Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C2) Стереометрическая задача

Угол между плоскостями

 

Задание 9528

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра SB, G - середина ребра SC.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF.
б) Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.
Ответ: $$arccos \frac{9}{11}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9928

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС=2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.

а) Докажите, что BP:PQ=1:3
б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB=BC.
Ответ: $$\arccos (-\frac{\sqrt{5}}{15})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10134

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ:BC:CC1=1:2:3

а) Найдите угол между прямой BD1 и плоскостью ВС1D
б) Найдите угол между плоскостями АА1D и ВС1D
Ответ: А)$$arcsin (\frac{3\sqrt{2}}{7\sqrt{7}})$$ Б)$$arccos(\frac{6}{7})$$
 

Задание 10214

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной $$3\sqrt{2}$$. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 8. Через вершину А параллельно BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 3:2, считая от вершины.

а) Докажите, что плоскость сечения делит отрезок SO в отношении 3:1, где О ‐ центр основания
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды
Ответ: $$arctg \frac{8}{9}$$
 

Задание 10441

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ – точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что CD=BE=AL=2.

а) В каком отношении плоскость EDL делит объем пирамиды МАВС?
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Ответ: А)1:8 Б)$$\arctg \frac{\sqrt{39}}{9}$$
 

Задание 10556

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ через середину $$D$$ ребра $$CC_1$$ проведено сечение $$ADB_1$$.

а) Найдите, в каком отношении сечение делит объем призмы.

б) Найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$, если боковые ребра равны 2, а стороны основания равны 5.

Ответ: а)1:1 б)$$arctg \frac{2}{5}$$
 

Задание 10692

В треугольной пирамиде SABC точка Е - середина ребра SA, точка F - середина ребра SB, О - точка пересечения медиан треугольника АВС

а) Докажите, что плоскость CEF делит отрезок SO в отношении 3:2, считая от вершины S

б) Найдите косинус угла между плоскостями CEF и EFT, если точка Т - середина SC, а пирамида SABC правильная, площадь треугольника АВС равна $$27\sqrt{3},\ SB=10$$.

Ответ: $$\frac{15}{17}$$
 

Задание 10821

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой АС, проходит через точку В и середину высоты пирамиды.

а) Доказать, что плоскость $$\alpha $$ делит ребро SD в отношении $$2 : 1$$, считая от точки D.

б) Найдите синус угла между плоскостью $$\alpha $$ и плоскостью ASC, если угол SAC равен $$30{}^\circ $$.

Ответ: $$\frac{2\sqrt{39}}{13}$$
 

Задание 10898

В правильной четырехугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре $$AA_1$$отмечена точка E так, что $$AE:EA_1=1:2$$.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и $$BED_1$$.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и $$BED_1$$.
Ответ: $$arctg\frac{\sqrt{5}}{2}$$
Скрыть

а) Построение. Точка пересечения N прямых AD и $$D_1E:N=AD\cap D_1E$$, показана на рисунке ниже. Точка $$B$$ - общая точка плоскостей ABC и $$BED_1$$. Плоскости ABC и $$BED_1$$ пересекаются по прямой NB (см. рисунок).

б) На прямой NB отметим точку F такую, что $$AF\bot NB$$. Учитывая, что $$EA\bot ABC$$, следует $$EF\bot NB$$ (по теореме о трех перпендикулярах). Необходимо найти угол AFE.

Тангенс угла AFE найдем из прямоугольного треугольника AFE как $${\tan \angle AFE\ }=\frac{AE}{AF}$$.

По условию задачи $$AE:EA_1=1:2$$, следовательно, $$AE=1$$, а $$EA_1=2$$. Треугольник $$D_1A_1E$$ подобен треугольнику с коэффициентом подобия . Следовательно, отрезок . Найдем длину отрезка из прямоугольного треугольника ANB: $$NB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$.

