Угол между плоскостями

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 a) 1) $$A_{1}$$ и $$C_{1}$$ соединяем . Пусть $$A_{1} C_{1} \cap E_{1} F_{1}=K$$, тогда E и K соединяем; $$EK\cap FD_{1}=M$$

Пусть $$A_{1} C_{1} \cap E_{1} F_{1}=R\Rightarrow ER\cap FF_{1}=N\Rightarrow (A_{1}NEMC_{1})$$- искомая $$(A_{1}C_{1}E)$$

   2) $$E_{1}B_{1}\cap A_{1}C_{1}=H\Rightarrow EH$$-линия пересечения $$(A_{1}C_{1}E)$$ и $$(BB_{1}E_{1}E)$$

   3) $$A_{1}C_{1}\perp E_{1}B_{1}$$(т.к. в основании правильной призмы) ,но $$A_{1}C_{1}\perp BB_{1}$$( т.к. призма правильная) $$\Rightarrow (A_{1}C_{1}E)\perp (BB_{1}E_{1}E)$$

   b) 1)Отпустим $$HH_{1}\perp (ABCDEF)\Rightarrow HH_{1}=AA_{1}=5$$

   2)Пусть O-центр основания $$\Rightarrow OE=AB=4$$

   3) AOCB- ромб (OC=BC=AB=AO; $$\angle AOC=\angle ABC$$)$$\Rightarrow OH_{1}-H_{1}B=\frac{1}{2}OB=2$$

   4) $$tg \angle HEH_{1}=\frac{HH_{1}}{EH_{1}}=\frac{5}{6}\Rightarrow \angle HEH_{1}-arctg\frac{5}{6}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

A)      1) Пусть $$B_{1}D_{1}\cap A_{1}C_{1}=K$$ $$\Rightarrow$$ K - середина ($$A_{1} B_{1}C_{1}D_{1}$$). Тогда $$K \in (A_{1} C_{1} C A)$$$$\Rightarrow$$ $$AK\cap CC_{1}=M$$

        2) Пусть $$B_{1}C\cap BC_{1}=N$$$$\Rightarrow$$ N - середина $$(B_{1}C_{1}CB)$$ и $$M, N \in (B_{1}C_{1}CB)$$$$\Rightarrow$$ соединяем MN, $$MN\cap B_{1}C_{1}=L_{1}$$; $$MN\cap BC=L$$

        3) Соединим $$L_{1}K ; L_{1}K\cap A_{1}D_{1}=R_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$AR_{1}L_{1}L$$ - искомое сечение

        4) Рассмотрим $$\Delta AMC$$: $$KC_{1}=\frac{A_{1}C_{1}}{2}$$;. Пусть сторона квадрата равна 1, тогда: 

$$A_{1}C_{1}=\sqrt{2}$$$$\Rightarrow$$ $$KC_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$; $$CC_{1}=1$$; $$\Delta MKC_{1}\sim \Delta AMC$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{MC_{1}}{MC}=\frac{KC_{1}}{AC}$$$$\Rightarrow$$ $$MC_{1}=1$$

         5) $$\Delta MCL\sim MNN_{1}(NN_{1}\left | \right |LC)$$, $$CN_{1}=\frac{1}{2}CC_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$CN_{1}=\frac{1}{4}CM$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{MN_{1}}{MC}=\frac{NN_{1}}{CL}=\frac{3}{4}$$; $$NN_{1}=\frac{1}{2}$$, $$LC=\frac{2}{3}$$$$\Rightarrow$$ $$BL=\frac{1}{3}$$, $$L_{1}C_{1}=\frac{1}{3}$$, $$B_{1}L_{1}=\frac{2}{3}$$

        6) Пусть $$A_{1}H\left | \right |L_{1}R_{1}$$; тогда $$\Delta A_{1}B_{1}H=\Delta ABL$$$$\Rightarrow$$ $$V_{A_{1}B_{1}HABL}=\frac{1}{2}S_{ABL}*BB_{1}=\frac{1}{2} *1*\frac{1}{3}*1=\frac{1}{6}$$

