Сечения многогранников

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре ВВ₁ отмечена точка Q такая, что BQ:QB₁=2:7. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки А и Q параллельно прямой BD. Эта плоскость пересекает ребро СС₁ в точке М.

А) Докажите, что С₁М:СС₁=5:9

Б) Найдите площадь сечения, если АВ=$$3\sqrt{2}$$, АА₁=18.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ проведена секущая плоскость, содержащая диагональ АС₁ и пересекающая ребра ВВ₁ и DD₁ в точках F и Е соответственно.

а) Докажите, что сечение AFC₁E - параллелограмм.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC₁E - ромб и АВ = 3, ВС = 2, АА₁ = 5.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА₁ равно $$5\sqrt{3}$$. На ребре DD₁ отмечена точка М так, что DM:MD₁=2:3. Плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой A₁F₁ и проходит через точки М и B.

A) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плоскостью $$\alpha$$ - равнобедренная трапеция.

Б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка А₁, а основанием — сечение призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плоскостью $$\alpha$$.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка Р лежит на ребре АА₁, причем A₁P:PA=3:4, BB₁=14, AD=6. Плоскость DPB₁ пересекает ребро СС₁ в точке N, тангенс угла между прямой NP и плоскостью основания ABCD равен $$\frac{1}{5}$$.

А) Докажите, что четырехугольник DPB₁N - ромб.

Б) Найдите площадь сечения DPB₁N.

Плоскость $$\alpha$$ проходит через середины двух противоположных ребер треугольной пирамиды и параллельна медиане одной из ее граней.

А) Докажите, что среди медиан граней этой пирамиды в точности две являются параллельными к плоскости $$\alpha$$

Б) Найдите площадь сечения данной пирамиды плоскостью $$\alpha$$, если эти медианы перпендикулярны друг другу и равны 2.

(Автор задачи Николай Журавлев)

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром длины 1. Точка Р - середина A₁D₁, точка Q делит отрезок АВ₁ в отношении 2:1, считая от вершины А, R - точка пересечения отрезков ВС₁ и В₁С.

А) Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR.

Б) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС₁ куба.

В правильной четырёхугольной пирамиде FABCD с вершиной F сторона основания равна $$9\sqrt{2}$$, боковое ребро равно 15. Точка N делит высоту пирамиды в отношении 2:1, считая от вершины F. Через точки B и N параллельно прямой AC проведена плоскость $$\gamma$$, пересекающая ребро DF в точке M.

А) Докажите, что точка M - середина отрезка DF.

Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $$\gamma$$.

В четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 6, точка M - середина отрезка AS.

а) Докажите, что прямая AS перпендикулярна плоскости BMD.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BMD.

В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром $$\sqrt{13}$$ и стороной основания 6 вписан шар. Плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.

В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания $$2\sqrt{3}$$ вписан шар. Плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $$SABCD$$ относится к боковому ребру как $$1:\sqrt{2}$$ . Через вершину $$D$$ проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная боковому ребру $$SB$$ и пересекающая его в точке $$M$$.

В основании прямой призмы $$A B C D A_1 B_1 C_1 D_1$$ лежит параллелограмм $$A B C D$$. На рёбрах $$A_1 B_1, B_1 C_1$$ и $$B C$$ отмечены точки $$M, K$$ и $$N$$ соответственно, причём $$B_1 K: K C_1=1: 3$$. Четырёхугольник $$A M K N-$$ равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4 .

В основании прямой призмы $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ лежит параллелограмм $$ABCD$$. На рёбрах $$A_1B_1, B_1C_1$$ и $$BC$$ отмечены точки $$M, K$$ и $$N$$ соответственно, причём $$B_1K:KC_1=2:3$$. Четырёхугольник $$AMKN$$ - равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.

На рёбрах $$AB$$ и $$B_{1}C_{1}$$ правильной треугольной призмы $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$ отметили соответственно точки $$T$$ и $$K$$ так, что $$AT:TB=2:1$$ и $$B_{1}K=KC_{1}$$. Через точки $$K$$ и $$C$$ параллельно прямой $$TB_{1}$$ проведена плоскость $$\alpha$$.

На рёбрах $$AB$$ и $$A_{1}C_{1}$$ правильной треугольной призмы $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$ отметили соответственно точки $$T$$ и $$K$$ так, что $$AT:TB=1:2$$ и $$A_{1} K=K C_{1}$$. Через точки $$K$$ и $$C$$ параллельно прямой $$TA_{1}$$ проведена плоскость $$\alpha$$.