Найдем отрезок AF из формулы площади треугольника ANB: $$S_{ANB}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=\frac{1}{2}\cdot NB\cdot AF$$, откуда $$AF=\frac{2}{\sqrt{5}}$$.

Таким образом, $$tg\angle AFE=\frac{\sqrt{5}}{2}$$ и $$\alpha =\angle AFE=arctg\frac{\sqrt{5}}{2}$$.

 

Задание 11105

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка E, а на ребре AM - точка L. Известно, что $$CD\ =\ BE\ =\ AL\ =\ 2.$$

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
Ответ: $$arctg\frac{\sqrt{39}}{9}.$$
Скрыть

а) Так как пирамида МАВС - правильная пирамида, то высота пирамиды проходит через центр О основания. Точка О - является точкой пересечения медиан и высот равностороннего треугольника $$\triangle АВС.$$ Точка О делит медиану, проведенную из вершины А, в отношении $$2:1.$$ В треугольнике $$\triangle АВС$$ имеем $$АЕ\ :\ ЕВ\ =\ AD\ :\ DC\ =\ 4\ :\ 2\ =\ 2\ :\ 1.$$ Значит, отрезок DE содержит точку О.

б) Построим сечение плоскостью, проходящей через точки E, D и L, соединив их попарно. Искомое сечение DLE - равнобедренный треугольник. Прямая DE перпендикулярна LО и АО, поэтому искомый угол $$\angle \alpha $$ между плоскостями равен углу $$\angle AOL.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ?АОМ. Опустим из точки L перпендикуляр LK на сторону АО, тогда $${\tan \alpha \ }=\frac{LK}{OK}(1)$$.

Из прямоугольного треугольника $$\triangle ABN$$ найдем AN: $$AN^2=AB^2-BN^2=6^2-3^2=27\to AN=3\sqrt{3}.\to \frac{AO}{AN}=\frac{2}{3}\to AO=2\sqrt{3}.$$

Из прямоугольного треугольника $$\triangle AOM$$ найдем MO: $$MO^2=AM^2-AO^2=8^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=52\to MO=2\sqrt{13}$$.

Треугольники $$\triangle ALK$$ и $$\triangle AMO$$ - подобные треугольники, получим: $$\frac{AL}{AM}=\frac{AK}{AO}\to \frac{2}{8}=\frac{AK}{2\sqrt{3}}\to AK=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ $$OK=AO-AK=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$.

Треугольники $$\triangle ALK$$ и $$\triangle AMO$$ - подобные треугольники, получим: $$\frac{AL}{AM}=\frac{LK}{MO}\to \frac{2}{8}=\frac{LK}{2\sqrt{13}}\to LK=\frac{\sqrt{13}}{2}.$$

Подставим полученные данные в формулу (1), получим: $${\tan \alpha \ }=\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{39}}{9}\to \alpha =arctg\frac{\sqrt{39}}{9}.$$

 

Задание 11125

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка $$D$$ - середина ребра $$CC_1$$.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
б) Найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
Ответ: $$arctg\frac{2}{5}.$$
Скрыть

а) Построение. Отметим точку K как результат пересечения прямой BC и прямой $$B_1D$$: т.е. $$K=BC\cap B_1D$$ (см. рисунок). Точка A является общей точкой для плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$. Следовательно, указанные плоскости пройдут через линию AK (см. рисунок). Данная линия и будет прямой пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.

