Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

A)    $$\sqrt{10}\cos x-\sqrt{4 \cos x- \cos 2x}=0\Leftrightarrow$$$$\sqrt{4 \cos x-\cos 2x}=\sqrt{10}\cos x$$

     Прейдем к равносильной системе:$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{10} \cos x\geq 0(2)\\4 \cos x- \cos 2x =10 \cos ^{2}x (1)\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1): $$4 \cos x-(2 \cos^{2}x-1)-10 \cos ^{2}x=0\Leftrightarrow$$$$-12 \cos ^{2}x+4 \cos x+1=0\Leftrightarrow$$$$12 \cos ^{2}x-4 \cos x-1=0$$

$$D=16+48=64=8^{2}$$

     $$\left[\begin{matrix}\cos x=\frac{4+8}{24}=\frac{1}{2}\\\cos x=\frac{4-8}{24}=-\frac{1}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n , n \in Z\\ \varnothing (\cos x\geq 0)\end{matrix}\right.$$

Б)    На промежутке $$[-\frac{\pi}{3};2 \pi n ]$$:

$$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n:n=1\Rightarrow \frac{5 \pi}{3}$$

$$\frac{\pi}{3}+2 \pi n:n=0\Rightarrow \frac{\pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   A) $$\frac{\sin 3x}{1+2 \cos 2x}=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin 3x=0\\\cos 2x\neq -\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3x=\pi n , n \in Z\\2x\neq \pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n , n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi n }{3} , n \in Z\\x\neq \pm \frac{\pi}{3} +\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим полученные корни и ограничения (черными - корни, пустые - ограничения):

     С учетом полученных пересечений получим итоговое решение : $$x=\pi n , n \in Z$$

   Б) На промежутке $$[-\pi; \pi)$$ получим следующие корни: $$-\pi$$ и $$0$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     А) ОДЗ: $$\sin x\neq 0 \Leftrightarrow$$ $$x\neq \pi n , n \in Z$$

$$\sqrt{7} \cos x(\sqrt{3} ctg x-1-\frac{1}{\sin x})=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0(1)\\\sqrt{3} ctg x-1-\frac{1}{\sin x}=0 (2)\end{matrix}\right.$$

     1) $$\cos x=0\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n , n \in Z$$

     2) $$\frac{\sqrt{3}\cos x}{\sin x}-\frac{1}{\sin x}-1=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt{3 } \cos x-\sin x-1}{\sin x}=0\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{3} \cos x-\sin x=1 \Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x-\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\sin \frac{\pi}{3} \cos x-\cos \frac{\pi}{3}\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\sin x \cos \frac{\pi}{3}-\cos x \sin \frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\sin (x-\frac{\pi}{3})=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2 \pi k , k \in Z\\x-\frac{\pi}{3}=-\frac{5 \pi}{6}+2 \pi k\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+2 \pi k\\x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi k , k \in Z\end{matrix}\right.$$

     Б) На промежутке $$[-\pi;\pi]$$:

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     А) $$2 \left | \sin x \right |+\log_{tg x}(-\frac{\left | \cos x \right |}{\sin x})=0$$

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\frac{-\left | \cos x \right |}{\sin x}>0\\tg x>0\\tg x \neq 1\\\sin x\neq 0\\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x<0\\\cos x<0 (1)\\tg x\neq 1\end{matrix}\right.$$

     Решение с учетом ОДЗ: $$-2 \sin x+\log_{tg x}\frac{\cos x}{\sin x}=0\Leftrightarrow$$ $$-\log_{tg x}\frac{\sin x}{\cos x}=2 \sin x\Leftrightarrow$$ $$2 \sin x=-1\Leftrightarrow$$ $$\sin x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+2 \pi n \notin (1)\\x=-\frac{5\pi }{6} +2 \pi n\end{matrix}\right.$$$$n \in Z$$

     Б) На промежутке: $$[-\frac{3\pi}{2};0]$$ : $$-\frac{5\pi}{6}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     A) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}tg (x+\frac{\pi}{6})\neq 0\\\sin x\neq 0\\\cos (x+\frac{\pi}{6})\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x+\frac{\pi}{6}\neq \pi n , n \in Z\\x\neq \pi k, k \in Z\\x+\frac{\pi}{6}\neq \frac{\pi}{2}+\pi m, m \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq -\frac{\pi}{6}\\x\neq \pi k\\x\neq \frac{\pi}{3}+\pi m, n,k,m \in Z\end{matrix}\right.$$

     Решение: $$ctg \frac{110}{6}=-\sqrt{3}$$; $$tg(x+\frac{\pi}{6})=\frac{\sin (x+\frac{\pi}{6})}{\cos (x+\frac{\pi}{6})}=$$$$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x +\frac{1}{2} \cos x}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x -\frac{1}{2} \sin x}=$$$$\frac{\sqrt{3} \sin x+\cos x}{\sqrt{3} \cos x-\sin x}$$; $$ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}$$;

     Получим $$-\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3} \sin x+\cos x}{\sqrt{3} \cos x -\sin x})=$$$$\frac{2 \cos x}{\sin x}+3\Leftrightarrow$$ $$\frac{-3 \sin x -\sqrt{3} \cos x}{\sqrt{3} \cos x-\sin x}=$$$$\frac{2 \cos x+3 \sin x}{\sin x}\Leftrightarrow$$ $$-3\sin ^{2}x-\sqrt{3} \sin x\cos x=$$$$2\sqrt{3}\cos ^{2}x+3\sqrt{3} \cos x \sin x-2 \sin x \cos x-3 \sin ^{2}x\Leftrightarrow$$ $$2\sqrt{3} \cos ^{2}x+4\sqrt{3} \sin x \cos x-2 \sin x \cos x=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos x(\sqrt{3} \cos x+\sin x(2\sqrt{3}-1))=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x (2\sqrt{3} -1)+\sqrt{3} \cos x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2} +\pi n\\tg x=\frac{-3}{2\sqrt{3}-1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+ \pi n\\x=-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}+ \pi k , n,k \in Z\end{matrix}\right.$$

     Б) С учетом тригонометрической окружности : $$\frac{\pi}{2} +\pi n$$ :$$-\frac{3 \pi}{2}$$; $$-\frac{\pi}{2}$$ ;$$\frac{\pi}{2}$$; $$\frac{3 \pi}{2}$$

$$-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}+\pi k$$: $$-\pi-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}$$;$$-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1};$$ $$\pi-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}$$.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А) $$\sin2x+\sqrt{2\cos x-2\cos^{3}x}=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{2\cos x-2\cos^{3}x}=-\sin2x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\cos x-2\cos^{3}x=\sin^{2}2x(2)&\\-\sin2x\geq0(1)&\end{matrix}\right.$$ 

$$(1)$$: $$-\sin2x\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin2x\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2x\in{-\pi+2\pi n;2\pi n},n\in Z$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in{-\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi n},n\in Z$$

$$(2)$$: $$2\cos x(1-\cos^{2}x)=4\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2\cos x\cdot\sin^{2}x-4\cos^{2}x\cdot\sin^{2}x=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2\cos x\cdot\sin^{2}x(1-2\cos x)=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}\cos x=0&\\\sin x=0&\\\cos x=\frac{1}{2}&\end{bmatrix}$$  $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n&\\x=\pi n&\\x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z&\end{bmatrix}$$

С учетом $$(1)$$: $$x=\frac{\pi n}{2};-\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z$$

Б) На промежутке $$[-\pi;-\frac{\pi}{6}]$$: $$\frac{\pi n}{2}:-\pi;-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3}+2\pi n:-\frac{\pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!