ЕГЭ Профиль
Задание 3035
Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна $$4\sqrt{2}$$ . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.
а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра AB равен 45°.
б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми.
1) Введем ортогональную систему координат: $$CM=CB\cdot\sin60^{\circ}=4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}$$
$$\left.\begin{matrix}S(0;0;2)\\L(\sqrt{2};\sqrt{6};0)\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$SL \left \{ \sqrt{2};\sqrt{6};-2 \right \}$$
$$\left.\begin{matrix}C(0;0;0)\\M(0;2\sqrt{6};0)\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$CM\left\{0;2\sqrt{6};0\right\}$$
$$\cos(SL;CM)=\frac{|\sqrt{2}\cdot0+\sqrt{6}\cdot2\sqrt{6}+(-2)\cdot0|}{\sqrt{2+6+4}\cdot\sqrt{4\cdot6}}=$$
$$=\frac{2\sqrt{36}}{\sqrt{12}\cdot\sqrt{24}}=\frac{2\cdot6}{2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\angle (SL;CM)=45^{\circ}$$ ч.т.д.
2) Пусть $$LK\parallel CM\Rightarrow d(SL;CM)=d(C;(SLK))$$
$$K(\sqrt{2}; 2\sqrt{6}; 0)$$ Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение $$(SLK)$$
$$\left\{\begin{matrix}0\cdot a+0\cdot b+2\cdot c+d=0\\\sqrt{2}a+\sqrt{6}b+0\cdot c+d=0\\\sqrt{2}a+2\sqrt{6}b+0\cdot c+d=0\end{matrix}\right.$$
$$b=0;c=-\frac{d}{2};a=-\frac{\sqrt{2}d}{2}$$ $$-\frac{\sqrt{2}d}{2}x+0y-\frac{d}{2}z+d=0$$ $$\Rightarrow$$<
$$-\frac{\sqrt{2}}{2}x+0y-\frac{1}{2}z+1=0$$
$$d(C;(SLK))=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$<
$$=\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot0+0\cdot0-\frac{1}{2}\cdot0+1|}{\sqrt{\frac{2}{4}+0+\frac{1}{4}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Задание 3159
В правильной треугольной пирамиде SABC точка К – середина ребра АВ. На ребре SC взята точка М так, что SM : СМ = 1:3.
Задание 3662
В кубе $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ точка О1 – центр квадрата АВСD, точка О2 – центр квадрата $$CC_{1}D_{1}D$$
1) Опустим $$O_{2}M\perp C_{1}D_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}M$$ - проекция $$B_{1}O_{2}$$ на $$(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})\Rightarrow(B_{1}MO_{2})$$ плоскость $$B_{1}O_{2}$$; достроим её до $$(B_{1}MM_{1}B)$$
2) Опустим $$O_{1}L\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}L$$ - проекция $$A_{1}O_{1}$$ на $$(AA_{1}D_{1}D)\Rightarrow(A_{1}O_{1}L)$$ плоскость $$A_{1}O_{1}$$; достроим её до $$(A_{1}LL_{1}B_{1})$$
3) $$BM_{1}\cap LL_{1}=H$$ $$B_{1}$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$B_{1}H$$ -линия пересечения $$(A_{1}LL_{1}B_{1})$$ и $$(B_{1}MM_{1}B)$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}O_{1}\cap(B_{1}MM_{1}B)$$ по $$B_{1}H$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}O_{1}$$ не пересекает $$B_{1}O_{2}$$ и $$A_{1}O_{1}$$ не параллельна $$B_{1}O_{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}O_{2}$$ и $$A_{1}O_{1}$$ - скрещивающиеся
б) 1) Введем ортогональную систему координат как на рисунке: $$B_{1}(0;0;2)$$; $$O_{2}(2;1;1)$$; $$A_{1}(0;2;2)$$
2) Пусть $$B_{1}L_{2}\parallel A_{1}L$$, тогда $$(B_{1}O_{2}L_{2})\parallel A_{1}L$$, $$d(A_{1}L; B_{1}O_{2})=d((B_{1}O_{2}L_{2});A_{1})$$
$$L_{2}(1;-1;0)$$
3) Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение $$(B_{1}O_{2}L_{2})$$
$$\left\{\begin{matrix}0\cdot x+0\cdot y+2z+d=0\\2x+1y+1z+d=0\\1x+(-1)\cdot y+0\cdot z+d=0\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}2z+d=0\\2x+y+z+d=0\\x-y+d=0\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}z=-\frac{d}{2}\\3x+z+2d=0\\x-y+d=0\end{matrix}\right.$$
$$3x-0,5d+2d=0$$
$$3x=-1,5d$$
$$x=-0,5d$$
$$-y+0,5d=0$$
$$y=0,5d$$
$$d((B_{1}O_{2}L_{2});A_{1})=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$
$$=\frac{|1\cdot0-1\cdot2+1\cdot2-2}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
