Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C2) Стереометрическая задача

Сечения многогранников

 

Задание 2438

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ:В1М=1:3.
Через точки М и С1 параллельно BD1 проведена плоскость β.
А) Докажите, что плоскость β проходит через середину ребра АА1.
Б) Найдите площадь сечения куба плоскостью β, если известно, что АВ=12.

Ответ: $$30\sqrt{26}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2830

Дана правильная пирамида PABCD с вершиной в точке Р. Через точку В
перпендикулярно прямой DP проведена плоскость Ω, которая пересекает DP в точке К.
А) Докажите, что прямые ВК и АС перпендикулярны.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна 6 и высота пирамиды равна 6.

Ответ: $$12\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2867

Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам АD, AB и BC тетраэдра ABCD, причем АМ : МD = 2 :3, ВN : АN = 1 : 2, ВК = КС.
а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K.
б) Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

Ответ: $$3:1$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) В и М $$\in$$ (ABD) - соединяем В и K $$\in$$ (ABC) - соединяем $$BK\cap AC=P$$ M и P $$\in$$ (ADC) - соединяем $$\Rightarrow$$ $$MP\cap DC=Q$$ $$\Rightarrow$$ MQKN - искомая плоскость.

б) 1. Проведем  $$CO\parallel AB\Rightarrow \bigtriangleup BKN\sim \bigtriangleup COK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BN}{CO}=\frac{BK}{CK}=\frac{NK}{KO}$$ $$\bigtriangleup POK\sim \bigtriangleup PNA$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PC}{CA}=\frac{CO}{AN}=\frac{PO}{PN}$$

2. Возьмем $$\frac{BN}{CO}=\frac{BK}{CK}$$ и $$\frac{PC}{PA}=\frac{CO}{AN}$$ и умножим $$\frac{BN}{CO}\cdot\frac{CO}{AN}=\frac{BK}{CK}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$frac{BN}{AN}=\frac{BK}{CK}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{y}{2y}=\frac{z}{z}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PC}{AP}=\frac{1}{2}$$

3. Аналогично $$\frac{DM}{AM}=\frac{CP}{AP}\cdot\frac{DQ}{QC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{3x}{2x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{DQ}{QC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{DQ}{QC}=\frac{3}{1}$$

 

Задание 2945

На диагонали АВ1 грани АВВ1А1 треугольной призмы взята точка М так, что АМ : МВ1 = 5 : 4.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку М, параллельно диагоналям А1С и ВС1 двух других граней.
б) Найдите в каком отношении плоскость сечения делит ребро СС1
Ответ: 2 : 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3330

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.

а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания, равен 450.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC. 
Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4188

На боковых ребрах DB и DC треугольной пирамиды ABCD расположены точки М и N так, что ВМ=MD и CN:ND=2:3. Через вершину А основания пирамиды и точки М и N проведена плоскость $$\alpha$$ , пересекающая медианы боковых граней в точках К, R и Т.

А) Докажите, что площадь треугольника KTR составляет 5/22 от площади сечения пирамиды плоскостью $$\alpha$$
Б) Найти отношение объемов пирамид KRTC и ABCD.
Ответ: $$\frac{1}{22}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$AM$$ и $$DR_{1}$$ - медианы $$\Rightarrow$$ $$\frac{AR}{RM}=\frac{2}{1}$$

2) $$\bigtriangleup DAC$$: по т. Менелая $$\frac{CT_{1}}{T_{1}A}\cdot\frac{AT}{TN}\cdot\frac{DN}{DC}=1$$; $$\frac{1}{1}\cdot\frac{AT}{TN}\cdot\frac{3}{5}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AT}{TN}=\frac{5}{3}$$

3) $$\bigtriangleup CDB$$: построим $$MK_{1}$$; т.к. $$DM=MB$$; $$CK_{1}=K_{1}B$$ $$\Rightarrow$$ $$MK_{1}$$ - средняя линия; $$MK_{1}=\frac{1}{2}CD=2,5x$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup NDK\sim\bigtriangleup KK_{1}M$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ND}{mk_{1}}=\frac{NK}{KM}=\frac{3x}{2,5x}=\frac{6}{5}$$

Рассмотрим  $$\bigtriangleup NMA$$: пусть $$S_{NMA}=S$$, тогда $$S_{ATR}=\frac{AT}{AN}\cdot\frac{AR}{AM}\cdot S=$$ $$\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{3}S=\frac{5}{12}S$$; $$S_{NTK}=\frac{NT}{NA}\cdot\frac{NK}{NM}S=$$ $$\frac{3}{8}\cdot\frac{6}{11}S=\frac{9}{44}S$$; $$S_{KMR}=\frac{KM}{MN}\cdot\frac{MR}{MA}S=$$ $$\frac{5}{11}\cdot\frac{1}{3}S=\frac{5}{33}S$$; $$S_{TKR}=S-S_{ATR}-S_{NTK}-S_{KMR}=$$ $$S-\frac{5}{12}S-\frac{9}{44}S-\frac{5}{33}S=$$ $$\frac{132S-55S-27S-20S}{4\cdot3\cdot11}=\frac{5S}{22}$$

ч.т.д.

б) $$\frac{V_{KRTC}}{V_{ABCD}}=?$$; $$V_{KRTC}=(V_{ABCD}-V_{DAMN}-V_{ABCM})\cdot\frac{S_{KTR}}{S_{NMA}}$$

1) Пусть $$V_{ABCD}=V$$; $$V_{DAMN}=\frac{DN}{DC}\cdot\frac{DM}{DB}\cdot\frac{DA}{DA}\cdot V=$$ $$\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{3}{10}V$$; $$V_{ABCM}=\frac{MB}{DB}V=\frac{1}{2}V$$; $$V_{KRTC}=(V-\frac{3}{10}V-\frac{1}{2}V)\cdot\frac{2}{22}=$$ $$\frac{2V}{10}\cdot\frac{5}{22}=\frac{V}{22}$$; $$\frac{V_{KRTC}}{V_{ABCD}}=\frac{\frac{V}{22}}{V}=\frac{1}{22}$$

Задание 4336

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN: NC = 2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.

Ответ:

Задание 4337

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 8, AD = 7, AA1 = 5. Точка W принадлежит ребру DD1 и делит его в отношении 1 : 4, считая от вершины D. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C W и A1.

Ответ:

Задание 4338

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.

Ответ:

Задание 4339

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC. Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна $$25\sqrt{3}$$. Найдите сторону основания.

Ответ:

Задание 4340

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

Ответ:

Задание 4341

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 9, а боковые рёбра равны 15. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и BC параллельно прямой MB.

Ответ:

Задание 4342

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины S.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.
Ответ:

Задание 4343

Точка E — середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью A1BE, если ребра куба равны 2.

Ответ:

Задание 4344

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A1C1. Найдите его площадь.

Ответ: