ЕГЭ Профиль
Задание 4668
а) Решите уравнение: $$\sin ^{2}x+3x^{2}\cos x+3x^{2}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi }{2};\pi ]$$
a)$$\sin ^{2}x+3x^{2}\cos x+3x^{2}=0\Leftrightarrow $$$$ 1-\cos ^{2}x+3x^{2}(\cos x+1)=0\Leftrightarrow $$$$(1-\cos x)(\cos x+1)+3x^{2}(\cos x+1)=0\Leftrightarrow $$$$(\cos x+1)(1-\cos x+3x^{2})=0 $$ Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0, то есть или $$\cos x+1 = 0 $$(1) , или $$(1-\cos x+3x^{2})=0 $$(2) 1) $$\cos x+1 = 0 \Leftrightarrow $$$$\cos x=-1 \Leftrightarrow $$$$ x=\pi + 2\pi*n, n \in Z$$ 2) Пусть $$f(x)=1-\cos x ; g(x)=-3x^{2}$$. Если построить данные графики, то видно, что они пересекаются только в точке x = 0. б) На представленном отрезке $$[-\frac{\pi }{2};\pi ]$$ первый корень принимает значения $$\pi$$, а так же второй корень входит в данный отрезок
Задание 5288
Задание 6521
А) Замена : $$(\frac{6}{5})^{\cos 3x}=y>0\Rightarrow$$ $$(\frac{5}{6})^{\cos 3x}=\frac{1}{y}$$
$$y+\frac{1}{y}=2\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-2y+1}{y}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y-1)^{2}}{y}=0\Leftrightarrow$$ $$y-1=0\Leftrightarrow$$ $$y=1$$
$$(\frac{6}{5})^{\cos 3x}=1\Leftrightarrow$$ $$\cos 3x=0 \Leftrightarrow$$ $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z \Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n }{3}, n \in Z$$
Б) На заданном промежутке имеем единтвенный корень: $$4 \pi +\frac{\pi}{6}=\frac{25 \pi}{6}$$
Задание 6663
А) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}log_{\frac{1}{3}}(x+5)>0\\x+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+5<1\\x+5>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<-4\\x>-5\end{matrix}\right.$$
Решение: $$\left\{\begin{matrix}\sin 2x-2 \cos x=0(1)\\\log_{2}(\log_{\frac{1}{2}}(x+5))=0(2)\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим (1): $$\sin 2x-2 \cos x=0\Leftrightarrow$$ $$2 \sin x\cos x-2 \cos x=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos x(\sin x-\cos x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z\\x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z$$
С учетом ОДЗ : $$x=-\frac{3 \pi}{2}$$
(2): $$\log_{2}(\log_{\frac{1}{3}}(x+5))=0\Leftrightarrow$$ $$\log_{\frac{1}{3}}(x+5)=1\Leftrightarrow$$ $$x+5=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$x=-4\frac{2}{3}$$
Б) Из двух полученных корней на данном промежутке лежит только $$x=-4\frac{2}{3}$$
Задание 6698
ОДЗ: $$1-\sin ^{2}x\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\sin^{2}x\leq 1\Leftrightarrow$$ $$x \in R$$
$$\sqrt{1-\sin^{2}x}=\sqrt{\cos ^{2}x}=\left | \cos x \right |$$
$$3*2^{\cos x+3 \left | \cos x \right |}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$
1) Если $$\cos \geq 0$$, то $$3*2^{4 \cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0\Leftrightarrow$$$$3*4^{2 \cos x}+1*4^{\cos x}-34=0$$
Пусть $$4^{\cos x}=t>0$$
$$3t^{2}+11t-34=0$$
$$D=121+408=529$$
$$t_{1}=\frac{-11+23}{6}=2$$
$$t_{2}=\frac{-11-23}{6}<0$$
Тогда $$4^{\cos x}=2\Leftrightarrow$$ $$\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n , n \in Z$$
2) Если $$\cos x <0$$, тогда : $$3*2^{-2 \cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$
