Сечения многогранников

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ на боковом ребре ВВ₁ взята точка M так, что ВМ:МВ₁=2:5. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки M и D и параллельна прямой А₁С₁. Плоскость $$\alpha$$ пересекает ребро СС₁ в точке Q.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SC отмечены точки К и М соответственно, причём АК:КВ = SM:МС = 1:5. Плоскость $$\alpha$$ содержит прямую КМ и параллельна прямой ВС.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка K, причём SK:KC=1:3. Плоскость а содержит точку K и параллельна плоскости SAD.

В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA₁B₁C₁ площадь нижнего основания ABC в четыре раза больше площади меньшего основания A₁B₁C₁. Через ребро AC проведена плоскость $$\alpha$$, которая пересекает ребро BB₁ в точке K и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA₁B₁C₁ площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A₁B₁C₁. Через ребро AB проведена плоскость $$\alpha$$, которая пересекает ребро CC₁ в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 2. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 1. Точка F – середина АВ.

а) Найдите угол между прямыми SF и AC

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку F параллельно прямым BD и SС.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

Дан куб АВСВА₁В₁С₁D₁.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер АВ, В₁С₁, АD.

б) Найдите угол между плоскостью А₁BО и плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, В₁С₁, АD.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра AS.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF. 

Объем куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с нижним основанием ABCD равен 27. Над плоскостью верхнего основания отмечена точка Е такая, что BE=$$\sqrt{41}$$ и CE=$$5\sqrt{2}$$.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром длины 1. Точка Р – середина А₁D₁, точка Q делит отрезок АВ₁ в отношении 2:1, считая от вершины А, R – точка пересечения отрезков ВС₁ и В₁С.

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ точка К – середина ребра АВ, точка Р – середина ребра ВС. Через точки К, Р, D₁ проведена плоскость $$\alpha$$.

В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ АВ=4, АА₁= 6. На ребрах АВ и В₁С₁ оснований взяты соответственно точки М и N так, что ВМ:АВ=В₁N:B₁C₁=1:4. Через середину Р бокового ребра ВВ₁ проведено сечение призмы, перпендикулярное прямой MN

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S через сторону основания АВ проведена плоскость, делящая боковые ребра противоположной грани пополам.

На боковом ребре $$SA$$ правильной треугольной пирамиды $$SABC$$ взята точка $$D$$, через которую проведено сечение пирамиды, пересекающее апофемы граней $$SAC$$ и $$SAB$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Известно, что прямые $$DM$$ и $$DN$$ образуют углы $$\beta $$ с плоскостью основания пирамиды, а величины углов $$DMS$$ и $$DNS$$ равны $$\alpha $$, $$\left(\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$$

а) Докажите, что секущая плоскость параллельна ребру $$BC$$

б) Найдите угол $$MDN$$, если $$\alpha =30{}^\circ ,\ \beta =45{}^\circ $$