ЕГЭ Профиль
Задание 7943
Плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны АВ и ВС основания пополам.
Задание 8306
В окружность нижнего основания цилиндра с высотой 2 вписан правильный треугольник АВС со стороной $$\sqrt{3}$$. В окружность верхнего основания вписан правильный треугольник А1В1С1 так, что он повернут относительно треугольника АВС на угол 600
А) 1) Рассмотрим переход точек на примере нижнего основания. Т.к. $$\bigtriangleup ABC$$ - правильный, то $$\angle C=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\smile AB=120^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ точка $$A$$ переходит в середину $$\smile AB$$, аналогично $$B$$ в середину $$\smile BC$$, $$C$$ - $$\smile AC$$: Получим $$\bigtriangleup ABC\Rightarrow\bigtriangleup LKH$$. При этом получим 6 равных дуг $$\Rightarrow$$ хорды, их стягивающие, тоже равны $$\Rightarrow$$ $$ALBKCH$$ - правильный шестиугольник
2) Посмотрим на цилиндр. $$K$$ - проекция $$B_{1}$$, $$H$$ - проекция $$C_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$HK$$ - проекция $$C_{1}B_{1}$$,но $$HK\parallel AB$$ и $$HK=AB$$ $$\Rightarrow$$ $$C_{1}B_{1}=AB$$ и $$C_{1}B_{1}=AB$$.
3) $$BK\perp AB$$; $$B_{1}K\perp(ABC)$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}B\perp AB$$ $$\Rightarrow$$ $$ABB_{1}C_{1}$$ - прямоугольник
Б) $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=V_{AKBLCHA_{1}K_{1}...H_{1}}-6V_{HCAC_{1}}$$ т.к. $$V_{HCAC_{1}}=\frac{1}{3}CH_{1}\cdot S_{CHA}$$, высоты в шести отсеченных пирамидах $$(CHAC_{1};ALBA_{1};BKCB_{1};C_{1}H_{1}A_{1}A;A_{1}B_{1}L_{1}B;B_{1}K_{1}C_{1}C)$$ одинаковы, основания тоже.
2) из $$\bigtriangleup ACH$$: Пусть $$CH=HA=x$$, по т. косинусов: $$3=x^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot x\cdot\cos120^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=1$$
3) $$S_{AL...H_{1}}=\frac{\sqrt{3}x^{2}}{4}\cdot6=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{AL...H_{1}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot2=3\sqrt{3}$$
4) $$V_{HCAC_{1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin120^{\circ}\cdot2=\frac{\sqrt{3}}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=3\sqrt{3}-6\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}$$
Задание 9781
В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобедренная трапеция KLMN, описанная около окружности и такая, что KN=LM=4, MN>KL и угол между прямыми KN и LM равен 600. Две противоположные грани этой пирамиды перпендикулярны основанию и SM=12.
Задание 9876
Объем куба ABCDA1B1C1D1 с нижним основанием ABCD равен 27. Над плоскостью верхнего основания отмечена точка Е такая, что BE=$$\sqrt{41}$$ и CE=$$5\sqrt{2}$$.
Задание 10441
В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ – точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что CD=BE=AL=2.
Задание 10528
На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА =1:2. Точки Р и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.
Задание 11376
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро АА1равно $$5\sqrt{3}$$. На ребре DD1отмечена точка М так, что DM:MD1=3:2. Плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой A1F1и проходит через точки М и Е.
а) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью $$\alpha$$ — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием — сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью а.
Задание 11711
Основанием пирамиды SABC является треугольник АВС, в котором АВ=5, ВС=12 и $$\angle ABC=90^{\circ}$$. Ребро AS перпендикулярно основанию АВС и равно $$2\sqrt{14}$$. Точки L и M расположены на ребрах SC и SB. При этом $$\frac{CL}{SL}=\frac{SL}{SC}$$, $$SM\cdot MB=\frac{SB^{2}}{9}$$ причем точка М расположена ближе к В, чем к S.
Задание 11730
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S – вершина , BD – диагональ основания) образует угол 45о c плоскостью основания, а сторона равна 4. Через среднюю линию треугольника ABD, не пересекающую BD и середину высоты пирамиды, проведена плоскость $$\alpha$$.
Задание 12297
Задание 12352
В правильной восьмиугольной призме $$ABCDEFGHA_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$$ сторона основания АВ равна $$3\sqrt{2}$$, а боковое ребро $$AA_1$$ равно 6. На ребре $$CC_1$$ отмечена точка М так, что $$CM:MC_1\ =\ 1:2.$$ Плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой $$H_1E_1$$ и проходит через точки М и А.
Задание 12413
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка К, причём $$SK:\ KC=1:3.$$ Плоскость $$\alpha $$ содержит точку К и параллельна плоскости SAD.
Задание 12773
На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём $$SM:\ MA=1:2.$$ Точки Р и Q - середины рёбер ВС и AD соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
Задание 13372
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 16, высота SH равна 10. Точка К — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку К и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и Р соответственно.
Задание 13391
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка К — середина бокового ребра SD. Плоскость АКB пересекает боковое ребро SC в точке Р.
