Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C2) Стереометрическая задача

Расстояние между прямыми и плоскостями

 

Задание 14361

В правильном тетраэдре $$MNPQ$$ через биссектрисы $$NA$$ и $$QB$$ граней $$MNP$$ и $$QNP$$ проведены параллельные плоскости.

а) Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от $$MNPQ$$ тетраэдров к объему $$MNPQ$$
б) Найдите расстояние между $$NA$$ и $$QB$$, если ребро тетраэдра равно 1.
Ответ: А)$$\frac{11}{24}$$ Б)$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{35}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14380

В правильном тетраэдре $$ABCD$$ точка $$K$$ – середина ребра $$АВ$$, точка $$E$$ лежит на ребре $$CD$$ и $$EC:ED=1:2$$.

а) Найдите угол между прямыми $$BC$$ и $$KE$$.
б) Найдите расстояние между прямыми $$BC$$ и $$KE$$, если сторона тетраэдра равна $$\sqrt{6}$$
Ответ: А)$$\arccos \frac{7}{2\sqrt{19}}$$ Б) $$\frac{2}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 14512

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{119}}{13}$$
Скрыть

а) Известно, что образующие конуса равны, то есть, AB = BC. По условию сечение проходит через AB, BC и вершину B, следовательно, сечение – это равнобедренный прямоугольный треугольник ABC.

б) Расстояние от центра основания O до плоскости сечения – это перпендикуляр OP, который также можно воспринимать как высоту прямоугольного треугольника BON с площадью:

$$S_{BON}=\frac{1}{2}OP\cdot NB=\frac{1}{2}ON\cdot OB$$

Отсюда, имеем:

$$OP=\frac{ON\cdot OB}{NB}$$

Найдем сначала длины образующих AB и BC, зная, что радиус основания 12, а высота конуса OB = 5:

$$AB=BC=\sqrt{12^2+5^2}=13$$

Затем, из прямоугольного треугольника AB. Cнайдем AC:

$$AC=\sqrt{13^2+13^2}=13\sqrt{2}$$

Следовательно,

$$NC=\frac{1}{2}AC=\frac{13\sqrt{2}}{2}$$ и $$BN=\sqrt{BC^2-NC^2}=\sqrt{13^2-\frac{13^2}{2}}=\frac{13\sqrt{2}}{2}$$

 

Далее, из прямоугольного треугольника ONC находим ON:

$$ON=\sqrt{OC^2-NC^2}=\sqrt{144-\frac{169}{2}}=\sqrt{\frac{119}{2}}$$

Получаем значение расстояния OP:

$$OP=\frac{\sqrt{\frac{119}{2}}\cdot5}{\frac{13\sqrt{2}}{2}}=\frac{5\sqrt{119}}{13}$$

Задание 14819

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ребро $$SA = 5,$$ а высота $$SH = \sqrt{15}.$$ Точки M и N - середины ребер CD и АВ соответственно. Точка N - вершина пирамиды NSCD, NT - ее высота.

А) Докажите, что точка Т делит SM пополам.

Б) Найдите расстояние между прямыми NT и SC

Ответ: 1

Задание 14955

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известны ребра $$ВС=5$$ и $$АВ=АА_1=8,$$ M и N - середины ребер $$CD$$ и $$АА_1$$ соответственно. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки $$М$$ и $$В$$ и параллельна прямой $$CD_1.$$

А) Докажите, что прямая $$DN$$ параллельна плоскости $$\alpha$$

Б) Найдите расстояние между прямыми $$C_1D$$ и $$BD_1$$

Ответ: $$\frac{20\sqrt{34}}{51}$$

Задание 15072

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник АВС со сторонами АВ=ВС, АС=$$4\sqrt{2}$$. На ребре ВВ1 выбрана точка К так, что ВК:В1К=2:3. Угол между плоскостями АВС и АКС равен 45o.

А) Докажите, что расстояние между прямыми АВ и А1С1 равно боковому ребру призмы.

Б) Найдите расстояние между прямыми АВ и А1С1, если КС=8.

