ЕГЭ Профиль
Задание 9928
Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС=2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.
Задание 10214
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной $$3\sqrt{2}$$. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 8. Через вершину А параллельно BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 3:2, считая от вершины.
Задание 10441
В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ – точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что CD=BE=AL=2.
Задание 10556
В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ через середину $$D$$ ребра $$CC_1$$ проведено сечение $$ADB_1$$.
а) Найдите, в каком отношении сечение делит объем призмы.
б) Найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$, если боковые ребра равны 2, а стороны основания равны 5.
Задание 10692
В треугольной пирамиде SABC точка Е - середина ребра SA, точка F - середина ребра SB, О - точка пересечения медиан треугольника АВС
а) Докажите, что плоскость CEF делит отрезок SO в отношении 3:2, считая от вершины S
б) Найдите косинус угла между плоскостями CEF и EFT, если точка Т - середина SC, а пирамида SABC правильная, площадь треугольника АВС равна $$27\sqrt{3},\ SB=10$$.
Задание 10821
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой АС, проходит через точку В и середину высоты пирамиды.
а) Доказать, что плоскость $$\alpha $$ делит ребро SD в отношении $$2 : 1$$, считая от точки D.
б) Найдите синус угла между плоскостью $$\alpha $$ и плоскостью ASC, если угол SAC равен $$30{}^\circ $$.
Задание 10898
В правильной четырехугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре $$AA_1$$отмечена точка E так, что $$AE:EA_1=1:2$$.
а) Построение. Точка пересечения N прямых AD и $$D_1E:N=AD\cap D_1E$$, показана на рисунке ниже. Точка $$B$$ - общая точка плоскостей ABC и $$BED_1$$. Плоскости ABC и $$BED_1$$ пересекаются по прямой NB (см. рисунок).
б) На прямой NB отметим точку F такую, что $$AF\bot NB$$. Учитывая, что $$EA\bot ABC$$, следует $$EF\bot NB$$ (по теореме о трех перпендикулярах). Необходимо найти угол AFE.
Тангенс угла AFE найдем из прямоугольного треугольника AFE как $${\tan \angle AFE\ }=\frac{AE}{AF}$$.
По условию задачи $$AE:EA_1=1:2$$, следовательно, $$AE=1$$, а $$EA_1=2$$. Треугольник $$D_1A_1E$$ подобен треугольнику с коэффициентом подобия . Следовательно, отрезок . Найдем длину отрезка из прямоугольного треугольника ANB: $$NB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$.
Найдем отрезок AF из формулы площади треугольника ANB: $$S_{ANB}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=\frac{1}{2}\cdot NB\cdot AF$$, откуда $$AF=\frac{2}{\sqrt{5}}$$.
Таким образом, $$tg\angle AFE=\frac{\sqrt{5}}{2}$$ и $$\alpha =\angle AFE=arctg\frac{\sqrt{5}}{2}$$.
Задание 11105
В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка E, а на ребре AM - точка L. Известно, что $$CD\ =\ BE\ =\ AL\ =\ 2.$$
а) Так как пирамида МАВС - правильная пирамида, то высота пирамиды проходит через центр О основания. Точка О - является точкой пересечения медиан и высот равностороннего треугольника $$\triangle АВС.$$ Точка О делит медиану, проведенную из вершины А, в отношении $$2:1.$$ В треугольнике $$\triangle АВС$$ имеем $$АЕ\ :\ ЕВ\ =\ AD\ :\ DC\ =\ 4\ :\ 2\ =\ 2\ :\ 1.$$ Значит, отрезок DE содержит точку О.
б) Построим сечение плоскостью, проходящей через точки E, D и L, соединив их попарно. Искомое сечение DLE - равнобедренный треугольник. Прямая DE перпендикулярна LО и АО, поэтому искомый угол $$\angle \alpha $$ между плоскостями равен углу $$\angle AOL.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник ?АОМ. Опустим из точки L перпендикуляр LK на сторону АО, тогда $${\tan \alpha \ }=\frac{LK}{OK}(1)$$.
Из прямоугольного треугольника $$\triangle ABN$$ найдем AN: $$AN^2=AB^2-BN^2=6^2-3^2=27\to AN=3\sqrt{3}.\to \frac{AO}{AN}=\frac{2}{3}\to AO=2\sqrt{3}.$$
Из прямоугольного треугольника $$\triangle AOM$$ найдем MO: $$MO^2=AM^2-AO^2=8^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=52\to MO=2\sqrt{13}$$.
