ЕГЭ Профиль
Задание 14315
Решите неравенство $$\frac{1}{\log_3(2x-1)\cdot \log_{x-1}9}< \frac{\log_3\sqrt{2x-1}}{\log_3(x-1)}$$.
$$\frac{1}{log_3(2x-1)\cdot log_{x-1}9}< \frac{log_3\sqrt{2x-1}}{log_3(x-1)}$$;
$$\frac{1}{2log_3(2x-1)\cdot log_{x-1}3}< \frac{\frac{1}{2}\cdot log_3(2x-1)}{log_3(x-1)}$$;
$$\frac{1}{log_{x-1}(2x-1)}< log_{x-1}(2x-1)$$;
$$\frac{log^2_{x-1}(2x-1)-1}{log_{x-1}(2x-1)}>0$$;
Готовимся применить метод замены множителей:
$$\frac{(log_{x-1}(2x-1)-log_{x-1}(x-1))(log_{x-1}(2x-1)-log_{x-1}\frac{1}{x-1})}{log_{x-1}(2x-1)-log_{x-1}1}>0$$;
$$\left\{\begin{matrix} \frac{(x-1-1)(2x-1-(x-1))((x-1-1)(2x-1-\frac{1}{x-1})}{(x-1-1)(2x-1-1)}>0,\\ x-1>0,\\ x-1\neq 1\\ 2x-1>0; \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} \frac{x(x-2)^2((2x-1)(x-1)-1)}{2(x-2)(x-1)^2}>0\\ x>1,\\ x\neq 2; \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} \frac{x(x-2)(2x^2-3x)}{2(x-2)^2}>0,\\ x>1\\ x\neq 2 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2(x-2)(2x-3)}{(x-1)^2}>0\\ x>1,\\ x\neq 2; \end{matrix}\right.$$
$$x\in (1;1,5)\cup (2;+\infty)$$.
Задание 14419
ОДЗ: $$x\neq\pm\sqrt{26}$$
$$4^4\lg^4\left|x^2-26\right|-16\lg^2\left|x^2-26\right|-240\leq0$$ $$|:16$$
$$16\lg^4\left|x^2-26\right|-\lg^2\left|x^2-26\right|-15\leq0$$
$$\lg^2\left|x^2-26\right|=t\geq0$$
$$\left\{\begin{matrix} t\geq0\\ 16t^2-t-15\leq0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} t\in [0;+\infty)\\ t\in [-\frac{15}{16};1] \end{matrix}\right. t\leq1$$
$$\lg^2\left|x^2-26\right|-1\leq0$$
$$(\lg\left|x^2-26\right|-1)(\lg\left|x^2-26\right|+1)\leq0$$
$$z\in [-1;1]$$
$$-1\leq\lg\left|x^2-26\right|\leq1$$
$$\left\{\begin{matrix} \lg\left|x^2-26\right|\leq1\\ \lg\left|x^2-26\right|\geq-1 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} \left|x^2-26\right|\leq10\\ \left|x^2-26\right|\geq0,1 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} (x-6)(x+6)\leq0\\ (x-4)(x+4)\geq0\\ \left[\begin{matrix} x^2-26\geq0,1\\ x^2-26\leq-0,1\\ \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x\in[-6;-\sqrt{26});(-\sqrt{26};-4];[4;\sqrt{26});(\sqrt{26};6]\\ x\in(-\infty;-\sqrt{26,1}];[\sqrt{26,1};+\infty) \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x\in[-\sqrt{25,9};-4];[4;\sqrt{25,9}]\\ x\in [-\sqrt{25,9};\sqrt{25,9}] \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$$
Задание 14481
$$\lg^4(x^2-4)^2-lg^2(x^2-4)^4\geq192$$
ОДЗ: $$x\neq\pm2$$
$$16\lg^4|x^2-4|-16lg^2|x^2-4|\geq192$$
$$\lg^2|x^2-4|=t\geq0$$
$$\left\{\begin{matrix} t\geq0\\ t^2-t-12\geq0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} t\geq0\\ t\geq4 \end{matrix}\right.$$
Переход к старой переменной:
$$\lg^2|x^2-4|\geq0$$
$$(\lg |x^2-4|\leq-2)(\lg |x^2-4|\leq-2)\geq0$$
$$\left[\begin{matrix} \lg|x^2-4|\leq-2\\ \lg|x^2-4|\geq2 \end{matrix}\right.\left[\begin{matrix} |x^2-4|\leq0,1 (1)\\ |x^2-4|\geq100 (2) \end{matrix}\right.$$
(1) $$\left\{\begin{matrix} x^2-4\leq0,01\\ x^2-4\geq-0,01 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} (x-\sqrt{4,01})(x+\sqrt{4,01})\leq0\\ (x-\sqrt{3,99})(x+\sqrt{3,99})\geq0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x\in[-\sqrt{4,01};\sqrt{4,01}]\\ x\in(-\infty;-\sqrt{3,99}];[\sqrt{3,99};+\infty) \end{matrix}\right.$$
$$x\in [-\sqrt{4,01};-\sqrt{3,99}]\cup[\sqrt{3,99};\sqrt{4,01}]$$
(2) $$\left[\begin{matrix} (x-2\sqrt{26})(x+2\sqrt{26})\geq0\\ x^2-4\leq-100\ \end{matrix}\right.$$
$$x\in(-\infty;-2\sqrt{26}];[-\sqrt{4,01};-2);(-2;-\sqrt{3,99}];[\sqrt{3,99};2);(2;\sqrt{4,01}];[2\sqrt{26};+\infty)$$
Задание 14529
ОДЗ неравенства:
$$\Rightarrow x\in (-3;2)$$
Преобразуем неравенство:
$$\log_{0,5}(12-6x)\geq\log_{0,5}(x^2-6x+8)+\log_{0,5}(x+3)$$
$$\log_{0,5} 6(2-x)\geq\log_{0,5}((x-4)(x-2))+\log_{0,5}(x+3)$$
$$\log_{0,5} 6(2-x)\geq\log_{0,5}((4-x)(2-x))+\log_{0,5}(x+3)$$
Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:
$$\log_{0,5}6+\log_{0,5}(2-x)\geq\log_{0,5}(4-x)+\log_{0,5}(2-x)+\log_{0,5}(x+3)$$
$$\log_{0,5} 6\geq\log_{0,5}(4-x)+\log_{0,5}(x+3)$$
Сумма логарифмов равна логарифму произведения подлогарифмических выражений:
$$\log_{0,5} 6\geq\log_{0,5} ((4-x)(x+3))$$
Так как основание логарифмического неравенства 0 < 0,5 < 1, то логарифмическое неравенство равносильно неравенству:
$$6\leq(4-x)(x+3)$$
$$6\leq4x+12-x^2-3x$$
$$6-4x-12+x^2+3x\leq0$$
$$x^2-x-6\leq0$$
Решим неравенство методом интервалов, найдем нули квадратного трехчлена:
$$x^2-x-6=0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=25$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm5}{2}$$
$$x_1=-2; x_2=3$$
$$x\in (-2;3)$$
Учитывая ОДЗ неравенства, найдем его решение:
$$x\in [-2;2)$$