ЕГЭ Профиль
Задание 7201
Решите неравенство $$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (6^{x+1}-36^{x})\geq -2$$
ОДЗ: $$6^{x+1}-36^{x}>0\Leftrightarrow$$ $$6*6^{x}-6^{2x}>0\Leftrightarrow$$ $$6^{x}(6-6^{x})>0\Leftrightarrow$$ $$6>6^{x}\Leftrightarrow$$ $$x<1$$
Решение: $$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+2}-36^{x})\geq -2\Leftrightarrow$$ $$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6*6^{x}-6^{2x})\geq \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}5\Leftrightarrow$$ $$(6*6^{x}-6^{2x}-5)(\frac{1}{\sqrt{5}}-1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(6^{2x}-6*6^{x}+5)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(6^{x}-5)(6^{x}-1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(x-\log_{6}5)(x-0)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\geq \log_{6} 5\\x\leq 0\end{matrix}\right.$$
С учетом ОДЗ: $$x \in (-\infty ; 0]\cup [\log_{6}5; 1)$$
Задание 7895
Решите неравенство $$\log_{3}(1+\frac{1}{x})-2\log_{9}(x-1)\leq \log_{3}(3x+4)-\log_{27} x^{6}$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+\frac{1}{x}>0&\\x-1>0&\\3x+4>0&\\x^{6}>0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}+1}{x}>0&\\x>1&\\x>-\frac{3}{4}&\\x\neq0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0&\\x>1&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$x>1$$
Решение: $$\log_{3}(x+\frac{1}{x})-2\cdot\frac{1}{2}\log_{3}(x-1)\leq\log_{3}(3x-4)-3\cdot\frac{1}{3}\log_{3} x^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\log_{3}\frac{x^{2}+1}{x})-\log_{3}(x-1)\leq\log_{3}(3x-4)-\log_{3} x^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}+1}{x(x-1)}\leq\frac{3x-4}{x^{2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{x(x^{2}+1)-(3x-4)x}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{3}-3x^{2}+4}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+1)(x^{2}-4x+4)}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+1)(x-2)^{2}}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x+1}{x-1}\leq0&\\x-2=0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x\geq-1&\\x<1&\end{matrix}\right.&\\x=2&\end{bmatrix}$$
С учетом ОДЗ: $$x=2$$
Задание 8325
$$x^{2}\log_{4}^{2}x+10\log_{3}^{2}x\leq x\log_{4}\cdot\log_{3}x^{7}$$
ОДЗ: $$x^{2}\log_{4}^{2}x-7x\log_{4}x\cdot\log_{3}x+10\log_{3}^{2}x\leq0$$
$$\left[\begin{matrix}(\frac{x\cdot\log_{4}x}{\log_{3}x})^{2}-7\cdot\frac{x\cdot\log_{4}x}{\log_{3}x}+10\leq0&\\\log_{3}x=0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}(x\cdot\frac{\log_{x}3}{\log_{x}4})^{2}-7\cdot x\cdot\frac{x\cdot\log_{x}3}{\log_{x}4}+10\leq0&\\x=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(x\cdot\log_{4}^{3})^{2}-7(x\cdot\log_{4}^{3})+10\leq0$$
Замена: $$x\cdot\log_{4}^{3}=y$$ $$\Rightarrow$$ $$y^{2}-7y+10\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(y-2)(y-5)\leq0$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y\geq2&\\y\leq5&\end{matrix}\right.$$
Получим: $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\cdot\log_{4}^{3}\geq2&\\x\cdot\log_{4}^{3}\leq5&\end{matrix}\right.&\\x=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq\frac{2}{\log_{4}^{3}}&\\x\leq\frac{5}{\log_{4}^{3}}&\end{matrix}\right.&\\x=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq\log_{3}16&\\x\leq\log_{3}1024&\end{matrix}\right.&\\x=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$x\in{1}\cup[\log_{3}16;\log_{3}1024]$$
