Тригонометрические уравнения

а) $$\cos 2x-\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{2}+x)+1=0$$

$$\cos^2 x-\sin^2 x+\sqrt{2}\sin x+1=0$$

$$1-\sin^2 x-\sin^ 2+\sqrt{2}\sin x+1=0$$

$$-2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin x+2=0$$

Введём замену: $$\sin x=t$$

$$-2t^2+\sqrt{2}t+2=0$$

$$D=(\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot(-2)=2+16=18$$

$$t_{1}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{18}}{-4}=\frac{-\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{-4}=\frac{2\sqrt{2}}{-4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$t_{2}=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{18}}{-4}=\frac{-\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{-4}=\frac{-4\sqrt{2}}{-4}=\sqrt{2}$$

Обратная замена:

$$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z$$

$$x=-\frac{3\pi}{4}+2pi n, n\in Z$$

и

$$\sin x=\sqrt{2}$$

корней нет, т. к. $$\sin x\in [-1;1]$$

б) Отбор корней на отрезке $$[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}]$$

$$x_1=-5\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{19\pi}{4}$$

$$x_2=-4\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{17\pi}{4}$$

$$2(1-\sin^2\frac{\pi x}{18})+5\sin\frac{\pi x}{18}+1=0$$

$$-2\sin^2\frac{\pi x}{18}+5\sin\frac{\pi x}{18}+3=0$$

$$2\sin^2\frac{\pi x}{18}-5\sin\frac{\pi x}{18}-3=0$$

$$\frac{5\pm\frac{7}{125+24}}{4}$$

$$\left[\begin{matrix} \sin\frac{\pi x}{18}=3\; н.р.\\ \sin\frac{\pi x}{18}=-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$

$$\frac{\pi x}{18}=(-1)^{k+1}\cdot\frac{\frac{1}{\pi}}{6}+\pi k$$

$$x=(-1)^{k+1}\cdot\frac{18}{6}+18k$$

$$x=(-1)^{k+1}\cdot3+18k$$

при $$k=0$$ $$x=-3$$

$$\frac{\pi(x-7)}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

$$x-7=\pm1\pm6n$$

$$\left\{\begin{matrix} x=8+6n\\ x=6+6n, n\in Z \end{matrix}\right.$$

Заметим, что значениям $$n\geq0$$ соответствуют только положительные корни, поэтому они сразу отбрасываются. Теперь последовательно переберем отрицательные значения $$n,$$ получим:

- при $$n=-1$$ имеем $$x=2$$ и $$x=0;$$

- при $$n=-2$$ имеем $$x=8-12=-4$$ и $$x=6-12=-6;$$

- при $$n\leq-3$$ корни будут убывать.

Таким образом, наибольший отрицательный корень равен $$-4.$$

$$\sin\frac{\pi(x+2)}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\left[\begin{matrix} \frac{\pi(x+2)}{6}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z\\ \frac{\pi(x+2)}{6}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x+2=2+12n,n\in Z\\ x+2=4+12n \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x=12n,n\in Z\\ x=2+12n \end{matrix}\right.$$

Пусть $$n=1$$: получим $$-12$$ и $$-10.$$ Пусть $$n=0$$: $$0$$ и $$2.$$

Тогда наибольший отрицательный $$-10$$