Задание 5241
Дан куб $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$. Пусть $$l$$ – линия пересечения плоскостей $$ACD_{1}$$ и $$BDC_{1}$$
A) введем систему координат. Пусть ребро куба 2. Тогда :$$H(1;1;0), M(1;0;1), D(0;0;0), B_{1}(2;2;2)$$
$$\vec{HM} (0;-1;1)$$; $$\vec{DB_{1}} (2;2;2)$$
$$\cos (HM; BD)=\frac{10*2+(-1)*2+1*2}{\sqrt{2}*\sqrt{12}}=0\Rightarrow$$ угол равен 90
Б) Построим из H прямую $$HK\left | \right | DB_{1}$$$$\Rightarrow \Delta DB_{1}B\sim \Delta HKB$$; H-середина DB, то и K-середина
$$BB_{1}\Rightarrow K(2;2;1)$$
Зададим уравнение (HKM):
$$\left\{\begin{matrix}a+b+d-0\\a+c+d=0 \\2a+ab+c+d=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=c \\a+c+d=0 \\2a+3c+d=0\end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix}a=-c-d \\-2c-2d+3c+d=0 \\b=c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}c=d \\b=c \\a=-2c\end{matrix}\right.$$
Получим: $$-2cx+cy+cz+c=0|:c \Leftrightarrow$$$$-2x+y+z+1=0$$
Найдем расстояние от D до (HKM)
$$r=\frac{\left | -2*0+1*0+1*0+1 \right |}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$$
Задание 6569
Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости АВС, ,AB=2, AC=1, $$\angle BAC=120^{\circ}, SA=3\sqrt{2}$$ . Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку С и середину ребра АВ, а другая – через точку В, имеют равные площади.
A) 1) Пусть E-середина $$AB\Rightarrow$$ пусть $$CE\in \alpha$$ и $$\alpha \cap AD=F$$, тогда $$\alpha =(CEF)$$
2)Пусть $$B \in \beta$$ и $$\alpha \left | \right |\beta$$ и $$\beta \cap AD=G$$; $$\beta \cap CD=J$$. Тогда : $$EF\left | \right |BG$$ и т.к. $$\Delta AEF\sim \Delta ABG$$, то $$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BG}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$BG=2 EF(1)$$
3) $$S_{CFE}=S_{JGB}\Rightarrow$$$$\frac{1}{2}CF*FE*\sin F=\frac{1}{2}JG*GB \sin F$$; $$\angle F=\angle G\Rightarrow$$$$CF*FE=JG*GB$$. С учетом (1) получаем, что $$JG=\frac{1}{2}CF$$. Но $$\Delta SGT\sim \Delta SFC\Rightarrow$$ $$\frac{GT}{CF}=\frac{SG}{SF}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$AF=FG=GS=\frac{1}{3}AS=\sqrt{2}$$
4) $$V_{FACE}=\frac{1}{3}S_{AEC}*AF=$$$$\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*S_{ABC}*\frac{1}{3}AS=$$$$\frac{1}{6}V_{SABC}$$;
$$\frac{V_{SGBJ}}{V_{SABC}}=\frac{SG*SJ*SB}{SA*SC*SB}=$$$$\frac{1}{3}*\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\Rightarrow$$ $$V_{SGBJ}=\frac{1}{6}V_{SABC}$$, $$V _{FECGBJ}=\frac{4}{6} V_{SABC}$$; $$V_{SABC}=\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*2*1*\frac{\sqrt{3}}{2}*3\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$
Найдем $$V_{FACE}=V_{SGJB}=\frac{\sqrt{6}}{12}$$; $$V_{FCEGBJ}=\frac{4}{6}*\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{2\sqrt{6}}{6}$$
Б) 1)Построим $$AN\perp EC$$ . Опустим перпендикуляр из G на FN :$$GM\perp FN$$ и $$GM\cap FN=G$$. Тогда GMFи FNAявляются одной плоскостью
2) FN\perp CE(по построению) , AN- проекция FN на $$(ABC)\Rightarrow$$ $$CE\perp (FCE)\Rightarrow$$ $$CE\perp MG$$ с учетом , что $$GM\perp FN$$, то $$GM\perp (CEF)\Rightarrow$$ GM - расстояние от (GJB) до (CEF)
3) $$\Delta GFM$$: $$GM=FG \sin \angle MFG$$
$$\angle MFG=\angle AFN$$( вертикальные ), тогда $$\sin \angle MFG=\sin \angle AFN=\frac{AN}{FN}$$
$$\Delta ANC$$: $$AN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$$
$$\Delta AFN$$: $$FN=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$$
$$\sin \angle AFN=\frac{1}{2}:\frac{3}{2}=\frac{1}{3}$$
$$GM=\sqrt{2}*\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$
Задание 6825
Диагональ основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 8, высота пирамиды SO равна 1. Точка М – середина ребра SC, точка К – середина ребра CD.