б) Необходимо найти угол DHC (см. рисунок). Рассмотрим треугольник $$B_1C_1D$$ и подобный ему треугольник $$KCD$$ с коэффициентом подобия $$k=1$$ (то есть они равны между собой). Отсюда получаем, что $$CK=5$$. Имеем равнобедренный треугольник с углом $$\angle ACK=120{}^\circ $$ (так как угол $$ACB=60{}^\circ $$ у равностороннего треугольника $$ABC$$). В равнобедренном треугольнике высота $$CH$$, проведенная к основанию, является также и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHK, у которого гипотенуза $$CK=5$$ и прилегающий к ней угол $$KCH=60{}^\circ $$. Тогда катет $$CH$$ можно найти как $$CH={\cos 60{}^\circ \ }\cdot CK=\frac{5}{2}=2,5.$$ Найдем тангенс угла $$DHC$$ между плоскостями из прямоугольного треугольника $$DCH$$, получим: $${\tan \angle \ }DHC=\frac{DC}{CH}=\frac{1}{2,5}=\frac{2}{5}$$ и угол между плоскостями равен $$\alpha =\angle DHC=arctg\frac{2}{5}.$$

 

Задание 11144

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ стороны основания равны 3, боковые ребра равны 1, точка D - середина ребра $$CC_1$$.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
б) Найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
Ответ: $$arctg\frac{1}{3}.$$
Скрыть

а) Построение. Плоскости $$ABC$$ и $$ADB_1$$ будут иметь две общие точки: точка N, лежащая на пересечении отрезков $$BC$$ и $$B_1D$$ и точка $$A$$, находящаяся в основании призмы (см. рисунок). Отрезок $$AN$$, соединяющий эти две точки, будет образовывать прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.

б) Угол между плоскостями будет соответствовать углу $$DHC$$, причем отрезок $$CH$$ будет являться высотой треугольника ACN. Из рисунка видно, что треугольники $$B_1C_1D$$ и $$CDN$$ подобны друг другу с коэффициентом подобия $$k=1$$. Отсюда следует, что отрезок $$CN=B_1C_1=3$$. Сторона $$AC=3$$. Следовательно, треугольник ACN равнобедренный с углом $$\angle ACN=120{}^\circ $$ (так как угол $$\angle ACB=60{}^\circ $$ в силу того, что треугольник ABC - равносторонний). В равнобедренном треугольнике высота CH будет являться также и биссектрисой. Высоту CH вычислим из прямоугольного треугольника CHN, в котором CN - гипотенуза с прилежащим к ней углом $$\angle NCH=60{}^\circ $$: $$CH={\cos 60{}^\circ \ }\cdot CN=1,5.$$

Учитывая, что точка D лежит точно посередине отрезка $$CC_1$$, получаем длину отрезка $$CD=\frac{1}{2}=0,5$$.

Найдем тангенс угла $$\alpha $$ между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$ из прямоугольного треугольника $$CDH$$, получим: $${\tan \alpha \ }=\frac{CD}{CH}=\frac{0,5}{1,5}=\frac{1}{3}$$ и $$\alpha =arctg\frac{1}{3}.$$

 

Задание 11275

В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит параллелограмм АВСD c центром О. Точка N – середина ребра SC, точка L – середина ребра SA.

а) Докажите, что плоскость BNL делит ребро SD отношении 1 : 2, считая от вершины S.
б) Найдите угол между плоскостями BNL и ABC, если пирамида правильная, SA = 8, а тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен $$\frac{\sqrt{7}}{5}$$
Ответ: $$arctg \frac{\sqrt{7}}{10}$$
 

Задание 11749

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M –середина ребра СС1, на ребре BB1отмечена точка N, такая, что BN:NB1 =1:2.

а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD1?

б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.

Ответ: А)1:2 Б)$$\arctg \frac{\sqrt{5}}{4}$$
 

Задание 12312

В правильной четырёхугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ сторона основания $$АВ$$ равна $$2\sqrt{3},$$ а боковое ребро $$АА_1$$ равно $$3.$$ На рёбрах $$A_1D_1$$ и $$DD_1$$ отмечены соответственно точки $$К$$ и $$М$$ так, что $$А_1К=KD_1,$$ a $$DM:MD_1=2:1.$$

а) Докажите, что прямые $$МК$$ и $$ВК$$ перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями $$ВМК$$ и $$ВСС_1.$$

Ответ: 45 градусов
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!