Логарифмические неравенства

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Напишем ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}(1+x)(3-x)> 0\\ 1+x> 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix} -1< x< 3\\ x> -1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$-1< x< 3$$

$$2\log _{25}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}\log _{\sqrt{5}}(1+x)> \log _{ \frac{1}{5}} \frac{1}{2}\Leftrightarrow $$$$2\log _{5^{2}}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}\log _{5^{\frac{1}{2}}}(1+x)> \log _{ 5^{-1}} 2^{-1}\Leftrightarrow $$$$2*\frac{1}{2}\log _{5}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}*2\log _{5}(1+x)> (-1)*(-1)\log _{ 5} 2\Leftrightarrow $$$$\log _{5}(1+x)(3-x)-\log _{5}(1+x)> \log _{ 5} 2\Leftrightarrow $$$$\log _{5} \frac{(1+x)(3-x)}{(1+x)}> \log _{ 5} 2\Leftrightarrow $$$$(3-x)> 2\Leftrightarrow x< 1$$

C учетом ОДЗ : $$-1< x< 1$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}\log_{2}^{2}x-5\cdot\log_{2}x+6\neq 0\\3-\log_{2}x\neq 0\\ x> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix} \log_{2}x\neq 2\\ \log_{2}x\neq 3\\ x> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x\neq 4\\ x\neq 8\\ x> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$x\in(0;4)\cup (4;8)\cup (8;+\infty )$$

Введем замену: $$\log_{2} x = y$$. Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{(4y+1)\cdot(y-3)-y+2}{y^{2}-5y+6}\geq\frac{y^{2}-3y+1}{3-y}\Leftrightarrow $$$$\frac{4y^{2}-12y+y-3-y+2}{(y-3)(y-2)}-\frac{y^{2}-3y+1}{-(y-3)}\geq0\Leftrightarrow $$$$\frac{4y^{2}-12y-1}{(y-3)(y-2)}+\frac{(y^{2}-3y+1)(y-2)}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{4y^{2}-12y-1+y^{3}-2y^{2}-3y^{2}+6y+y-2}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{y^{3}-y^{2}-5y-3}{(y-3)(y-2)}\geq 0$$

Рассмотрим числитель данной дроби. Методом подбора найдем корень (рассматривая целочисленные делители свободного члена, то есть (-3): получим, что $$y=-1$$ является корнем, выделим данный множитель (метод деления вы можете найти в видео, прикрепленному к данному варианту):

$$\frac{(y+1)(y^{2}-2y-3)}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{(y+1)(y-3)(y+1)}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y+1)^{2}}{y-2}\geq 0\Leftrightarrow$$$$\left [ \begin{matrix}y\geq 2\\ y=-1\end{matrix}\right.$$

Вернемся к обратной замене:

$$\left [ \begin{matrix}\log_{2}x \geq 2\\ \log_{2}x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left [ \begin{matrix}x \geq 4\\ x=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$

C учетом ОДЗ получаем: $$x \in \left \{ \frac{1}{2} \right \} \cup (4;8) \cup (8; +\infty)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{\log_{9}x-\log_{18}x}{\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)}\leq \log_{36} 9$$

$$\left\{\begin{matrix}x> 0 & \\2-x> 0 \\ \log_{18} (2-x)-\log_{36}(2-x)\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x> 0 \\x< 2 \\2-x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x> 0 & \\x< 2\\x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in ( 0; 1)\cup (1;2)$$

Рассмотрим промежутки по отдельности и воспользуемся свойствами логарифмических функций:

При $$x\in (0; 1) : (a)\log_{9}x-\log_{18}x< 0$$, $$(b)\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)> 0\Rightarrow$$ $$(f)\frac{\log_{9}x-\log_{18}x}{\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)}< 0$$.

Аналогично $$x\in (1;2) (a) > 0; (b) < 0\Rightarrow f< 0$$, но $$\log_{36}9 >0$$ при всех х из полученных промежутков, следовательно, неравенство выполняется в обоих случаях и  $$\Rightarrow x\in (0;1)\cup (1;2)$$.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     ОДЗ : $$\left\{\begin{matrix}\log_{2}\frac{x-\left | x \right |-12}{x+3}>0(1)\\\frac{x^{2}-\left | x \right |-12}{x+3}>0(2)\end{matrix}\right.$$

(1): $$\frac{x^{2}-\left | x \right |-12}{x+3}>1\Leftrightarrow$$ $$\frac{(\left | x \right |+3)(\left | x \right |-4)-(x+3)}{x+3}>0$$

     При $$x\geq 0:\frac{(x+3)(\left | x \right |-4-1)}{x+3}>0\Leftrightarrow$$ $$\left | x \right |-5>0\Leftrightarrow$$ $$x \in (-\infty; -5)\cup (5 ;+\infty )$$. С учетом $$x\geq 0: x\in (5;+\infty )$$

     При $$x<0:\frac{x^{2}+x-12-x-3}{x+3}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}-15}{x+3}>0$$.