        7) $$\Delta A_{1}AR_{1}=HLL_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$V_{A_{1}R_{1}ALHL_{1}}=S_{AA_{1}R_{1}}*h$$, где h - высота призмы $$A_{1}R_{1}ALHL_{1}$$; $$A_{1}B_{1}(A_{1}B_{1}\perp (B_{1}C_{1}CB))$$$$\Rightarrow$$ $$V_{A_{1}R_{1}ALHL_{1}}=\frac{1}{2}*1*\frac{1}{3}*1=\frac{1}{6}$$

Тогда $$V_{A_{1}B_{1}L_{1}R_{1}ABL}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}=V_{1}$$; $$V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=1^{3}=1$$$$\Rightarrow$$ $$V_{ALCDR_{1}L_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{2}{3}=V_{2}$$ ;$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$$

Б)       введем ортогальную систему координат: $$A(0;1;0)$$; $$R_{1}(0;\frac{2}{3};1)$$; $$L(1; \frac{2}{3}; 0)$$. Зададим уравнение ($$ALL_{1}R_{1}$$): $$\left\{\begin{matrix}0*a+1*b+0*c+d=0\\0*a+\frac{2}{3} b+1*c+d=0\\1*a+\frac{2}{3}b+0*c+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=-d\\a=-\frac{d}{3}\\c=-\frac{d}{3}\end{matrix}\right.$$$$\Rightarrow$$ $$(ALL_{1}R_{1})$$:$$-\frac{1}{3}x-1*y-\frac{1}{3}z+1=0$$ и нормаль-вектор к этой плоскости: $$\bar{n}(-\frac{1}{3},-1,-\frac{1}{3})$$. Нормаль-вектор к (ABCD): $$\tilde{m} (0,0,1)$$ (ось OZ): тогда косинус угла м\у ($$ALL_{1}R_{1}$$) и (ABCD) равен $$\cos (\bar{m}, \bar{n})$$:

$$\cos (\bar{m}, \bar{n})=\frac{\left | -\frac{1}{3}*0+(-1)*0+(-\frac{1}{3})*1 \right |}{\sqrt{(-\frac{1}{3})^{2}+(-1)^{2}+(-\frac{1}{3})^{2}} \sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{11}}$$$$\Rightarrow$$ $$\angle (\bar{m}, \bar{n})=arccos \frac{1}{\sqrt{11}}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А) 1) Пусть $$h$$ - высота $$BNAM$$ (из $$B\perp AMN$$) $$\Rightarrow$$ $$h=4$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{BNAM}=\frac{1}{3}\cdot5\cdot4=\frac{20}{3}$$

2) $$\frac{V_{ABCD}}{V_{BNAM}}=\frac{BD\cdot BA\cdot BC}{BN\cdot BA\cdot BM}=\frac{2BD}{BN}=\frac{40}{\frac{20}{3}}=\frac{6}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BD}{BN}=\frac{3}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$BN=\frac{1}{3}BD$$; $$ND=\frac{2}{3}BD$$ $$\Rightarrow$$ $$BN\div ND=1\div2$$

Б) 1) Пусть $$BF\perp AM$$; т.к. $$NB\perp(ABC)$$, то $$BF$$ - проекция $$NF$$ на $$(ABC)$$ $$\Rightarrow$$ $$NF\perp AM$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle NFB$$ - между $$(NAM)$$ и $$(ABC)$$ $$AM\perp(NFB)$$

2) $$BN=\frac{1}{3}BD=5$$. Пусть $$BE\perp NF$$, но $$BE\perp AM$$ $$\Rightarrow$$ $$BE\perp(NAM)$$ $$\Rightarrow$$ $$BE=h=4$$

3) Из $$\bigtriangleup NBF$$: $$BE$$ - высота $$\Rightarrow$$ $$\angle NBF=\angle NFB$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos\angle NBE=\cos\angle NFB=\frac{BE}{BN}=0,8$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!