Ответ: $$5\sqrt{7}$$

Задание 15129

В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник АВС. Все боковые ребра наклонены к основанию под одним и тем же углом.

А) Докажите, что прямая АВ перпендикулярна плоскости, проходящей через середину ребра АВ и ребро DC.

Б) Найдите расстояние между прямыми AB и CD, если $$AB = 6\sqrt{3}, AD = 5\sqrt{3}.$$

Ответ: $$\frac{9\sqrt{13}}{5}$$

Задание 15208

В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены середины Р и Е отрезков АВ и AD соответственно.

А) Докажите, что прямые В1Е и СР перпендикулярны.

Б) Найдите расстояние между этими прямыми, если B1E=$$5\sqrt{5}$$?

Ответ: $$\frac{10}{3}$$

Задание 15265

В правильной четырехугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с ребрами $$АВ=ВС=6, АА_1=12$$ точки $$М$$ и $$К$$ - середины $$АВ$$ и $$ВС$$ соответственно, точка $$N$$ лежит на ребре $$ВВ_1,$$ причем $$BN=6.$$ Через точку $$D$$ провели плоскость $$\alpha$$ параллельно плоскости $$KMN.$$

А) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ проходит через точки $$А_1$$ и $$С_1$$

Б) Найдите расстояние между плоскостями $$KMN$$ и $$\alpha.$$

Ответ: 6

Задание 15306

Точка Q симметрична вершине S правильной четырехугольной пирамиды SABCD относительно плоскости основания АВС.

А) Докажите, что плоскости SBC И QDA параллельны.

Б) Найдите расстояние между плоскостями SBC и QDA, если сторона основания пирамиды SABCD равна 2, а ее боковое ребро равно $$\sqrt{2022}.$$

Ответ: $$2\sqrt{\frac{2020}{2021}}$$

Задание 15441

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 8. На ребрах ВС и A1D1 взяты соответственно точки К и L, а на ребре CD - точки М и N так, что BK=D1L=CM=DN=2.

А) Докажите, что косинус угла между прямыми KN и ML равен $$\frac{1}{\sqrt{13}}$$

Б) Найдите расстояние между прямыми KN и ML

Ответ: $$\frac{4}{\sqrt{3}}$$

Задание 16049

В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит треугольник АВС со сторонами АВ=ВС, АС=$$4\sqrt{2}$$. На ребре ВВ1 выбрана точка К так, что ВК:В1К=2:3. Угол между плоскостями АВС и АКС равен 45o.

А) Докажите, что расстояние между прямыми АВ и А1С1 равно боковому ребру призмы.

Б) Найдите расстояние между прямыми АВ и А1С1, если КС=8.

Ответ: $$5\sqrt{7}$$

Задание 16210

Основанием пирамиды ABCD является равносторонний треугольник АВС, длина стороны которого равна 4. Боковое ребро CD перпендикулярно плоскости основания и имеет длину $$\sqrt{2}$$. Пусть М — середина ребра ВС, а N - середина ребра АВ.

А) Докажите, что угол между прямыми DM и CN равен 45o.

Б) Найдите расстояние между прямыми DM и CN.

Ответ: $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Задание 16330

В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Точка М - середина ребра В1С1, точка N лежит на ребре АС, причем AN:NC=15:1. Катет АС в четыре раза больше бокового ребра АА1 призмы.

А) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой СА1

Б) Найдите расстояние между прямыми MN и CA1, если $$AC = 16, BC = 2\sqrt{17}$$

Ответ: $$\sqrt{\frac{17}{2}}$$
 

Задание 16573

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $$SABCD$$ относится к боковому ребру как $$1:\sqrt{2}$$. Через вершину $$D$$ проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная боковому ребру $$SB$$ и пересекающая его в точке $$M$$.

а) Докажите, что $$M$$ — середина $$SB$$.
б) Найдите расстояние между прямыми $$AC$$ и $$DM$$, если высота пирамиды равна $$6\sqrt{3}$$.
Ответ: 3