Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C2) Стереометрическая задача

Сечения многогранников

 

Задание 12915

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки М и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость $$\alpha$$ содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью $$\alpha$$.
Ответ: $$8+2\sqrt{2}$$
 

Задание 13543

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС=CN:BN=2:1, точка K - середина ребра A1C1.

а) Докажите, что плоскость MNB1 проходит через середину ребра A1C1
б) Найдите площадь сечения призмы АВСА1В1С1плоскостью MNB1 если АВ=6, $$AA_{1}=\sqrt{3}$$.
Ответ: $$5\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14292

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ на ребре $$BB_{1}$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$BK:B_{1}K=1:2$$. Через точку $$K$$ параллельно $$(BDA_{1})$$ проведена плоскость $$\beta$$.

А) Докажите, что плоскость $$\beta$$ пересекает ребро $$CD$$ в такой точке $$M$$, что $$CM=2MD$$.
Б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $$\beta$$, если известно, что $$AB=6$$, $$BC=8$$, $$BB_{1}=12$$.
Ответ: $$\frac{52\sqrt{29}}{3}$$
 

Задание 14330

В правильной пирамиде $$PABCD$$ на ребрах $$AB$$ и $$PD$$ взяты точки $$M$$ и $$K$$ соответственно, причем $$AM:BM=1:3$$, $$DK:PK=4:3$$.

а) Докажите, что прямая $$BP$$ параллельна плоскости $$MCK$$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $$MCK$$, если известно, что все ребра пирамиды равны 4.
Ответ: $$\frac{57\sqrt{11}}{28}$$.

Задание 14436

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ сторона основания $$АВ$$ равна $$4$$, а боковое ребро $$АА_1$$ равно $$5\sqrt{3}$$. На ребре $$DD_1$$ отмечена точка $$М$$ так, что $$DM:MD_1=3:2$$. Плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой и проходит через точки $$М$$ и $$Е$$.
а) Докажите, что сечение призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ плоскостью $$\alpha$$ — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка $$F$$, а основанием — сечение призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ плоскостью $$\alpha$$.

Ответ: 36
Скрыть а)

  1. Точки M и E лежат в одной плоскости – соединим их.
  2. Так как плоскость $$\alpha || A_1F_1$$ и содержит точку E, проведем через т. E прямую, параллельную $$A_1F_1:A_1F_1||AF||EB.$$

  1. Так как плоскость $$\alpha || A_1F_1$$ и содержит точку M, проведем через т. M прямую, параллельную $$A_1F_1:A_1F_1||AF||CD||MK.$$
  2. Четырехугольник BEMK – искомое сечение призмы плоскостью $$\alpha$$

MK||BE (по построению)

∆BKC = ∆EMD (по двум катетам: BC=ED, CK=DM т.к. MK||CD) $$\Rightarrow$$ BK=EM.

Значит, BEMK – равнобедренная трапеция.

Ч.т.д.

б)

$$V_{FBKME}=\frac{1}{3}\cdot S_{BKME}\cdot H_{пир}$$

$$1) S_{BKME}=\frac{KM+BE}{2}\cdot H_{трап}$$

$$CK=MD=\frac{3}{5}DD_1=3\sqrt{3}$$

$$BK=\sqrt{BC^2+CK^2}=\sqrt{4^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{43}$$

$$BH=GE=\frac{8-4}{2}=2$$

$$h=KH=\sqrt{BK^2-BH^2}=\sqrt{43-4}=\sqrt{39}$$

Тогда:

$$S_{BKME}=\frac{4+8}{2}\cdot\sqrt{39}=6\sqrt{39}$$

2) Для нахождения высоты $$h_{пир}$$ пирамиды FBKME введем систему координат как показано на рисунках и по формуле найдем расстояние от точки F до плоскости BME:

По теореме косинусов из ∆AFB найдем BF:  $$BF=4\sqrt{3}$$

Найдем координаты точки F и точек плоскости основания: B,E,M.

$$F(-2\sqrt{3};-2;0)$$

$$B(2\sqrt{3};-2;0)$$

$$E(-2\sqrt{3};2;0)$$

$$M(0;4;3\sqrt{3})$$

Составим уравнение плоскости BME:

$$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{3}A-2B+D=0\\ -2\sqrt{3}A+2B+D=0\\ 4B+3\sqrt{3}C+D=0 \end{matrix}\right.$$

Сложим 1 и 2 уравнение и получим D=0.

