ЕГЭ Профиль
Задание 10287
В правильной четырехугольной пирамиде плоскость $$\alpha$$, проведенная через сторону основания, делит двухгранный угол при основании пирамиды и боковую поверхность пирамиды пополам.
Задание 10391
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 4. Точка N – середина отрезка АС.
Задание 10616
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Точка Р - середина ВС, на ребре AS отмечена точка N, причем PN перпендикулярна AS.
а) Доказать, что $${\sin \angle ASO\ }=\frac{NO}{PS}$$
б) Найдите расстояние от точки О до плоскости SBC, если $$AB=12\sqrt{3},\ {\sin \angle ASO\ }=\frac{3}{\sqrt{13}}$$
Задание 10636
В правильной четырехугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ на боковых ребрах $$AA_1$$ и $$DD_1$$ взяты соответственно точки K и М так, что $$AK:A_1K=2:3,\ DM:D_1M=4:1$$.
а) Докажите, что плоскость ВМК параллельна прямой АС.
б) Найдите расстояние от точки А до плоскости ВМК, если $$AB=8,AA_1=10.$$
Задание 11420
В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD сторона основания АВ равна 16, а высота пирамиды равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM=DN=4 и АК=3.
Задание 12471
Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник АВС со стороной 36. Все боковые рёбра пирамиды равны 30. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки К и N так, что $$BK\ =\ CN\ =\ 20.$$ Через точки К и N проведена плоскость $$\alpha $$, перпендикулярная плоскости АВС.
Задание 12493
Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник АВС со стороной 48. Все боковые рёбра пирамиды равны 40. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки К и N так, что $$FK=\ FN\ =10.$$ Через точки К и N проведена плоскость $$\alpha $$, перпендикулярная плоскости АВС.
Задание 13561
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС=CN:BN=2:1, точка K - середина ребра A1C1.
Задание 14030
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1точка К — середина ребра АА1, a АВ=АА1. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки К и В1 параллельно прямой ВС1.
Задание 14418
а) Пусть KL перпендикулярно плоскости ABC. Проведем прямую ML, пересекающуюся с BC в точке N. Тогда плоскостью $$\alpha$$ будет являться плоскость KMN. Прямая SO — высота пирамиды.
Треугольники SOB и KLB подобны по двум углам, следовательно:
$$\frac{BK}{KS}=\frac{BL}{LO}=\frac{6}{1}; \frac{BL}{LD}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$$.
Треугольники MBL и LHD подобны по двум углам:
$$\frac{MB}{DH}=\frac{BL}{LD}=\frac{3}{4}; \frac{6}{DH}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow DH=8=DC$$.
Тогда H и C — совпадают, откуда также совпадают N и C, следовательно, точка C принадлежит плоскости $$\alpha$$.
б) Найдем площадь MKC:
$$S_{MKC}=\frac{1}{2} MC\cdot KL$$;
Из подобности треугольников SOB и KBL следует:
$$\frac{KL}{SO}=\frac{6}{7}\Leftrightarrow KL=\frac{6}{7}SO$$
По теореме Пифагора в треугольнике SCO:
$$SO=\sqrt{SC^2-CO^2}$$.
Найдем SO и CO:
$$CO=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{8^2+8^2}}{2}=\frac{\sqrt{128}}{2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$;
$$SO=\sqrt{49-32}=\sqrt{17}$$.
Тогда $$KL=\frac{6\sqrt{17}}{7}$$.
По теореме Пифагора в треугольнике MBC:
$$MC=\sqrt{BC^2+BM^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$$
$$S_{MKC}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot\frac{6\sqrt{17}}{7}=\frac{30\sqrt{17}}{7}$$