A) 1) Зададим ортогальную систему координат как показано на рисунке:
2)из $$\Delta ABD$$: $$AB=BD \sin D=8*\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$
3) Найдем координаиты точек:
$$B (-\frac{BC}{2}; -\frac{AB}{2},0)\Rightarrow$$ $$B(-2\sqrt{2};-2\sqrt{2},0)$$
$$S(0;0; SO)$$$$\Rightarrow$$ $$S(0;0;1)$$
$$K (\frac{AD}{2};0;0)\Rightarrow$$ $$k(2\sqrt{2};0;0)$$
Опустим $$MM_{1}\perp (ABC)$$, $$\Delta SOC \sim \Delta MM_{1}C$$, тогда:
$$M(\frac{AD}{4};-\frac{CD}{4};\frac{SO}{2})\Rightarrow$$ $$M (\sqrt{2};-\sqrt{2};\frac{1}{2})$$
Тогда: $$\bar{BM} (3\sqrt{2}; \sqrt{2};\frac{1}{2})$$, $$\bar{SK}(2\sqrt{2};0;-1)$$
Найдем угол между данными векторами:
$$\cos \angle (\bar{BM}, \bar{SK})=$$$$\frac{3\sqrt{2}*2\sqrt{2}+\sqrt{2}*0+\frac{1}{2}(-1)}{\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}* \sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}}=$$$$\frac{23}{27}\Rightarrow$$ $$\angle (\bar{BM}; \bar{SK})=arccos \frac{23}{27}$$
Б) 1) Построим $$MN \left | \right |SK (MN\cap DC=N)\Rightarrow$$ $$(BMN)\left | \right |SK\Rightarrow$$ $$\rho (SK; (BMN))=\rho (BM; SK)$$
2) $$N (\frac{AD}{2}; -\frac{CD}{4};0) \Rightarrow$$ $$N (2\sqrt{2}; -\sqrt{2},0)$$
Зададим уравнение (BMN):
$$\left\{\begin{matrix}-2\sqrt{2}a-2\sqrt{2}b +d=0\\\sqrt{2}a -\sqrt{2}b +\frac{1}{2}c+d=0\\2\sqrt{2}a-\sqrt{2}b +d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=\frac{\sqrt{2}d}{3}\\c=-\frac{d}{3}\\a=-\frac{\sqrt{2}d}{12}\end{matrix}\right.$$
Тогда уравнение (BMN): $$-\frac{\sqrt{2}}{12}x+\frac{\sqrt{2}}{3}y-\frac{1}{3}z+1=0$$
Тогда расстояние между прямыми: $$\rho (BM, SK) =\frac{\left | -\frac{\sqrt{2}}{12}*2\sqrt{2}+1 \right |}{\sqrt{(-\frac{\sqrt{2}}{12})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{3})^{2}+(-\frac{1}{2})^{2}}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$$
Задание 8893
Задание 8913
Задание 9046
В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 2. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 1. Точка F – середина АВ.
а) Найдите угол между прямыми SF и AC
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку F параллельно прямым BD и SС.