ЕГЭ Профиль
Задание 12915
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки М и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость $$\alpha$$ содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
Задание 13543
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС=CN:BN=2:1, точка K - середина ребра A1C1.
Задание 14292
В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ на ребре $$BB_{1}$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$BK:B_{1}K=1:2$$. Через точку $$K$$ параллельно $$(BDA_{1})$$ проведена плоскость $$\beta$$.
Задание 14330
В правильной пирамиде $$PABCD$$ на ребрах $$AB$$ и $$PD$$ взяты точки $$M$$ и $$K$$ соответственно, причем $$AM:BM=1:3$$, $$DK:PK=4:3$$.
Задание 14436
а) Докажите, что сечение призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ плоскостью $$\alpha$$ — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка $$F$$, а основанием — сечение призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ плоскостью $$\alpha$$.
- Точки M и E лежат в одной плоскости – соединим их.
- Так как плоскость $$\alpha || A_1F_1$$ и содержит точку E, проведем через т. E прямую, параллельную $$A_1F_1:A_1F_1||AF||EB.$$
- Так как плоскость $$\alpha || A_1F_1$$ и содержит точку M, проведем через т. M прямую, параллельную $$A_1F_1:A_1F_1||AF||CD||MK.$$
- Четырехугольник BEMK – искомое сечение призмы плоскостью $$\alpha$$
MK||BE (по построению)
∆BKC = ∆EMD (по двум катетам: BC=ED, CK=DM т.к. MK||CD) $$\Rightarrow$$ BK=EM.
Значит, BEMK – равнобедренная трапеция.
Ч.т.д.
б)
$$V_{FBKME}=\frac{1}{3}\cdot S_{BKME}\cdot H_{пир}$$
$$1) S_{BKME}=\frac{KM+BE}{2}\cdot H_{трап}$$
$$CK=MD=\frac{3}{5}DD_1=3\sqrt{3}$$
$$BK=\sqrt{BC^2+CK^2}=\sqrt{4^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{43}$$
$$BH=GE=\frac{8-4}{2}=2$$
$$h=KH=\sqrt{BK^2-BH^2}=\sqrt{43-4}=\sqrt{39}$$
Тогда:
$$S_{BKME}=\frac{4+8}{2}\cdot\sqrt{39}=6\sqrt{39}$$
2) Для нахождения высоты $$h_{пир}$$ пирамиды FBKME введем систему координат как показано на рисунках и по формуле найдем расстояние от точки F до плоскости BME:
По теореме косинусов из ∆AFB найдем BF: $$BF=4\sqrt{3}$$
Найдем координаты точки F и точек плоскости основания: B,E,M.
$$F(-2\sqrt{3};-2;0)$$
$$B(2\sqrt{3};-2;0)$$
$$E(-2\sqrt{3};2;0)$$
$$M(0;4;3\sqrt{3})$$
Составим уравнение плоскости BME:
$$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{3}A-2B+D=0\\ -2\sqrt{3}A+2B+D=0\\ 4B+3\sqrt{3}C+D=0 \end{matrix}\right.$$
Сложим 1 и 2 уравнение и получим D=0.
Из второго уравнения: $$A=\frac{B}{\sqrt{3}}$$
Из третьего уравнения: $$С=-\frac{4B}{3\sqrt{3}}$$
Тогда, уравнение плоскости BME примет вид:
$$\frac{B}{\sqrt{3}}x+By-\frac{4B}{3\sqrt{3}}z=0$$
Разделим обе части уравнения на B:
$$\frac{1}{\sqrt{3}}x+y-\frac{4}{3\sqrt{3}}z=0$$
$$h_{пир}=p(F;BME)=\frac{\left|\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot(-2\sqrt{3}+(-2)-\frac{4}{3\sqrt{3}}\cdot0\right|}{\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2+1^2+(\frac{4}{3\sqrt{3}})^2}}=\frac{6\sqrt{39}}{13}$$
$$V_{FBKME}=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{39}\cdot\frac{6\sqrt{39}}{13}=36$$
Задание 14495
а) Заметим, что прямые EH и E1H1 параллельны, следовательно, плоскость α пересекает нижнее основание трапеции по прямой, параллельной EH и содержащей точку A. Такой прямой является прямая, cодержащая диагональ AD основания, то есть AD — сторона сечения. Вторая сторона сечения это отрезок DM. Плоскости ABC и BCC1 пересекаются по прямой CB, параллельной AD, следовательно, плоскость α пересекает плоскость BCC1 по прямой, параллельной ребру двугранного угла DBCM, то есть параллельной BC. Назовем эту прямую MN, где N лежит на ребре BB1.
