Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C2) Стереометрическая задача

Расстояние между прямыми и плоскостями

 

Задание 9111

Основание пирамиды SABC-равносторонний треугольник ABC. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N — середины рёбер BC и AB соответственно, причём SN=AM.

а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен $$60°.$$

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $$BC=6.$$

Ответ: $$\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9508

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2.

а) Докажите, что плоскости А1BD и В1D1С параллельны.
б) Найдите расстояние между плоскостями А1BD и В1D1С.
Ответ: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через вершины $$A1$$, $$B$$ и $$D$$ куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Ортогональная проекция AC диагонали AC_1 куба на плоскость основания $$ABCD$$ перпендикулярна прямой $$BD$$, поэтому $$AC_1$$ и $$BD$$ перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах. Аналогично, $$AC_1$$ перпендикулярна $$DA_1$$. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, диагональ $$AC_1$$ перпендикулярна плоскости треугольника $$DA1B$$. Аналогично докажем, что плоскость треугольника $$D_1B_1C$$ перпендикулярна диагонали $$AC_1$$. Плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой. Это и требовалось доказать.

б) Рассмотрим сечение $$AA_1C_1C$$, пусть $$Е$$ и $$F$$ — основания высот $$AE$$ и $$C_1F$$ прямоугольных треугольников $$A_1AO$$ и $$СС_1O_1$$ соответственно. Тогда искомое расстояние между плоскостями равно длине отрезка $$EF$$. Катетами указанных треугольников являются ребро куба и половина диагонали грани куба. Тем самым, эти треугольники равны, а тогда равны и их высоты, проведенные к гипотенузам.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу, поэтому $$C_{1}F=AE=\frac{AA_{1}\cdot AO}{A_{1}O}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$,

а тогда $$EF=AC_{1}-AE-C_{1}F=2\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$.

 

Задание 9633

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 5, AA1 = 5, AD = 3.

а) Докажите, что прямые A1B и B1D перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми A1B и B1D.
Ответ: $$\frac{15}{\sqrt{118}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9680

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка О1 – центр квадрата ABCD, точка О2 – центр квадрата СC1D1D.

а) Докажите, что прямые A1О1 и B1О2 скрещиваются.
б) Найдите расстояние между прямыми A1О1 и B1О2 , если ребро куба равно 1.
Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10096

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания в два раза меньше высоты призмы.

а) Докажите, что расстояние от точки О1 ‐ пересечения диагоналей основания A1B1C1D1 до плоскости BDC1 в три раза меньше высоты призмы
б) Найдите расстояние между прямыми С1О и АВ, если сторона основания призмы равна 1, где О ‐ пересечения диагоналей основания ABCD
Ответ: $$\frac{2}{\sqrt{17}}$$
 

Задание 10115

В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N – середины ребер АВ и CD.

а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 450
б) Найдите расстояние между прямыми MN и AD.
Ответ: $$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$
 

Задание 10134

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ:BC:CC1=1:2:3

а) Найдите угол между прямой BD1 и плоскостью ВС1D
б) Найдите угол между плоскостями АА1D и ВС1D
Ответ: А)$$arcsin (\frac{3\sqrt{2}}{7\sqrt{7}})$$ Б)$$arccos(\frac{6}{7})$$
 

Задание 10153

Длина высоты правильной треугольной пирамиды SABC ( S – вершина) в $$\frac{5}{\sqrt{6}}$$ раз больше длины стороны основания. Точка D – cередина апофемы SN, где N – середина АС.

а) Докажите, что угол между прямой BD и плоскостью $$\alpha$$, проходящей через ребро SC и середину ребра АВ равен 300
б) Найдите расстояние между BD и SC, если сторона основания равна 3.
Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$
 

Задание 10261

Основание пирамиды SABCD – квадрат ABCD, боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. BC=2SA. Точка М – середина ребра АВ.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую SM параллельно BD, ‐ равносторонний треугольник
б) Найдите расстояние между прямыми SM и BD, если $$AB=6\sqrt{3}$$
Ответ: 3
 

Задание 10656

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ все ребра равны 1.

а) Докажите, что точки F и С равноудалены от плоскости $$BED_1$$
б) Найдите расстояние между прямыми $$ED_1$$ и $$FE_1$$
Ответ: $$\frac{\sqrt{21}}{7}$$
 

Задание 11853

Основание АВС правильной треугольной пирамиды SABC вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси О1О2цилиндра (точка О1– центр верхнего основания). Объем цилиндра равен $$21\pi$$, а объем пирамиды 33 .

а) Докажите, что SO1:SO2=3:4
б) Найдите расстояние между прямыми АС и SB, если радиус основания цилиндра равен 32 .
Ответ: $$\frac{3\sqrt{39}}{13}$$
 

Задание 12551

Основание пирамиды SABC - равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N - середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём $$SN\ =\ AM.$$

а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60$${}^\circ$$.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $$BC\ =3\sqrt{2}.$$

Ответ: 1
 

Задание 12573

Основание пирамиды SABC - равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N - середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём $$SN\ =\ AM.$$

а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60$${}^\circ$$.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $$BC\ =\ 6.$$

Ответ: $$\sqrt{2}$$
 

Задание 14213

Дана правильная шестиугольная призма $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$

а) Докажите, что прямые $$CF$$ и $$AE_{1}$$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $$CF$$ и $$AE_{1}$$, если $$AA_{1}=8, AB=2\sqrt{3}$$ .
Ответ: 2,4
 

Задание 14220

На продолжении высоты $$PO$$ правильной четырехугольной пирамиды $$PABCD$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$OP=OK$$.

а) Докажите, что плоскости $$PBC$$ и $$KAD$$ параллельны.
б) Найдите расстояние между плоскостями $$PBC$$ и $$KAD$$ , если $$AB=2, PO=2\sqrt{2}$$.
Ответ: $$\frac{4\sqrt{2}}{3}$$