Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C3) Неравенства

Логарифмические неравенства

 

Задание 14283

Решите неравенство $$\frac{1}{\log_{2}(x^4-8x^2+16)-\log_{2}^{2}(4-x^{2})}\leq 1$$

Ответ: $$(-2;-\sqrt{3});\pm \sqrt{2};(\sqrt{3};2)$$
 

Задание 14315

Решите неравенство $$\frac{1}{\log_3(2x-1)\cdot \log_{x-1}9}< \frac{\log_3\sqrt{2x-1}}{\log_3(x-1)}$$.

Ответ: $$(1;1,5)\cup (2;+\infty)$$.
Скрыть

$$\frac{1}{log_3(2x-1)\cdot log_{x-1}9}< \frac{log_3\sqrt{2x-1}}{log_3(x-1)}$$;

$$\frac{1}{2log_3(2x-1)\cdot log_{x-1}3}< \frac{\frac{1}{2}\cdot log_3(2x-1)}{log_3(x-1)}$$;

$$\frac{1}{log_{x-1}(2x-1)}< log_{x-1}(2x-1)$$;

$$\frac{log^2_{x-1}(2x-1)-1}{log_{x-1}(2x-1)}>0$$;

$$\frac{(log_{x-1}(2x-1)-1)(log_{x-1}(2x-1)+1)}{log_{x-1}(2x-1)}>0$$.

Готовимся применить метод замены множителей:

$$\frac{(log_{x-1}(2x-1)-log_{x-1}(x-1))(log_{x-1}(2x-1)-log_{x-1}\frac{1}{x-1})}{log_{x-1}(2x-1)-log_{x-1}1}>0$$;

$$\left\{\begin{matrix} \frac{(x-1-1)(2x-1-(x-1))((x-1-1)(2x-1-\frac{1}{x-1})}{(x-1-1)(2x-1-1)}>0,\\ x-1>0,\\ x-1\neq 1\\ 2x-1>0; \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x(x-2)^2((2x-1)(x-1)-1)}{2(x-2)(x-1)^2}>0\\ x>1,\\ x\neq 2; \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x(x-2)(2x^2-3x)}{2(x-2)^2}>0,\\ x>1\\ x\neq 2 \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2(x-2)(2x-3)}{(x-1)^2}>0\\ x>1,\\ x\neq 2; \end{matrix}\right.$$

$$x\in (1;1,5)\cup (2;+\infty)$$.

 

Задание 14343

Решите неравенство: $$\frac{1}{4}\log_{5}^{2}(2x+3)^{2}+8\log_{5}^{2}\sqrt{x}\leq\log_{5}(2x+3)^{3}\cdot\log_{5}x$$

Ответ: $$[3;+\infty)$$

Задание 14419

Решите неравенство $$lg^4(x^2-26)^4-41lg^2(x^2-26)^2\leq240$$.

Ответ: $$[-6;-\sqrt{26,1}];[-\sqrt{25,9};-4];[4;\sqrt{25,9}];[\sqrt{26,1};6]$$
Скрыть

ОДЗ: $$x\neq\pm\sqrt{26}$$

$$4^4\lg^4\left|x^2-26\right|-16\lg^2\left|x^2-26\right|-240\leq0$$ $$|:16$$

$$16\lg^4\left|x^2-26\right|-\lg^2\left|x^2-26\right|-15\leq0$$

$$\lg^2\left|x^2-26\right|=t\geq0$$

$$\left\{\begin{matrix} t\geq0\\ 16t^2-t-15\leq0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} t\in [0;+\infty)\\ t\in [-\frac{15}{16};1] \end{matrix}\right. t\leq1$$

$$\lg^2\left|x^2-26\right|-1\leq0$$

$$(\lg\left|x^2-26\right|-1)(\lg\left|x^2-26\right|+1)\leq0$$

$$z\in [-1;1]$$

$$-1\leq\lg\left|x^2-26\right|\leq1$$

$$\left\{\begin{matrix} \lg\left|x^2-26\right|\leq1\\ \lg\left|x^2-26\right|\geq-1 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} \left|x^2-26\right|\leq10\\ \left|x^2-26\right|\geq0,1 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} (x-6)(x+6)\leq0\\ (x-4)(x+4)\geq0\\ \left[\begin{matrix} x^2-26\geq0,1\\ x^2-26\leq-0,1\\ \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x\in[-6;-\sqrt{26});(-\sqrt{26};-4];[4;\sqrt{26});(\sqrt{26};6]\\ x\in(-\infty;-\sqrt{26,1}];[\sqrt{26,1};+\infty) \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x\in[-\sqrt{25,9};-4];[4;\sqrt{25,9}]\\ x\in [-\sqrt{25,9};\sqrt{25,9}] \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$$

Задание 14481

Решите неравенство $$\lg^4(x^2-4)^2-lg^2(x^2-4)^4\geq192.$$

Ответ: $$(-\infty;-2\sqrt{26}];[-\sqrt{4,01};-2);(-2;-\sqrt{3,99}];[\sqrt{3,99};2);(2;\sqrt{4,01}];[2\sqrt{26};+\infty)$$
Скрыть

$$\lg^4(x^2-4)^2-lg^2(x^2-4)^4\geq192$$

ОДЗ: $$x\neq\pm2$$

$$16\lg^4|x^2-4|-16lg^2|x^2-4|\geq192$$

$$\lg^2|x^2-4|=t\geq0$$

$$\left\{\begin{matrix} t\geq0\\ t^2-t-12\geq0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} t\geq0\\ t\geq4 \end{matrix}\right.$$