Треугольники $$\triangle ALK$$ и $$\triangle AMO$$ - подобные треугольники, получим: $$\frac{AL}{AM}=\frac{AK}{AO}\to \frac{2}{8}=\frac{AK}{2\sqrt{3}}\to AK=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ $$OK=AO-AK=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$.
Треугольники $$\triangle ALK$$ и $$\triangle AMO$$ - подобные треугольники, получим: $$\frac{AL}{AM}=\frac{LK}{MO}\to \frac{2}{8}=\frac{LK}{2\sqrt{13}}\to LK=\frac{\sqrt{13}}{2}.$$
Подставим полученные данные в формулу (1), получим: $${\tan \alpha \ }=\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{39}}{9}\to \alpha =arctg\frac{\sqrt{39}}{9}.$$
Задание 11125
В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка $$D$$ - середина ребра $$CC_1$$.
а) Построение. Отметим точку K как результат пересечения прямой BC и прямой $$B_1D$$: т.е. $$K=BC\cap B_1D$$ (см. рисунок). Точка A является общей точкой для плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$. Следовательно, указанные плоскости пройдут через линию AK (см. рисунок). Данная линия и будет прямой пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
б) Необходимо найти угол DHC (см. рисунок). Рассмотрим треугольник $$B_1C_1D$$ и подобный ему треугольник $$KCD$$ с коэффициентом подобия $$k=1$$ (то есть они равны между собой). Отсюда получаем, что $$CK=5$$. Имеем равнобедренный треугольник с углом $$\angle ACK=120{}^\circ $$ (так как угол $$ACB=60{}^\circ $$ у равностороннего треугольника $$ABC$$). В равнобедренном треугольнике высота $$CH$$, проведенная к основанию, является также и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHK, у которого гипотенуза $$CK=5$$ и прилегающий к ней угол $$KCH=60{}^\circ $$. Тогда катет $$CH$$ можно найти как $$CH={\cos 60{}^\circ \ }\cdot CK=\frac{5}{2}=2,5.$$ Найдем тангенс угла $$DHC$$ между плоскостями из прямоугольного треугольника $$DCH$$, получим: $${\tan \angle \ }DHC=\frac{DC}{CH}=\frac{1}{2,5}=\frac{2}{5}$$ и угол между плоскостями равен $$\alpha =\angle DHC=arctg\frac{2}{5}.$$
Задание 11144
В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ стороны основания равны 3, боковые ребра равны 1, точка D - середина ребра $$CC_1$$.
а) Построение. Плоскости $$ABC$$ и $$ADB_1$$ будут иметь две общие точки: точка N, лежащая на пересечении отрезков $$BC$$ и $$B_1D$$ и точка $$A$$, находящаяся в основании призмы (см. рисунок). Отрезок $$AN$$, соединяющий эти две точки, будет образовывать прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
б) Угол между плоскостями будет соответствовать углу $$DHC$$, причем отрезок $$CH$$ будет являться высотой треугольника ACN. Из рисунка видно, что треугольники $$B_1C_1D$$ и $$CDN$$ подобны друг другу с коэффициентом подобия $$k=1$$. Отсюда следует, что отрезок $$CN=B_1C_1=3$$. Сторона $$AC=3$$. Следовательно, треугольник ACN равнобедренный с углом $$\angle ACN=120{}^\circ $$ (так как угол $$\angle ACB=60{}^\circ $$ в силу того, что треугольник ABC - равносторонний). В равнобедренном треугольнике высота CH будет являться также и биссектрисой. Высоту CH вычислим из прямоугольного треугольника CHN, в котором CN - гипотенуза с прилежащим к ней углом $$\angle NCH=60{}^\circ $$: $$CH={\cos 60{}^\circ \ }\cdot CN=1,5.$$
Учитывая, что точка D лежит точно посередине отрезка $$CC_1$$, получаем длину отрезка $$CD=\frac{1}{2}=0,5$$.
Найдем тангенс угла $$\alpha $$ между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$ из прямоугольного треугольника $$CDH$$, получим: $${\tan \alpha \ }=\frac{CD}{CH}=\frac{0,5}{1,5}=\frac{1}{3}$$ и $$\alpha =arctg\frac{1}{3}.$$
Задание 11275
В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит параллелограмм АВСD c центром О. Точка N – середина ребра SC, точка L – середина ребра SA.
Задание 11749
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M –середина ребра СС1, на ребре BB1отмечена точка N, такая, что BN:NB1 =1:2.
а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD1?
б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.