Сечения многогранников

а) По условию $$AB\ =\ BC\ =\ AC\ =\ 9\sqrt{2}$$, следовательно, основание пирамиды - правильный треугольник $$\triangle АВС$$.

Треугольники $$\triangle ABD\ =\ \triangle ACD$$ (АВ = АС, АD - общая), $$\triangle ACD\ =\ \triangle BCD$$ (ВС = АС, СD - общая), $$\triangle BCD\ =\ \triangle AВD$$ (ВС = АВ, ВD - общая).

Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD.

Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пирамида ABCD - правильная пирамида.

б) Так как AD = BD и $$\angle ADB\ =\ 90{}^\circ $$, то треугольник $$\triangle ADB$$ - равнобедренный прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем AD: $$AD^2+BD^2=AB^2\to 2AD^2=AB^2\to AD^2=\frac{AB^2}{2}\to AD=\frac{AB}{\sqrt{2}}=9$$.

Треугольники $$\triangle MDN$$ и $$\triangle ADC$$ подобны ($$\angle D$$ - общий угол, $$DM\ :\ DA\ =\ DN\ :\ DC\ =\ 6\ :\ 7$$). Тогда $$\frac{MN}{AC}=\frac{2}{9}\to MN=\frac{2}{9}\cdot 9\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$.

Так как $$\frac{AM}{AD}=\frac{7}{9}\to AM=\frac{7}{9}\cdot 9=7$$

Рассмотрим $$\triangle АВМ$$, в котором $$\angle МAB=45{}^\circ $$. По теореме косинусов, найдем ВМ:

$$BM^2=AM^2+AB^2-2AM\cdot AB\cdot {\cos \angle MAB\ }=49+162-2\cdot 7\cdot 9\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=85.$$ $$BM=\sqrt{85}.$$

Треугольник $$\triangle MNB$$ - равнобедренный треугольник, в котором BM = BN. Тогда медиана BK является высотой треугольника $$\triangle MNB$$, т. е. $$BK\ \bot \ MN$$.

Из прямоугольного треугольника $$\triangle ВМK\ $$($$\angle ВKM\ =\ 90{}^\circ $$) найдем BK:

$$BK^2=BM^2-MK^2\ (MK=\frac{1}{2}\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{2}).$$ $$BK^2={\left(\sqrt{85}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2=83\to BK=\sqrt{83}.$$ Площадь треугольника $$\Delta MNB$$ равна половине произведения основания MN на высоту BK: $$S_{MNB}=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot BK=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{83}=\sqrt{166}$$.

а) По условию $$AB\ =\ BC\ =\ AC\ =\ 10$$, следовательно, основание пирамиды - правильный треугольник $$\triangle АВС$$.

Треугольники $$\triangle ABD\ =\ \triangle ACD$$ (АВ = АС, АD - общая), $$\triangle ACD\ =\ \triangle BCD$$ (ВС = АС, СD - общая), $$\triangle BCD\ =\ \triangle AВD$$ (ВС = АВ, ВD - общая).

Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD.

Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пирамида ABCD - правильная пирамида.

б) Рассмотрим $$\triangle ADC$$. $$AD=DC$$ как ребра правильной пирамиды, значит $$\triangle ADC$$ - равнобедренный. $$DM:MA=DN:NC=3:2$$, значит $$\triangle DMN$$ подобен $$\triangle ADC$$.

$$DN:MN=DC:AC\to \frac{3}{MN}=\frac{5}{10}\to MN=6$$; $$AC^2=2DC^2\to DC=\sqrt{\frac{AC^2}{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$, тогда $$DN=\frac{5\sqrt{2}}{5}\cdot 3=3\sqrt{2}$$. $$BC=DC\to BN=\sqrt{(BD^2+DN^2)}=2\sqrt{17}$$

Опустим высоту ВН на основание MN: $$BH=\sqrt{(BN^2+HN^2)}=\sqrt{(4\cdot 17-3^2)}=\sqrt{59}$$. Тогда $$S_{BMN}=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{59}=3\sqrt{59}$$.

а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проекция высоты S пирамиды на основание дает точку O, которая лежит на пересечении медиан. Таким образом, точка O делит медианы в отношении 2:1, то есть $$OC=\frac{2}{3}CE$$.

Рассмотрим высоту SE. Точка $$F_1$$, расположена точно по центру высоты SE. Следовательно, ее проекция на медиану CE делит отрезок OE пополам. В свою очередь отрезок $$OE=\frac{1}{3}CE$$, тогда $$EF=OF=\frac{\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{6}$$.

В итоге получаем, что точка F делит медиану CE как $$CF=\frac{5}{6}CE$$ или в соотношении 5:1, начиная от точки C.

б) Найдем высоту пирамиды CF, которая равна $$\frac{5}{6}CE$$. Длину медианы СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE: $$CE=\sqrt{{12}^2-6^2}=6\sqrt{3}$$ и $$OC=\frac{2}{3}\cdot 6\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$. Следовательно, $$CF=\frac{5}{6}\cdot 6\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$.

Вычислим площадь основания пирамиды (площадь трапеции MNZK). Отрезок $$KZ=\frac{5}{6}\cdot 12=10$$, отрезок $$MN=\frac{12}{2}=6$$ (так как это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции $$FF_1=\frac{1}{2}\cdot SO$$. Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC: $$SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{64-48}=4$$, тогда $$FF_1=\frac{4}{2}=2$$.

Площадь трапеции (основания пирамиды) равна $$S=\frac{10+6}{2}\cdot 2=16$$.

Объем пирамиды найдем по формуле $$V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 5\sqrt{3}=\frac{80\sqrt{3}}{3}$$.

а) Сечение (плоскость $$a$$) проходит через точки M и N, причем $$MN$$ - средняя линия. Это означает, что отрезок $$MN\parallel AB\to MN\parallel ABC$$. По условию секущая плоскость перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает плоскость ABC по уровню PQ, причем $${\rm PQ}\parallel MN$$. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO - высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2:1, то есть $$CO=\frac{2}{3}CE$$.

Точка K является серединой отрезка MN, причем $$KZ\bot CE$$, откуда следует, что $$KZ\parallel SO\to ZE=ZO$$. Так как $$EO=\frac{1}{3}CE$$, $$ZE=\frac{\frac{1}{3}}{2}\cdot CE=\frac{1}{6}CE$$. Таким образом, получаем, что $$CZ:ZE=5:1$$.

б) Найдем периметр трапеции MNPQ: $$P=MN+NQ+PQ+NP$$, где $$MN=\frac{1}{2}AB=3;PQ=\frac{5}{6}AB=5$$.

Для вычисления сторон $$MP=NQ$$, найдем высоту $$KZ=\frac{1}{2}SO=1$$ (величина $$SO=2$$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOC, учитывая, что OC - радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника и равен $$OC=\frac{6}{\sqrt{3}}$$). Длину отрезка NQ найдем из прямоугольного треугольника NHQ (см. рисунок ниже).

Катет $$NH=KZ=1$$, а катет HQ равен $$HQ=\frac{PQ-MN}{2}=\frac{5-3}{2}=1$$ и $$NQ=\sqrt{2}$$. Получаем значение периметра $$P=5+3+\sqrt{2}+\sqrt{2}=8+2\sqrt{2}$$.