ЕГЭ Профиль
Задание 12332
а)
$$DM=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
$$D_1M=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
$$BC_1=\sqrt{12}$$ (т. Пифагора)
$$MK=\frac{3\sqrt{7}}{4}$$ (т. Пифагора)
$$DB=3\sqrt{2}$$ (свойство квадратов)
$$BM=\sqrt{18+\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{291}}{4}$$ (т. Пифагора)
$$BK=\sqrt{\frac{9}{4}+12}=\frac{\sqrt{57}}{2}$$ (т. Пифагора)
Сравним $$BM^2$$ и $$MK^2+BK^2$$
$$\frac{291}{16}$$ и $$\frac{63}{16}+\frac{57}{4}$$
$$BM^2=MK^2+BK^2$$
По теореме, обратной теореме косинусов вывод:
$$MK\perp BK, чтд$$
б)
$$(ABB_1)||(DD_1C_1)$$
Найдём $$\widehat{(DD_1C_1)(MKB)},$$ он равен искомому.
Д. П. $$KN\perp MK$$
$$ctg\alpha=tg(90^{\circ}-\alpha)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Треугольник $$KC_1N:$$
$$C_1N=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$
$$\Rightarrow$$ т. N совпадает с т. C.$$\Rightarrow CK\perp MK$$
$$\angle BKC=x$$ - искомый (по определению)
Треугольник $$KC_1C:$$
$$KC=\sqrt{\frac{9}{4}+3}=\frac{\sqrt{21}}{2}$$ (по т. Пифагора)
Треугольник $$BKC:$$
$$tgx=\frac{3}{\frac{\sqrt{21}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{21}}=\frac{6\sqrt{21}}{21}=\frac{2\sqrt{21}}{7}$$
$$x=arctg\frac{2\sqrt{21}}{7}$$
Задание 12393
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SC отмечены точки К и М соответственно, причём $$AK\ :\ KB\ =\ SM\ :\ MC=1\ :\ 5.$$ Плоскость $$\alpha $$ содержит прямую КМ и параллельна прямой ВС.
Задание 12794
В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ все рёбра равны 5. На его ребре $$BB_1$$ отмечена точка К так, что $$KB=4.$$ Через точки $$K$$ и $$C_1$$ проведена плоскость $$\alpha $$, параллельная прямой $$BD_1$$
а) Докажите, что $$A_1P:PB_1=3:1$$, где Р - точка пересечения плоскости $$\alpha $$ с ребром $$A_1B_1$$.
б) Найдите угол наклона плоскости $$\alpha $$ к плоскости грани $$BB_1C_1C$$
Задание 14234
В правильной четырехугольной призме $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ $$AB=BC=8$$, $$AA_{1} = 6$$. Через точки $$A$$ и $$C$$ перпендикулярно $$BD_{1}$$ проведена плоскость Ω.
Задание 14262
Дана прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$.
Задание 14528
а) Пусть плоскость α пересекает ребро SB в точке L. Поскольку прямая ВС параллельна плоскости α, прямые LM и ВС параллельны, а значит,
$$\frac{SL}{LB}=\frac{SM}{MC}=\frac{AK}{KB}$$
Следовательно, прямые KL и SA параллельны. Таким образом, плоскость α, содержащая прямую KL, параллельна прямой SA.
б) Пусть точка Н — середина ребра ВС. Тогда медианы АН и SH треугольников ABC и SBC соответственно являются их высотами, а значит, плоскость ASH перпендикулярна прямой ВС. Следовательно, плоскость ASH перпендикулярна плоскости α, параллельной прямой ВС, и плоскости SBC, содержащей прямую ВС.
Поскольку плоскость α параллельна прямой SA, лежащей в плоскости ASH, искомый угол равен углу между прямой SA и плоскостью SBC. Таким образом, угол между плоскостями α и SBC равен углу ASH. В треугольнике ASH имеем:
$$AS=7, АН=3\sqrt{3}$$
$$SH=\sqrt{SB^2-BH^2}=\sqrt{SB^2-\frac{BC^2}{4}}=2\sqrt{10}.$$
По теореме косинусов
$$\cos\angle ASH=\frac{SA^2+SH^2-AH^2}{2SA\cdot SH}$$
$$\cos\angle ASH=\frac{49+40-27}{2\cdot7\cdot2\sqrt{10}}=\frac{31\sqrt{10}}{140}$$
и угол ASH, равен:
$$\angle ASH=\arccos\frac{31\sqrt{10}}{140}$$