Таким образом, прямые AD, BC и MN параллельны между собой. Кроме того, $$MN=BC\neq AD,$$ следовательно, ADMN — трапеция. Легко заметить, что треугольники ABN и DCM равны и, следовательно, $$AN=DM.$$
б) Построим сечение призмы, проходящее через точки P, Q, R и S — середины ребер BC, B1C1, F1G1 и FG, соответственно. Очевидно, что указанное сечение проходит также через точки K и L — середины AD и MN, а также перпендикулярно этим отрезкам.
Заметим, что прямые F1G1, E1H1 и плоскость α параллельны между собой, следовательно, расстояния до плоскости α от всех точек этой прямой равны. Из точки R на прямую KL опустим перпендикуляр RO, заметим, что прямые RO и AD взаимно перпендикулярны, следовательно, прямая RO перпендикулярна плоскости α.
Расстояние от точки F до плоскости равно длине RO. Пусть T — точка пересечения RO и PS. Значит,
$$LP=MC=\frac{1}{3}CC_1=2,$$
откуда
$$KP=3,KL=\sqrt{13},MN=BC=3\sqrt{2},AD=3\sqrt{2}+6$$
Теперь можно найти площадь трапеции ADMN: $$S_{ADMN}=3\sqrt{13}(\sqrt{2}+1).$$
Заметим, что треугольники LPK, KTO и RTS — подобны. Следовательно,
$$\frac{ST}{RS}=\frac{LP}{PK}=\frac{2}{3},$$
откуда
$$ST=4,SP=AD=3\sqrt{2}+6,TK=3\sqrt{2}-1,RT=2\sqrt{13},$$
тогда
$$\frac{TO}{LP}=\frac{TK}{KL}=\frac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{13}}\Rightarrow TO=\frac{2(3\sqrt{2}-1}{\sqrt{13}}.$$
Итак,
$$RO=RT+TD=\frac{6(\sqrt{2}+4)}{\sqrt{13}},$$
а значит, объем пирамиды F1ADMN равен
$$V_{F_1ADMN}=\frac{1}{3}RO\cdot S_{ADMN}=6(5\sqrt{2}+6)$$
Задание 14512
а) Известно, что образующие конуса равны, то есть, AB = BC. По условию сечение проходит через AB, BC и вершину B, следовательно, сечение – это равнобедренный прямоугольный треугольник ABC.
б) Расстояние от центра основания O до плоскости сечения – это перпендикуляр OP, который также можно воспринимать как высоту прямоугольного треугольника BON с площадью:
$$S_{BON}=\frac{1}{2}OP\cdot NB=\frac{1}{2}ON\cdot OB$$
Отсюда, имеем:
$$OP=\frac{ON\cdot OB}{NB}$$
Найдем сначала длины образующих AB и BC, зная, что радиус основания 12, а высота конуса OB = 5:
$$AB=BC=\sqrt{12^2+5^2}=13$$
Затем, из прямоугольного треугольника AB. Cнайдем AC:
$$AC=\sqrt{13^2+13^2}=13\sqrt{2}$$
Следовательно,
$$NC=\frac{1}{2}AC=\frac{13\sqrt{2}}{2}$$ и $$BN=\sqrt{BC^2-NC^2}=\sqrt{13^2-\frac{13^2}{2}}=\frac{13\sqrt{2}}{2}$$
Далее, из прямоугольного треугольника ONC находим ON:
$$ON=\sqrt{OC^2-NC^2}=\sqrt{144-\frac{169}{2}}=\sqrt{\frac{119}{2}}$$
Получаем значение расстояния OP:
$$OP=\frac{\sqrt{\frac{119}{2}}\cdot5}{\frac{13\sqrt{2}}{2}}=\frac{5\sqrt{119}}{13}$$
Задание 14996
Задание 15034
Задание 15111
Задание 15148
Задание 15536
В основании пирамиды $$SABCD$$ лежит трапеция $$ABCD$$ с большим основанием $$AD$$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $$O$$. Точки $$M$$ и $$$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки $$M$$ и $$N$$ параллельно прямой $$SO$$.
Задание 15635
Задание 15692
В основании пирамиды $$SABCD$$ лежит трапеция $$ABCD$$ с большим основанием $$AD$$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $$O$$. Точки $$М$$ и $$N$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки $$М$$ и $$N$$ параллельно прямой $$SO$$.