Пусть $$2^{2 \cos x}=t>0$$
$$3*\frac{1}{t}+11t-34=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{11t^{2}-34t+3}{t}=0\Leftrightarrow$$ $$11t^{2}-34t+3=0$$
$$D=1156-132=1024$$
$$t_{1}=\frac{34+32}{22}=3$$
$$t_{2}=\frac{34-32}{22}=\frac{1}{11}$$
Тогда $$2^{2 \cos x}=3\Leftrightarrow$$ $$4^{\cos x}=3\Leftrightarrow$$ $$\cos x=log_{4}3>0\Rightarrow$$ не подходит
$$2^{2 \cos x}=\frac{1}{11}\Leftrightarrow$$ $$4^{\cos x}=\frac{1}{11}\Leftrightarrow$$ $$\cos x=\log_{4}\frac{1}{11}<-1$$ - не подходит (так как $$\log_{4}\frac{1}{11}<\log_{4}\frac{1}{4}=-1$$) - решений нет
Б) На промежутке $$[-\frac{3 \pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$$
$$\frac{\pi}{3}+2 \pi n , n \in Z: \frac{\pi}{3}$$
$$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n ,n \in Z: -\frac{\pi}{3}$$
Задание 6875
А) $$\sqrt{log_{\frac{1}{9}} ctg (\frac{2x}{9})}+\sqrt{log_{\frac{1}{9}}(\sin 4x)}=0$$$$\Leftrightarrow$$ Так как дана сумма квадратных корней, то она равна нулю только тогда, когда : $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{log_{\frac{1}{9}}ctg\frac{2x}{9}}=0\\\sqrt{log_{\frac{1}{9}}\sin 4x}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}log_{\frac{1}{9}}ctg\frac{2x}{9}=0\\log_{\frac{1}{9}}\sin 4x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}ctg \frac{2x}{9}=1\\\sin 4x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{2x}{9}=\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\\4x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k , k\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{9 \pi}{8}+ \frac{ 9\pi n}{2}, n \in Z\\x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=9(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}), n \in Z\\x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=9(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n }{2}), n \in Z$$
Б) Рассмотрим двойное неравенство: $$\frac{3\pi}{2}\leq 9(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n }{2}) \leq 4\pi \Leftrightarrow$$$$\frac{1}{6}\leq \frac{1}{8}+\frac{n}{2}\leq \frac{4}{9}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{24}\leq \frac{n}{2}\leq \frac{23}{72}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{12}\leq n\leq \frac{23}{36} $$. Как видим, целых n не получили, следовательно, на данном промежутке корней нет
Задание 6923
A) Найдем ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}3 \left | \sin x \right |-\left | \cos x \right |>0\\\left | \cos x \right |>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3\left | tg x \right |-1>0\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left | tg x \right |>\frac{1}{3}\\\cos x \neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}tg x>\frac{1}{3}\\tg x<-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\\\cos x \neq 0\end{matrix}\right.$$