Переход к старой переменной:

$$\lg^2|x^2-4|\geq0$$

$$(\lg |x^2-4|\leq-2)(\lg |x^2-4|\leq-2)\geq0$$

$$\left[\begin{matrix} \lg|x^2-4|\leq-2\\ \lg|x^2-4|\geq2 \end{matrix}\right.\left[\begin{matrix} |x^2-4|\leq0,1 (1)\\ |x^2-4|\geq100 (2) \end{matrix}\right.$$

(1) $$\left\{\begin{matrix} x^2-4\leq0,01\\ x^2-4\geq-0,01 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} (x-\sqrt{4,01})(x+\sqrt{4,01})\leq0\\ (x-\sqrt{3,99})(x+\sqrt{3,99})\geq0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x\in[-\sqrt{4,01};\sqrt{4,01}]\\ x\in(-\infty;-\sqrt{3,99}];[\sqrt{3,99};+\infty) \end{matrix}\right.$$

$$x\in [-\sqrt{4,01};-\sqrt{3,99}]\cup[\sqrt{3,99};\sqrt{4,01}]$$

(2) $$\left[\begin{matrix} (x-2\sqrt{26})(x+2\sqrt{26})\geq0\\ x^2-4\leq-100\ \end{matrix}\right.$$

$$x\in(-\infty;-2\sqrt{26}];[-\sqrt{4,01};-2);(-2;-\sqrt{3,99}];[\sqrt{3,99};2);(2;\sqrt{4,01}];[2\sqrt{26};+\infty)$$

Задание 14529

Решите неравенство $$\log_{0,5}(12-6x)\geq\log_{0;5}(x^2-6x+8)+\log_{0,5}(x + 3).$$
Ответ: $$[-2;2)$$
Скрыть

ОДЗ неравенства:

$$\Rightarrow x\in (-3;2)$$

Преобразуем неравенство:

$$\log_{0,5}(12-6x)\geq\log_{0,5}(x^2-6x+8)+\log_{0,5}(x+3)$$

$$\log_{0,5} 6(2-x)\geq\log_{0,5}((x-4)(x-2))+\log_{0,5}(x+3)$$

$$\log_{0,5} 6(2-x)\geq\log_{0,5}((4-x)(2-x))+\log_{0,5}(x+3)$$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:

$$\log_{0,5}6+\log_{0,5}(2-x)\geq\log_{0,5}(4-x)+\log_{0,5}(2-x)+\log_{0,5}(x+3)$$

$$\log_{0,5} 6\geq\log_{0,5}(4-x)+\log_{0,5}(x+3)$$

Сумма логарифмов равна логарифму произведения подлогарифмических выражений:

$$\log_{0,5} 6\geq\log_{0,5} ((4-x)(x+3))$$

Так как основание логарифмического неравенства 0 < 0,5 < 1, то логарифмическое неравенство равносильно неравенству:

$$6\leq(4-x)(x+3)$$

$$6\leq4x+12-x^2-3x$$

$$6-4x-12+x^2+3x\leq0$$

$$x^2-x-6\leq0$$

Решим неравенство методом интервалов, найдем нули квадратного трехчлена:

$$x^2-x-6=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=25$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm5}{2}$$

$$x_1=-2; x_2=3$$

$$x\in (-2;3)$$

Учитывая ОДЗ неравенства, найдем его решение:

$$x\in [-2;2)$$

Задание 14760

Решите неравенство: $$\frac{\log_{x+1}^2(x-1)+\log_5^2(2x-5)}{\log_{x+1}^2(x-1)+\log_5^2(x-2)}>1$$
Ответ: $$(\frac{5}{2};3),(3;\infty)$$

Задание 14801

Решите неравенство: $$\log_{0,2}^2(5x^2)+\frac{2\log_{0,2}^2x-9\log_{0,2}x+2}{\log_{0,2}(25x)}\leq0$$

Ответ: $$[\frac{1}{25\sqrt{5}};\frac{1}{25}),\left\{1\right\}$$

Задание 14820

Решите неравенство: $$\frac{\log_{\sqrt{1945}}\sqrt{x+4}+\log_{1945^{-1}}(13-x)}{|x^2+2x-3|-|2x^2-10x+8|}\geq0$$
Ответ: $$(-4;1),(1;\frac{5}{3}),[\frac{9}{2};11)$$

Задание 14839

Решите неравенство: $$\log_{625x}25\cdot\log_{0,2}^2(25x)\leq2$$
Ответ: $$(0;\frac{1}{625}),[\frac{1}{125};1]$$

Задание 14937

Решите неравенство: $$|x|-x\cdot\log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{2}-x)\leq0$$
Ответ: $$(-\infty;-\frac{5}{2}],\left\{0\right\},[\frac{1}{6};\frac{1}{2})$$

Задание 15015

Решите неравенство: $$\log_{\frac{1}{2}}(\log_2(\log_{x-1}9))>0$$
Ответ: $$(4;10)$$

Задание 15035

Решите неравенство: $$\log_5^2(x-8)-6\log_5(\sqrt{x-8})\geq4-25\cdot(x-8)\cdot(\log_5(x-8)-4)$$
Ответ: $$(8;\frac{201}{25}],[633;\infty)$$

Задание 15110

Решите неравенство: $$\frac{\log_5(x^2-6x-6)^2-\log_{11}(x^2-6x-6)^3}{4+x-3x^2}\geq0$$
Ответ: $$(-\infty;-1),(-1;3-\sqrt{15}),[7;\infty)$$

Задание 15209

Решите неравенство: $$\log_{2-5x}3+\frac{1}{\log_2(2-5x)}\leq\frac{1}{\log_6(6x^2-6x+1)}$$
Ответ: $$[-\frac{1}{3};0).(\frac{1}{5};\frac{3-\sqrt{3}}{6})$$