frac{PM}{MQ}(2)$$
$$\Delta EPC\sim \Delta EQD\Rightarrow$$$$\frac{PC}{QD}=\frac{EP}{EQ}(3)$$
$$\Delta EBP\sim \Delta EAQ\Rightarrow$$$$\frac{BP}{AQ}=\frac{EP}{EQ}(4)$$
2) из (1) и (2) : $$\frac{PC}{AQ}=\frac{BP}{QD}(*)$$; Из (3) и (4) : $$\frac{PC}{QD}=\frac{BP}{AQ}(**)$$
Поделим (*) на (**): $$\frac{QD}{AQ}=\frac{AQ}{QD}\Rightarrow$$ $$QD=AQ\Rightarrow BP=PC$$
Б) 1) т.к. BP=PC и AQ=QD, то $$S_{BPQA}=S_{PCDQ}=\frac{S_{ABCD}}{2}=3$$
2) $$\frac{S_{ECP}}{S_{EDQ}}=$$$$(\frac{EP}{EQ})^{2}=$$$$\frac{1}{9}\Rightarrow$$ $$S_{ECP}=\frac{1}{9} S_{EDQ}$$ $$\Rightarrow$$$$S_{PCDQ}=\frac{8}{9}*S_{EDQ}\Rightarrow$$$$S_{ECP}=\frac{1}{8} S_{PCDQ}=\frac{3}{8}$$
3) $$\frac{S_{EFP}}{S_{ECP}}=\frac{EF*EP}{EC*EP}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$S_{EFP}=\frac{1}{4}*\frac{3}{8}=\frac{3}{32}$$
Задание 7784
В прямоугольном треугольнике ABC точка М – середина гипотенузы АВ, ВС>АС. На катете ВС взята точка К такая, что $$\angle$$MKC=$$\angle$$BAC
Задание 8239
В трапеции ABCD отношение оснований $$\frac{AD}{BC}=\frac{5}{2}$$. Точка М лежит на АВ, площадь трапеции ABCD равна 20.
А) 1) Пусть $$BC=2x$$, тогда $$AD=5x$$; $$MN=y\cdot k$$; $$NH\perp BC$$ и $$NH\pepr AD$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup NBM\sim\bigtriangleup AMH$$. Пусть $$\frac{BM}{MA}=k$$ $$\Rightarrow$$ $$MH=y$$. Пусть $$NH=h=y(k+1)$$
2) $$S_{ABCD}=\frac{2x+5x}{2}\cdot y(k+1)=3,5xy(k+1)=20=3/5xh$$
$$S_{BCM}=\frac{1}{2}2x\cdot ky=xky$$. $$S_{AMD}=\frac{1}{2}5x\cdot y=2,5xy$$
Тогда $$S_{CMD}=3,5xy(k+1)-xky-2,5xy=2,5kxy+xy=1,5kxy+xy(k+1)=1,5kxy+\frac{20}{3,5}$$
3) Учтем, что $$xky\rightarrow max$$, когда $$ky=h$$ $$\Rightarrow$$ $$max(S_{BCM})=xh=\frac{20}{3,5}$$ $$\Rightarrow$$ $$max(S_{CMD})=\frac{1,5\cdot20}{3,5}+\frac{20}{3,5}=\frac{50}{3,5}=\frac{100}{7}<1,5$$
Б) 1) $$S_{MCD}=9$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{MBC}+S_{AMD}=11$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}xky+2,5xy=11&\\3,5xy(k+1)=20&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}xy(k+2,5)=11(1)&\\xy(3,5k+3,5)=20(2)&\end{matrix}\right.$$
Поделим $$(1)$$ на $$(2)$$: $$\frac{k+2,5}{3,5k+3,5}=\frac{11}{20}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$20k+50=38,5k+38,5$$
$$18,5k=11,5$$ $$\Rightarrow$$ $$k=\frac{11,5}{18,5}=\frac{23}{37}=\frac{MB}{AM}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AM}{MB}=\frac{37}{23}$$
Задание 8326
Высоты равнобедренного остроугольного треугольника АВС, в котором АВ=ВС, пересекаются в точке О. АО=5, а длина высоты AD равна 8.
А) 1) Пусть $$BK;CH;AD$$ - высоты, $$BO=x$$; $$OK=y$$
2) $$AO=5$$ $$\Rightarrow$$ $$OD=3$$; $$\angle AOK=\angle BOD$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AOK\sim\bigtriangleup BOD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AO}{BO}=\frac{OK}{OD}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{5}{x}=\frac{y}{3}$$; $$xy=15$$
3) $$OH=OD=3$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup AHO$$: $$AH=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$$
Из $$\bigtriangleup AOK$$: $$AK=\sqrt{25-y^{2}}$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=2\sqrt{25-y^{2}}$$
Из $$\bigtriangleup AHC$$: $$4(25-y^{2})-16=8^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$4(25-y^{2})=80$$ $$\Rightarrow$$ $$25-y^{2}=20$$ $$\Rightarrow$$ $$y^{2}=5$$ $$\Rightarrow$$ $$y=\sqrt{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=3\sqrt{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$BK=4\sqrt{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$$
Б) $$S=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{5}\cdot4\sqrt{5}=40$$
Задание 8345
В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы AB, BC > AC. На катете BC взята точка K такая, что $$\angle MKC=\angle BAC$$
А) 1) Пусть $$\angle B$$ в $$\bigtriangleup ABC$$ равен $$\alpha$$, тогда $$\angle BAC=90^{\circ}-\alpha$$
2) $$BM=MA=CM$$ по свойству прямоугольного треугольника $$\Rightarrow$$ $$\angle MCA=90^{\circ}-\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BCM=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha$$
3) $$\angle MKC=90^{\circ}-\alpha$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup CKM$$: $$\angle KMC=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha+\alpha)=90^{\circ}$$
Б) 1) $$CK\cdot CB=CM\cdot CN$$ (свойство секущих) $$\Rightarrow$$ $$\frac{CK}{CN}=\frac{CM}{CB}$$; $$\angle C$$ - общий $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup CKM\sim\bigtriangleup CBN$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle KMC=\angle CBN=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup CBN$$ - прямоугольный
2) $$\angle BCN=\angle BCA$$ $$\angle CBN=\angle BCA$$; $$CB$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup CBN=\bigtriangleup BCA$$ $$\Rightarrow$$ $$BN=CA$$, но $$BN\parallel CA$$ (т.к. обе перпендикулярны $$CB$$) $$\Rightarrow$$ $$CBNA$$ - прямоугольник $$\Rightarrow$$ $$\angle ANB=90^{\circ}$$
Задание 9231
Задание 9248
Задание 9365
Задание 10075
Точки Р и Q расположены на стороне ВС треугольника АВС так, что $$BP:PQ:QC=1:2:3$$ . Точка R делит сторону АС этого треугольника так, что AR:RC=1:2. Точки S и T – точки пересечения прямой BR с прямыми AР и АQ соответственно.
Задание 10195
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность единичного радиуса. Известно, что $$AB=\sqrt{2}$$, $$\angle ABE=\frac{\pi}{4}$$, $$\angle EBD=\frac{\pi}{6}$$; BC=CD