     С учетом $$x<0:x \in (-\sqrt{15}; -3)$$

(2): $$\frac{(\left | x \right |+3)(\left | x \right |-4)}{x+3}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{\left | x \right |-4}{x+3}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-4)(x+4)}{x+3}>0$$

     Итоговое ОДЗ:

$$x \in (-\sqrt{15} ;-3)\cup (5; +\infty )$$

     Решение:

$$\log_{2}\frac{(\left | x \right |+3)(\left | x \right |-4)}{x+3}<1\Leftrightarrow$$ $$\frac{(\left | x \right |+3)(\left | x \right |-4)}{x+3}<2\Leftrightarrow$$ $$\frac{(\left | x \right |+3)(\left | x \right |-4)-2(x+3)}{x+3}<0$$

     При $$x\geq 0 : \frac{(x+3)(\left | x \right |-6)}{x+3}<0\Leftrightarrow$$ $$(x-6)(x+6)<0$$.С учетом $$x\geq 0: [0;6)$$

     При $$x<0:\frac{x^{2}+x-12-2x-6}{x+3}<0 \Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}-x-18}{x+3}<0$$

Рассмотрим числитель дроби: $$x^{2}-x-18=0$$, тогда $$D=1+72=73$$ и $$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{73}}{2}$$

     C учетом $$x<0: (-\infty ;\frac{1-\sqrt{73}}{2})\cup (-3;0) $$

     Итоговое решение $$x \in (-\infty ;\frac{1-\sqrt{73}}{2})\cup (-3; 6)$$

     С учетом ОДЗ:

     $$x \in (-\sqrt{15} ;\frac{1-\sqrt{73}}{2})\cup (5; 6)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     ОДЗ: $$x>0$$

     $$\frac{1}{4} * x^{\frac{1}{2}\log_{2}x}\geq 2 ^{\frac{1}{4} \log_{2}^{2}x}|:\frac{1}{4}\Leftrightarrow$$$$x^{\frac{1}{2}\log_{2}x}\geq 2^{2+\frac{1}{4}\log_{2}^{2}x}$$

     Введем замену: $$\frac{1}{2}\log_{2}x=y\Rightarrow \log_{2}x=2y\Rightarrow x=2^{2y}$$

     $$(2^{2y})^{y}\geq 2^{2+y^{2}}\Leftrightarrow 2^{2y^{2}}\geq 2^{2+y^{2}}\Leftrightarrow 2y^{2}\geq 2+y^{2}\Leftrightarrow y^{2}\geq 2\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y\geq \sqrt{2}\\y\leq -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\log_{2}x\geq \sqrt{2}\\\frac{1}{2}\log_{2}x\leq -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\log_{2}x\geq 2\sqrt{2}\\\log_{2} x \leq -2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x \geq 2^{2\sqrt{2}}\\x \leq \frac{1}{2^{2\sqrt{2}}}\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in (0, \frac{1}{2^{2\sqrt{2}}}]\cup [2^{2\sqrt{2}}, +\infty )$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

ОДЗ: $$\frac{1}{3}-x>0\Leftrightarrow$$ $$-x>-\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$x<\frac{1}{3}$$

     1) При $$x \in (-\infty ;0)$$

$$x \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)\geq -x\Leftrightarrow$$ $$x(\log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)+1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x(\log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)*\frac{1}{3})\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}(\frac{1}{3}-x)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(\frac{1}{9}-\frac{1}{3}x-1)(\frac{1}{3}-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(-\frac{1}{3}x-\frac{8}{9})\geq 0\Leftrightarrow$$$$-\frac{1}{3}x\geq \frac{8}{9}\Leftrightarrow$$ $$x\leq -\frac{8}{3}$$

     2)При $$x \in (0; +\infty )$$

$$x \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)\geq x\Leftrightarrow$$ $$x(\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{3}-x)-1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x (\log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)*3)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)3\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(1-3x-1)(\frac{1}{3}-1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(-3x)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x\geq 0$$

     3) При x=0 неравенство выполняется

Тогда решение: $$(-\infty ;-\frac{8}{3})\cup [0;+\infty )$$

С учетом ОДЗ: $$(-\infty;-\frac{1}{3}]\cup [0;\frac{1}{3})$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}1-\frac{1}{x}>0\\10-x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x-1}{x}>0\\x<10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x>1\\x<0\end{matrix}\right.\\x<10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (-\infty ;0)\cup (1;10)$$

   Решение: $$\log_{2}(1-\frac{1}{x})*(10-x)\leq \log_{2}4\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-1)(10-x)}{x}\leq 4\Leftrightarrow$$ $$\frac{10x-x^{2}-10+x-4x}{x}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{-x^{2}+7x-10}{x}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}-7x+10}{x}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-2)(x-5)}{x}\geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x>0\\x\leq 2\end{matrix}\right.\\x\geq 5\end{matrix}\right.$$

   С учетом ОДЗ: $$x \in (1; 2]\cup [5; 10)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   $$\log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x+3}-x+3)\geq -2+\log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$$

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+3\geq 0\\\sqrt{x+3}-x+3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq -3\\\sqrt{x+3}>x-3 (1)\end{matrix}\right.$$

     (1) :решим графически: $$x \in [-3 ; 6]$$

     Решение: $$\log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x+3}-x+3)\geq \log_{\frac{1}{4}}16+\log_{\frac{1}{4}}\frac{3}{8}\Leftrightarrow$$

$$\log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x+3}-x+3)\geq \log_{\frac{1}{4}}16*\frac{3}{8}\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{x+3}-x+3\leq 6\Leftrightarrow \sqrt{x+3}\leq x+3$$

     Пусть $$\sqrt{x+3}=y\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x+3=y^{2}$$:$$\left\{\begin{matrix}y\leq y^{2}\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y^{2}-y\geq 0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}(y-1)y\geq 0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y\geq 0\\\left\{\begin{matrix}y\leq 0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=0\\y\geq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+3}=0\\\sqrt{x+3}\geq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=-3\\x\geq -2\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОДЗ : $$x \in$$ $${-3}\cup [-2 ;6)$$