Из второго уравнения: $$A=\frac{B}{\sqrt{3}}$$

Из третьего уравнения: $$С=-\frac{4B}{3\sqrt{3}}$$

Тогда, уравнение плоскости BME примет вид:

$$\frac{B}{\sqrt{3}}x+By-\frac{4B}{3\sqrt{3}}z=0$$

Разделим обе части уравнения на B:

$$\frac{1}{\sqrt{3}}x+y-\frac{4}{3\sqrt{3}}z=0$$

$$h_{пир}=p(F;BME)=\frac{\left|\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot(-2\sqrt{3}+(-2)-\frac{4}{3\sqrt{3}}\cdot0\right|}{\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2+1^2+(\frac{4}{3\sqrt{3}})^2}}=\frac{6\sqrt{39}}{13}$$

$$V_{FBKME}=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{39}\cdot\frac{6\sqrt{39}}{13}=36$$

Задание 14495

В правильной восьмиугольной призме $$ABCDEFGHA_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$$ сторона основания $$АВ$$ равна $$3\sqrt{2},$$ а боковое ребро $$АА_1$$ равно $$6.$$ На ребре $$СС_1$$ отмечена точка $$М$$ так, что $$СМ:МС_1=1:2.$$ Плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой $$Н_1Е_1$$ и проходит через точки $$М$$ и $$А.$$

а) Докажите, что сечение призмы $$ABCDEFGHA_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$$ плоскостью $$\alpha$$ — равнобедренная трапеция.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка $$F_1,$$ а основанием — сечение призмы $$ABCDEFGHA_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$$ плоскостью $$\alpha.$$

Ответ: $$6(5\sqrt{2}+6)$$
Скрыть

а) Заметим, что прямые EH и E1H1 параллельны, следовательно, плоскость α пересекает нижнее основание трапеции по прямой, параллельной EH и содержащей точку A. Такой прямой является прямая, cодержащая диагональ AD основания, то есть AD — сторона сечения. Вторая сторона сечения это отрезок DM. Плоскости ABC и BCC1 пересекаются по прямой CB, параллельной AD, следовательно, плоскость α пересекает плоскость BCC1 по прямой, параллельной ребру двугранного угла DBCM, то есть параллельной BC. Назовем эту прямую MN, где N лежит на ребре BB1.

Таким образом, прямые ADBC и MN параллельны между собой. Кроме того, $$MN=BC\neq AD,$$ следовательно, ADMN — трапеция. Легко заметить, что треугольники ABN и DCM равны и, следовательно, $$AN=DM.$$ 

б) Построим сечение призмы, проходящее через точки P, Q, R и S — середины ребер BCB1C1F1G1 и FG, соответственно. Очевидно, что указанное сечение проходит также через точки K и L — середины AD и MN, а также перпендикулярно этим отрезкам.

Заметим, что прямые F1G1E1H1 и плоскость α параллельны между собой, следовательно, расстояния до плоскости α от всех точек этой прямой равны. Из точки R на прямую KL опустим перпендикуляр RO, заметим, что прямые RO и AD взаимно перпендикулярны, следовательно, прямая RO перпендикулярна плоскости α.

Расстояние от точки F до плоскости равно длине RO. Пусть T — точка пересечения RO и PS. Значит,

$$LP=MC=\frac{1}{3}CC_1=2,$$

откуда

$$KP=3,KL=\sqrt{13},MN=BC=3\sqrt{2},AD=3\sqrt{2}+6$$

Теперь можно найти площадь трапеции ADMN: $$S_{ADMN}=3\sqrt{13}(\sqrt{2}+1).$$ 

Заметим, что треугольники LPKKTO и RTS — подобны. Следовательно,

$$\frac{ST}{RS}=\frac{LP}{PK}=\frac{2}{3},$$

откуда

$$ST=4,SP=AD=3\sqrt{2}+6,TK=3\sqrt{2}-1,RT=2\sqrt{13},$$

тогда

$$\frac{TO}{LP}=\frac{TK}{KL}=\frac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{13}}\Rightarrow TO=\frac{2(3\sqrt{2}-1}{\sqrt{13}}.$$

Итак,

$$RO=RT+TD=\frac{6(\sqrt{2}+4)}{\sqrt{13}},$$

а значит, объем пирамиды F1ADMN равен

$$V_{F_1ADMN}=\frac{1}{3}RO\cdot S_{ADMN}=6(5\sqrt{2}+6)$$

Задание 14512

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{119}}{13}$$
Скрыть

а) Известно, что образующие конуса равны, то есть, AB = BC. По условию сечение проходит через AB, BC и вершину B, следовательно, сечение – это равнобедренный прямоугольный треугольник ABC.