Решение: $$\log_{2}(3\left | \sin x\right |-\left | \cos x \right |)+\log_{2}\left | \cos x \right |=0\Leftrightarrow$$$$\log_{2}((3\left | \sin x \right |-\left | \cos x \right |)\left | cos x \right |)=0\Leftrightarrow$$$$3\left | \sin x \cos x \right |-\cos ^{2}x=1\Leftrightarrow$$$$-\cos ^{2}x+3\left | \sin x*\cos x \right |=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\Leftrightarrow$$$$\left | \sin x \right |^{2}-3\left | \sin x \right |\left | \cos x \right |+2 \left | \cos x \right |^{2}=0|:\left | \cos x \right |^{2}\Leftrightarrow$$$$\left | tg x \right |^{2}-3\left | tg x \right |+2=0$$
$$\left[\begin{matrix}\left | tg x \right |=2 \\\left | tg x \right |=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}tg x=\pm 2\\tg x= \pm 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm arctg 2+\pi n \\x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi k, n,k \in Z\end{matrix}\right.$$
Б ) Найдем корни на заданном промежутке:
Задание 7018
A) ОДЗ: $$16x-7-4x^{2}>0\Leftrightarrow$$ $$4x^{2}-16x+7<0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0,5\\x<3,5\end{matrix}\right.$$
Решение: разложим $$\cos 2\pi x=2 \cos^{2} \pi x-1$$; $$\sin^{2} \pi x=1-\cos^{2} \pi x$$. Тогда получим : $$\cos^{2}(\pi x)*\log_{3}(16x-7-4x^{2})=6 \cos^{2} \pi x-3+3-3 \cos^{2} \pi x\Leftrightarrow$$$$\cos^{2} (\pi x)(\log_{3}(16x-7-4x^{2})-3)=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix} \cos ^{2}(\pi x)=0(1)\\ \log_{3}(16x-7-4x^{2})=3 (2)\end{matrix}\right.$$
(1): $$\cos ^{2}\pi x=0\Leftrightarrow$$ $$\cos \pi x=0\Leftrightarrow$$ $$\pi x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z$$$$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{1}{2}+n , n \in Z$$
(2): $$\log_{3}(16x-7-4x^{2})=3\Leftrightarrow$$ $$16x-7-4x^{2}=27\Leftrightarrow$$ $$4x^{2}-16x+34=0\Leftrightarrow$$$$2x^{2}-8x+17=0\Leftrightarrow$$ $$x=\varnothing$$
С учетом ОДЗ: $$0,5<\frac{1}{2}+n<3,5\Leftrightarrow$$ $$0<n<3 \Rightarrow$$ $$n=1; 2\Rightarrow$$ $$x=1,5; 2,5$$
Б) На промежутке $$[\frac{\pi}{2}; \pi]$$ лежит только 2,5
Задание 7059
Дано уравнение $$4^{\cos^{2} (x+\frac{\pi}{4})}=2\cdot 2^{\cos x}$$.
A) $$4^{\cos ^{2} (x+\frac{\pi}{4})}=2*2^{\cos x }\Leftrightarrow$$ $$2 ^{2 \cos ^{2}(x+\frac{\pi}{4})}=2^{1+\cos x}\Leftrightarrow$$ $$2 \cos ^{2}(x+\frac{\pi}{4})= 1+\cos x\Leftrightarrow$$ $$2*\frac{1}{2}(1+\cos (2(x+\frac{\pi}{4})))=1+\cos x\Leftrightarrow$$ $$1+\cos(\frac{\pi}{2}+2x)=1+\cos x\Leftrightarrow$$ $$-\sin 2x-\cos x=0\Leftrightarrow$$ $$-2 \sin x \cos x-\cos x=0\Leftrightarrow$$ $$-\cos x(2 \sin x+1)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z\\x=-\frac{\pi}{6}+2 \pi k\\x=-\frac{5 \pi}{6}+2 \pi k , k \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) На отрезке $$[4 \pi ; \frac{11 \pi}{2}]$$:
$$\frac{\pi}{2}+\pi n$$ : $$4\pi+\frac{\pi}{2}=\frac{9 \pi}{2}$$; $$5 \pi+\frac{\pi}{2}=\frac{11 \pi}{2}$$
$$-\frac{5\pi}{6}+2 \pi n$$ : $$5 \pi+\frac{\pi}{6}=\frac{31 \pi}{6}$$
Задание 7179
A) $$3*2^{\cos x+3\sqrt{1-\sin ^{2}x}}+11 *2^{2 \cos x}-34=0\Leftrightarrow$$ $$3*2^{\cos x+3\sqrt{\cos ^{2}x}}+11*2^{2 \cos x}-34=0\Leftrightarrow$$ $$3*2^{\cos x+3\left | \cos ^{2}x \right |}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$
1) при $$\cos x\geq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$x \in [-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+2 \pi n], n \in Z$$: $$3*2^{4 \cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$
