ЕГЭ Профиль
Задание 907
Дано уравнение $$\sqrt{1-\sin ^{2}x}=\sin x$$.
a) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left [\frac{5\pi}{2};4\pi \right ]$$
$$ \sqrt{1-\sin ^{2}x}=\sin x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{1-\sin ^{2}x}\geq 0\\ \sin x\geq 0\\\ 1-\sin ^{2}x=\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-\sin ^{2}x\geq 0\\ \sin x\geq 0\\\ 1-\sin ^{2}x=\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin ^2 x\leq 1\\ \sin x\geq 0\\\ 1=2\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin ^{2}x\leq 1\\ \sin x\geq 0\\\ \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\ x=\frac{\pi}{4}+2\pi n , n\in Z\\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n n\in Z\end{matrix}\right.$$
Задание 3248
Дано уравнение $$\log_{2}\sin x\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$ .
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$$\log_{2}\sin x\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x>0\\\cos^{2}x>0\\\sin x\neq1\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x\in(2\pi n;\pi+2\pi n)\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\frac{1}{\log_{\sin x}2}\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$ $$\frac{\log_{\sin x}\cos^{2}x}{\log_{\sin x}2}=-1$$ $$\log_{2}\cos^{2}x=-1$$ $$\cos^{2}x=\frac{1}{2}$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n\\x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.$$ $$n\in Z$$ С учетом ОДЗ: $$x_{1}=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$ $$x_{2}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$ б) $$4\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}$$ $$5\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{19\pi}{4}$$