ЕГЭ Профиль
Задание 8236
A) $$4^{\cos 2x}-\frac{1}{2}\cdot 16^{\sin^{2}x}=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4^{1-2\sin^{2}x}-\frac{1}{2}(4^{2})^{\sin^{2}x}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$4^{\frac{4}{2\sin^{2}x}}-\frac{1}{2}\cdot4^{2\sin^{2}x}=1$$. Замена: $$4^{2\sin^{2}x}=y>0$$
Решение: $$\frac{4}{y}-\frac{y}{2}=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{8-y^{2}-2y}{2y}=0|\cdot(-2y)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+2y-8=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}y_{1}+y_{2}=-2&\\y_{1}\cdot y_{2}=-8&\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}y_{1}=-4<0&\\y_{2}=2&\end{bmatrix}$$
Обратная замена: $$4^{2\sin^{2}x}=2$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2^{4\sin^{2}x}=2$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin^{2}x=\frac{1}{4}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin x=\pm\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k,k\in Z$$
Б) Отметим на единичной окружности полученные корни и найдем их значения на $$[0;\frac{3\pi}{2}]$$:
1) $$0+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$$;
2) $$\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$$;
3) $$\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$$;
Задание 8305
а) Решите уравнение $$(32^{\cos x})^{\sin x}=4\sqrt{2}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{9\pi}{2};-3\pi]$$
А) $$(32^{\cos x})^{\sin x}=4\sqrt{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(2^{5})^{\sin x\cos x}=2^{2}\cdot2^{\frac{1}{2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2^{5\sin x\cos x}=2^{\frac{5}{2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$10\sin x\cos x=5$$ $$\Leftrightarrow$$ $$5\sin2x=5$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin2x=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z$$; $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z$$
Б) С помощью тригонометричексой окружности найдем корни: $$-4\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{15\pi}{4}$$
Задание 8323
а) Решите уравнение $$\log_{3-4\cos^{2}x}(9-16\cos^{4}x)=2+\frac{1}{\log_{2}(3-4\cos^{2}x)}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}]$$
А) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}3-4\cos^{2}x>0&\\3-4\cos^{2}x\neq1&\\9-16\cos^{4}x>0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos^{2}x<\frac{3}{4}&\\\cos^{2}x\neq1&\\\cos^{4}x<\frac{9}{16}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x\in(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})&\\\cos x\neq\pm1&\\\cos^{2}x\in(-\frac{3}{4};\frac{3}{4})&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;-\frac{\pi}{6}+2\pi n)\cup(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n)$$
Решение: $$\log_{3-4\cos^{2}x}(3-4\cos^{2}x)(3+4\cos^{2}x)=2+\log_{3-4\cos^{2}x}2$$
$$1+\log_{3-4\cos^{2}x}(3+4\cos^{2}x)=2+\log_{3-4\cos^{2}x}2$$
$$\log_{3-4\cos^{2}x}(3+4\cos^{2}x)=\log_{3-4\cos^{2}x}(3-4\cos^{2}x)+\log_{3-4\cos^{2}x}2$$
$$3+4\cos^{2}x=6-8\cos^{2}x$$
$$12\cos^{2}x=3$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos^{2}x=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos x=\pm\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$
Б) С помощью тригономентрической окружности найдем корни на данном отрезке: $$\frac{\pi}{3}+\pi n$$: $$\frac{\pi}{3}$$; $$-\frac{\pi}{3}+\pi n$$: $$-\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}$$
Задание 8871
а) Решите уравнение $$(\sqrt{2}^{\sin^{2}x+\sqrt{\cos x}})^{2}+2^{\cos^{2}x+\sqrt{\cos x}}=3\cdot 2^{\sqrt{\cos x}}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{11\pi}{2};-4\pi]$$
Задание 9632
а) Решите уравнение $$\sqrt{\sin x\cdot \cos x}=\cos x$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]$$
