Угол между прямой и плоскостью

Точка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD образует с основанием угол $$45^{\circ},$$ сторона основания равна 4. Через среднюю линию треугольника АВD, не пересекающую BD и середину высоты пирамиды, проведена плоскость α.

А) Докажите, что плоскость α перпендикулярна ребру SC.

Б) Найдите объем пирамиды SKLM, где К, L и M – точки пересечения α соответственно с ребрами SB, SD и SC.

Дана правильная треугольная призма $$АВСА_1В_1С_1,$$ сторона АВ основания которой равна 32, а боковое ребро $$ВВ_1,$$ равно $$4\sqrt{3}.$$ На рёбрах АВ и $$В_1С_1$$ отмечены точки К и L соответственно, причём $$АК=2; B_1L =28.$$ Точка М — середина ребра $$А_1С_1.$$ Плоскость у проходит через точки К и L и параллельна прямой АС.

А) Докажите, что плоскость $$\gamma$$ перпендикулярна прямой MB.

Б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка М, а основанием — сечение данной призмы плоскостью $$\gamma.$$

В правильной треугольной призме $$АВСА_1В_1С_1$$ сторона основания равна 3 и боковое ребро равно 9. Точка М - середина ребра $$А_1С_1,$$ точка О - точка пересечения диагоналей грани $$АВВ_1А_1$$

А) Докажите, что точка пересечения $$ОС_1$$ с четырехугольником, являющимся сечением призмы плоскостью АВМ, совпадает с точкой пересечения диагоналей этого четырехугольника

Б) Найдите угол между $$ОС_1$$ и сечением призмы плоскостью АВМ

В правильной треугольной пирамиде $$МАВС$$ двугранный угол при основании равен $$\arctg3.$$ Через точку $$К$$ ребра $$МС$$ и вершины $$А$$ и $$В$$ проходит плоскость $$\alpha$$ так, что площадь сечения пирамиды плоскостью $$\alpha$$ относится к площади основания как $$3:\sqrt{13}.$$

А) Докажите, что прямая $$МС$$ перпендикулярна плоскости $$\alpha.$$

Б) Найдите объем пирамиды $$МАВК,$$ если объем пирамиды $$МАВС$$ равен $$52\sqrt{5}.$$

На ребрах BS и CS правильной четырехугольной пирамиды SABCD со стороной основания AD = 10 и боковым ребром $$SA = 5\sqrt{6}$$ взяты точки K и M соответственно так, что $$SK : BK = CM : SM = 3:2.$$

А) Докажите, что $$KM\perp SC.$$

Б) Найдите угол между прямой $$КМ$$ и плоскостью основания пирамиды.

В основании пирамиды SABCD лежит ромб ABCD, сторона которого равна 8, а угол при вершине А равен 60^o. Известно, что $$SA = 15, SC = \sqrt{33}$$ и, кроме того, SB = SD.

а) Докажите, что SC - высота пирамиды.

б) Найдите угол между плоскостью ASC и ребром SB.

В четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 6, точка M - середина отрезка AS.

а) Докажите, что прямая AS перпендикулярна плоскости BMD.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BMD.

Основанием правильной треугольной пирамиды $$PABC$$ является треугольник $$ABC$$, $$AP=1,3AB$$. Через точку $$A$$ перпендикулярно апофеме грани $$BCP$$ проведена плоскость $$\alpha$$.

Основанием правильной треугольной пирамиды $$PABC$$ является треугольник $$ABC$$, $$AP:AB=3:4$$. На апофеме грани $$BCP$$ отметили точку $$K$$, которая делит эту апофему в отношении $$1:4$$, считая от точки $$P$$. Через точки $$A$$ и $$K$$ параллельно прямой $$BC$$ проведена плоскость $$\alpha$$.