Пусть $$2^{2 \cos x}=y>0$$, тогда $$3y^{2}+11y-34=0$$: $$D=121+408=529$$
$$\left[\begin{matrix}y_{1}=\frac{-11+23}{6}=2\\y_{2}=\frac{-11-23}{6}<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2 ^{2 \cos x}=2\Leftrightarrow$$ $$2 \cos x=1\Leftrightarrow$$ $$\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n , n \in Z$$
2) при $$\cos x<0$$: $$3*2^{\cos x-3 \cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0\Leftrightarrow$$$$3*2^{-2\cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$
Пусть $$2^{2 \cos x}=y>0$$ , тогда $$\frac{3}{y}+11*y-34=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{11y^{2}-34y+3}{y}=0\Leftrightarrow$$ $$11y^{2}-34y+3=0$$
$$D=1156-132=1024$$
$$\left[\begin{matrix}y_{1}=\frac{34+32}{22}=3\\y_{2}=\frac{34-32}{22}=\frac{1}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}2^{2 \cos x}=3\\2 ^{2 \cos x}=\frac{1}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}4^{\cos x}=3\\4^{\cos x}=\frac{1}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=\log_{4}3>0\Rightarrow \varnothing\\\cos x=\log_{4}\frac{1}{11}<-1\Rightarrow \varnothing & &\end{matrix}\right.$$
Б) На промежутке $$[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]$$:
$$\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$\frac{\pi}{3};\frac{7\pi}{3}$$
$$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}$$
Задание 7322
А) Учтем, что: $$\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{3x}{2}=$$$$2\sin \frac{\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}}{2}\cos \frac{\frac{x}{2}-\frac{3x}{2}}{2}=$$$$2 \sin x \cos x$$
Выразим: $$2 \sin x cos \frac{x}{2}=$$$$\sin (-x)\Leftrightarrow$$ $$2 \sin x \cos \frac{x}{2}+\sin x=0\Rightarrow$$ $$\sin x(2\cos \frac{x}{2}+1)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\2 \cos \frac{x}{2}+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\\cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n , n \in Z\\\frac{x}{2}=\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi k,k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n,n\in Z\\x=\pm \frac{4 \pi}{3}+4 \pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\sin (-x)>0\\\sin (-x)\neq 1\\2 \sin x \cos \frac{x}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x <0\\\sin x \neq -1\\\sin x \cos \frac{x}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in (-\pi +2 \pi n , 2 \pi n) (2)\\x \neq -\frac{\pi}{2}+2 \pi n \\\sin x \cos \frac{x}{2}>0 (1)\end{matrix}\right.$$
С учетом (2) $$x =\pi n$$ не подходит, $$x=-\frac{4 \pi}{3} +4 \pi n$$ не подходит. Подставим $$x= \frac{4 \pi}{3} + 4 \pi k$$ в (1) : $$\sin (\frac{4 \pi}{3})\cos \frac{\frac{4\pi}{3}}{2}=$$$$-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \frac{ \pi}{3}=$$$$-\frac{\sqrt{3}}{2}*(-\frac{1}{2})>0$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{4 \pi}{3}+2 \pi k, k \in Z$$-корень
Б) На промежутке $$[-2 \pi ; 2 \pi]$$: $$-2 \pi\leq \frac{4 \pi}{3}+2 pi k \leq 2 \pi\Leftrightarrow$$ $$-\frac{20 \pi}{3}\leq 4 \pi\leq k\leq \frac{2 \pi}{3}\Leftrightarrow$$ $$-\frac{10}{12}\leq k\leq \frac{1}{6}\Rightarrow$$ $$k=0\Rightarrow$$ $$\frac{4 \pi}{3}+0*\pi =\frac{4 \pi}{3}$$