б) Расстояние от центра основания O до плоскости сечения – это перпендикуляр OP, который также можно воспринимать как высоту прямоугольного треугольника BON с площадью:

$$S_{BON}=\frac{1}{2}OP\cdot NB=\frac{1}{2}ON\cdot OB$$

Отсюда, имеем:

$$OP=\frac{ON\cdot OB}{NB}$$

Найдем сначала длины образующих AB и BC, зная, что радиус основания 12, а высота конуса OB = 5:

$$AB=BC=\sqrt{12^2+5^2}=13$$

Затем, из прямоугольного треугольника AB. Cнайдем AC:

$$AC=\sqrt{13^2+13^2}=13\sqrt{2}$$

Следовательно,

$$NC=\frac{1}{2}AC=\frac{13\sqrt{2}}{2}$$ и $$BN=\sqrt{BC^2-NC^2}=\sqrt{13^2-\frac{13^2}{2}}=\frac{13\sqrt{2}}{2}$$

 

Далее, из прямоугольного треугольника ONC находим ON:

$$ON=\sqrt{OC^2-NC^2}=\sqrt{144-\frac{169}{2}}=\sqrt{\frac{119}{2}}$$

Получаем значение расстояния OP:

$$OP=\frac{\sqrt{\frac{119}{2}}\cdot5}{\frac{13\sqrt{2}}{2}}=\frac{5\sqrt{119}}{13}$$

Задание 14996

В правильной четырехугольной призме $$MNPQM_1N_1P_1Q_1$$ сторона основания равна 11, а боковое ребро - 15. На ребрах $$M_1Q_1, M_1N_1$$ и $$PQ$$ взяты точки X, Y, Z соответственно так, что $$Q_1X=N_1Y=QZ=5.$$

А) Пусть C - точка пересечения плоскости XYZ c ребром PN. Докажите, что XYCZ - прямоугольник.

Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью XYZ.

Ответ: $$\frac{85\sqrt{22}}{2}$$

Задание 15034

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка L - середина бокового ребра SB. На ребре SA взята точка К так, что SK:KA=1:2.

А) Докажите, что плоскость DKL параллельна боковому ребру SC.

Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью DKL, если все ребра пирамиды равны 24.

Ответ: $$60\sqrt{19}$$

Задание 15111

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S точки M и N - середины ребер АВ и ВС соответственно. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки М и N и пересекает ребра AS и CS в точках К и Р соответственно.

А) Докажите, что точка пересечения прямых МР и KN лежит на высоте пирамиды SABC

Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью $$\alpha,$$ если известно, что АВ=24, AS=28, SK=7.

Ответ: $$54\sqrt{10}$$

Задание 15148

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.

А) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину С, делит ребро SB в отношении 1 : 3, считая от вершины В.

Б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.

Ответ: $$\frac{3}{4}$$
 

Задание 15536

В основании пирамиды $$SABCD$$ лежит трапеция $$ABCD$$ с большим основанием $$AD$$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $$O$$. Точки $$M$$ и $$$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки $$M$$ и $$N$$ параллельно прямой $$SO$$.

а) Докажите, что сечение пирамиды $$SABCD$$ плоскостью $$\alpha$$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $$SABCD$$ плоскостью $$\alpha$$, если $$AD=9$$, $$BC=7$$, $$SO=6$$, а прямая $$SO$$ перпендикулярна прямой $$AD$$.
Ответ: 24

Задание 15635

Точка Е лежит на боковом ребре SC правильной четырехугольной пирамиды SABCD и делит его в отношении 1:2, считая от вершины S. Через точку Е и середины сторон АВ и AD проведена плоскость $$\alpha.$$

А) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит высоту пирамиды в отношении 3:2

Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha,$$ если сторона основания пирамиды равна 12, а высота - $$\frac{3\sqrt{6}}{2}.$$

Ответ: $$\frac{108\sqrt{7}}{5}$$
 

Задание 15692

В основании пирамиды $$SABCD$$ лежит трапеция $$ABCD$$ с большим основанием $$AD$$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $$O$$. Точки $$М$$ и $$N$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки $$М$$ и $$N$$ параллельно прямой $$SO$$.

а) Докажите, что сечение пирамиды $$SABCD$$ плоскостью $$\alpha$$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $$SABCD$$ плоскостью $$\alpha$$, если $$AO=8,5$$, $$BC=7,5$$, $$SO=6,5$$, а прямая $$SO$$ перпендикулярна прямой $$AD$$.
Ответ:

Задание 15888

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ АС1 и пересекающая ребра ВВ1 и DD1 в точках F и Е соответственно.

а) Докажите, что сечение AFC1E - параллелограмм.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E - ромб и АВ = 3, ВС = 2, АА1 = 5.

Ответ: $$\sqrt{133}$$