ЕГЭ Профиль
Задание 15382
Основанием правильной треугольной пирамиды МАВС является треугольник АВС со стороной 6. Ребро МА перпендикулярно грани МВС. Через вершину пирамиды М и середины ребер АС и ВС проведена плоскость $$\alpha.$$
А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $$\alpha$$ является равносторонним треугольником.
Б) Найдите расстояние от вершины С до плоскости $$\alpha.$$
Ответ: $$\sqrt{6}$$
Задание 15404
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АС равна $$10\sqrt{3},$$а боковое ребро равно $$3\sqrt{10}.$$ На ребре АС отмечена точка Е так, что $$AE=\sqrt{3}.$$ Точки F, N - середины сторон А1В1 и В1С1 соответственно. Плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой АВ и содержит точки Е и N.
А) Докажите, что прямая CF перпендикулярна плоскости $$\alpha.$$
Б) Найдите расстояние от точки F до плоскости $$\alpha.$$
Ответ: $$\frac{15\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}$$
Задание 15479
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 12, а боковое ребро SA равно 17. На ребрах АВ и SB отмечены точки К и L соответственно, причем AK=SL=7. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки К, L и С.
А) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
Б) Найдите расстояние от вершины пирамиды S до плоскости $$\alpha$$
Ответ: $$\frac{42}{13}$$
Задание 15730
Дан прямой круговой конус с вершиной М. Осевое сечение конуса - треугольник с углом 120o при вершине М. Образующая конуса равна $$6\sqrt{3}.$$ Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
А) Докажите, что получившийся в сечении треугольник - тупоугольный.
Б) Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения.
Ответ: $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Задание 15948
Основания шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 — правильные шестиугольники. Точки K, L и M —середины рёбер EF, CD и BB1 соответственно.
А) Докажите, что плоскость KLM делит ребро FF1 в отношении 1 : 5, считая от точки F.
Б) Найдите расстояние от центра основания A1B1C1D1E1F1 до плоскости KLM, если призма правильная, AB=1 и AA1 = $$2\sqrt{3}$$.
Ответ: $$\sqrt{3}$$
Задание 16029
14. Точка К лежит на стороне АВ основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD, все ребра которой равны. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точку К параллельно плоскости ASD. Сечение пирамиды плоскостью $$\alpha$$ - четырехугольник, в который можно вписать окружность.
А) Докажите, что ВК = 2АК.
Б) Найдите расстояние от вершины S до плоскости $$\alpha$$, если все ребра пирамиды равны 1.
Ответ: $$\frac{\sqrt{6}}{9}$$
Задание 16170
В прямом круговом цилиндре проведена образующая NN1, точка N лежит в нижнем основании. Отрезок КМ1 пересекает ось цилиндра, а точки К и М1 лежат на окружностях нижнего и верхнего основания соответственно.
А) Докажите, что треугольник KNM1 прямоугольный.
Б) Найдите расстояние от точки N до прямой КМ1, если $$KN = 9, NN_1 = 20\sqrt{3}, N_1M_1 = 20$$.
Ответ: $$8\frac{32}{41}$$
Задание 16535
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания $$2\sqrt{3}$$ вписан шар. Плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость а и шар не имеют общих точек.
б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости $$\alpha$$.
Ответ: