Тригонометрические уравнения

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) $$(1-cos2x)sin2x=\sqrt3 sin^2x$$; $$(1-(1-2sin^2x))sin2x=\sqrt3 sin^2x$$; $$2sin^2x\cdot sin2x-\sqrt3 sin^2x=0$$; $$sin^2x(2sin2x-\sqrt3)=0$$;

$$sinx=0 или sin2x=\frac{\sqrt3}{2}$$;

$$x=\pi n$$ или $$2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ или $$2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$$;

$$x=\pi n$$ или $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ или $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z$$.

б) Корни уравнения из отрезка $$[-\pi;\frac{\pi}{3}]$$:

$$-\pi;-\frac{5\pi}{6};-\frac{2\pi}{3};0;\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}$$.

а)

$$\sin^4\frac{x}{4}-\cos^4\frac{x}{4}=\cos(x-\frac{\pi}{2})$$

$$(\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4})(\sin^2\frac{x}{4}+\cos^2\frac{x}{4})=\sin x$$

$$-(\cos^2\frac{x}{4}-\sin^2\frac{x}{4})=\sin x$$

$$-\cos(2\cdot\frac{x}{4})=2\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}$$

$$-\cos\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}$$

$$\cos\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\cos\frac{x}{2}(1+2\sin\frac{x}{2})=0$$

$$\cos\frac{x}{2}=0$$ или $$1+2\sin\frac{x}{2}=0$$

Решим 1 уравнение:

$$\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z$$

$$x=\pi+2\pi n, n\in Z$$

Решим 2 уравнение:

$$1+2\sin\frac{x}{2}=0$$

$$\sin\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}$$

$$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{6}+2\pi m, m\in Z$$ и $$\frac{x}{2}=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in Z$$

$$x=-\frac{\pi}{3}+4\pi m, m\in Z$$ и $$x=-\frac{5\pi}{3}+4\pi k, k\in Z$$

б)

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

Корень $$x=-\frac{5\pi}{3}+4\pi k, k\in Z$$ не принадлежит отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\pi],$$ поэтому его можно исключить.

$$x=-\pi; -\frac{\pi}{3}; \pi$$

а)

$$2\sin^2(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{4})\cdot2\sin^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{4})=\frac{3\cdot4}{8}\cdot(\frac{1}{\sqrt{2}})^2$$

$$(1-\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}))(1-\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}))=\frac{3}{4}$$

$$(1+\sin\frac{x}{2})(1-\sin\frac{x}{2})=\frac{3}{4}$$

$$1-\sin^2\frac{x}{2}=\frac{3}{4}$$

$$\cos^\frac{x}{2}=\frac{3}{4}$$

$$\left[\begin{matrix} \cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$$

$$\frac{x}{2}=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n$$

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$$

б)

а) Решите уравнение

$$\cos 2x-\sin 2x=\cos x+\sin x+1$$

ОДЗ уравнения: R

Используя формулу косинуса двойного угла $$\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha–\sin^2 \alpha,$$ формулу синуса двойного угла $$\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha,$$ основное тригонометрическое тождество $$cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha=1,$$ преобразуем уравнение:

Используя формулу косинуса двойного угла $$\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha,$$ формулу синуса двойного угла $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,$$ основное тригонометрическое тождество $$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1,$$ преобразуем уравнение:

$$\cos^2 x-\sin^2 x-2\sin x\cos x=\cos x+\sin x+\cos^2 x+\sin^2 x$$

$$\cos^2 x-\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos x-\sin x-\cos^2 x-\sin^2 x=0$$

$$-2\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos x-\sin x=0$$

$$2\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos x+\sin x=0$$

Воспользуемся методом группировки:

$$(2\sin^2 x+2\sin x\cos x)+(\cos x+\sin x)=0$$

$$2\sin x(\sin x+\cos x)+(\sin x+\cos x)=0$$

$$(\sin x+\cos x)\cdot(2\sin x+1)=0$$

Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

$$\sin x+\cos x=0$$ или $$2\sin x+1=0$$

Решим первое уравнение:

$$\sin x+\cos x=0$$

Получили однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Так как $$\sin x$$ и $$\cos x$$ обращаются в нуль в различных точках, т. е. не могут быть одновременно равными нулю, то можно обе части уравнения разделить на $$\cos x:$$

$$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}=\frac{0}{\cos x}$$

$$\tan x+1=0$$

$$\tan x=-1$$

$$x=\arctan(-1)+\pi n,n\in Z$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z$$

Решим второе уравнение:

$$2\sin x+1=0$$

$$\sin x=-\frac{1}{2}$$

$$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi m, m\in Z$$ и $$x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in Z$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi}{2}; -\pi].$$

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

$$x=-\frac{9\pi}{4};-\frac{13\pi}{6};-\frac{5\pi}{4}$$