ЕГЭ Профиль
Задание 9111
Задание 9508
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2.
а) Рассмотрим плоскость, проходящую через вершины $$A1$$, $$B$$ и $$D$$ куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Ортогональная проекция AC диагонали AC_1 куба на плоскость основания $$ABCD$$ перпендикулярна прямой $$BD$$, поэтому $$AC_1$$ и $$BD$$ перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах. Аналогично, $$AC_1$$ перпендикулярна $$DA_1$$. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, диагональ $$AC_1$$ перпендикулярна плоскости треугольника $$DA1B$$. Аналогично докажем, что плоскость треугольника $$D_1B_1C$$ перпендикулярна диагонали $$AC_1$$. Плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой. Это и требовалось доказать.
б) Рассмотрим сечение $$AA_1C_1C$$, пусть $$Е$$ и $$F$$ — основания высот $$AE$$ и $$C_1F$$ прямоугольных треугольников $$A_1AO$$ и $$СС_1O_1$$ соответственно. Тогда искомое расстояние между плоскостями равно длине отрезка $$EF$$. Катетами указанных треугольников являются ребро куба и половина диагонали грани куба. Тем самым, эти треугольники равны, а тогда равны и их высоты, проведенные к гипотенузам.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу, поэтому $$C_{1}F=AE=\frac{AA_{1}\cdot AO}{A_{1}O}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$,
а тогда $$EF=AC_{1}-AE-C_{1}F=2\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$.
Задание 10096
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания в два раза меньше высоты призмы.
Задание 10153
Длина высоты правильной треугольной пирамиды SABC ( S – вершина) в $$\frac{5}{\sqrt{6}}$$ раз больше длины стороны основания. Точка D – cередина апофемы SN, где N – середина АС.
Задание 10261
Основание пирамиды SABCD – квадрат ABCD, боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. BC=2SA. Точка М – середина ребра АВ.
Задание 11853
Основание АВС правильной треугольной пирамиды SABC вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси О1О2цилиндра (точка О1– центр верхнего основания). Объем цилиндра равен $$21\pi$$, а объем пирамиды 33 .
Задание 12551
Основание пирамиды SABC - равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N - середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём $$SN\ =\ AM.$$
а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60$${}^\circ$$.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $$BC\ =3\sqrt{2}.$$
Задание 12573
Основание пирамиды SABC - равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N - середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём $$SN\ =\ AM.$$
а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60$${}^\circ$$.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $$BC\ =\ 6.$$
Задание 14220
На продолжении высоты $$PO$$ правильной четырехугольной пирамиды $$PABCD$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$OP=OK$$.