ЕГЭ Профиль
Задание 12296
а) Решите уравнение $${{\sin }^2 (\frac{x}{4}+\frac{\pi }{4})\ }{{\sin }^2 (\frac{x}{4}-\frac{\pi }{4})\ }=0,375{{\sin }^2 (-\frac{\pi }{4})\ }$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-3\pi ;\ \pi ]$$
Задание 12311
Задание 12331
а) Решите уравнение $$\cos 2x-\sin 2x\ =\ \cos x\ +\ \sin x\ +\ 1.$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right].$$
Задание 12351
а)
$$\cos 3x\cdot\sin 3x=\cos\frac{\pi}{3}\cdot\cos(12x+\frac{3\pi}{2})$$
ОДЗ уравнения: R
Используя формулу синуса двойного угла sin2α = 2sinα·cosα, формулу сложения cos(α + β) = cosα·cosβ — sinα·sinβ, преобразуем уравнение:
$$\frac{1}{2}\cdot2\cdot\cos 3x\cdot\sin 3x=\cos\frac{\pi}{3}\cdot(\cos 12x\cdot\cos\frac{3\pi}{2}-\sin 12x\cdot\sin\frac{3\pi}{2})$$
$$\frac{1}{2}\cdot\sin 6x=\frac{1}{2}\cdot(\cos 12x\cdot0-\sin 12x\cdot(-1))$$
$$\sin 6x=\sin 12x$$
$$\sin 6x=2\sin 6x\cdot\cos 6x$$
$$\sin 6x-2\sin 6x\cdot\cos 6x=0$$
$$\sin 6x(1-2\cos 6x)=0$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.
$$\sin 6x=0$$ или $$1-2\cos 6x=0$$
Решим первое уравнение:
$$\sin 6x=0$$
$$6x=\pi n, n\in Z$$
$$x=\frac{\pi}{6}n, n\in Z$$
Решим второе уравнение:
$$1-2\cos 6x=0$$
$$\cos 6x=\frac{1}{2}$$
$$6x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi m, m\in Z$$
$$x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{3}m, m\in Z$$
б)
Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности
Задание 12372
а)
$$\cos 2x\sin 2x\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{1}{4}\cos(8x-\frac{3\pi}{2}$$
$$\frac{1}{2}\cdot(2\sin 2x\cos 2x)\sin(\pi-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{4}\cos(\frac{3\pi}{2}-8x)$$
$$\frac{1}{2}\sin 4x\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{4}\cdot(-\sin 8x)$$
$$\frac{1}{2}\sin 4x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{4}\sin(2\cdot 4x)$$
$$\sqrt{3}\sin 4x+2\sin 4x\cos 4x=0$$
$$\sin 4x(\sqrt{3}+2\cos 4x)=0$$
$$\sin 4x=0$$
$$4x=\pi k, k\in Z$$
$$x=\frac{\pi k}{4}, k\in Z$$
$$\sqrt{3}+2\cos 4x=0$$
$$\cos 4x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$4x=\pm\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n, n\in Z$$
$$4x=\pm(\pi-\arccos\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n, n\in Z$$
$$4x=\pm(\pi-\frac{\pi}{6})+2\pi n, n\in Z$$
$$4x=\pm\frac{5}{6}+2\pi n, n\in Z$$
$$x=\pm\frac{5}{24}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z$$
б)
С помощью двойного неравенства отберём корни на отрезке $$[\frac{8\pi}{3};\frac{10\pi}{3}]$$
1) $$\frac{8\pi}{3}\leq\frac{\pi k}{4}\leq\frac{10\pi}{3}\Leftrightarrow\frac{32}{3}\leq k\leq\frac{40}{3}, k\in Z\Rightarrow k=11;12;13$$
$$k=11: x=\frac{\pi\cdot11}{4}=\frac{11\pi}{4}$$
$$k=12: x=\frac{\pi\cdot12}{4}=3\pi$$
$$k=13: x=\frac{\pi\cdot13}{4}=\frac{13\pi}{4}$$
2) $$\frac{8\pi}{3}\leq\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}\leq\frac{10\pi}{3}\Leftrightarrow\frac{64-5\pi}{24}\cdot\frac{2}{\pi}\leq k\leq\frac{80\pi-5\pi}{24}\cdot\frac{2}{\pi}\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\frac{59}{12}\leq k\leq\frac{75}{12}, k\in Z\Rightarrow k=5;6$$
$$k=5: x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi\cdot5}{2}=\frac{65\pi}{24}$$
$$k=6: x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi\cdot6}{2}=\frac{77\pi}{24}$$
3) $$\frac{8\pi}{3}\leq-\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}\leq\frac{10\pi}{3}\Leftrightarrow\frac{64+5}{12}\leq k\leq\frac{80+5}{12}, k\in Z\Rightarrow k=6;7$$
$$k=6: x=-\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi\cdot6}{2}=\frac{67\pi}{24}$$
$$k=7: x=-\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi\cdot7}{2}=\frac{79\pi}{24}$$
Задание 12392
а) Решите уравнение $$\cos 2x-\sqrt{2}{\rm \cos}(\frac{\pi }{2}+x)\ +\ 1\ =\ 0.$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi ;\ -\frac{7\pi }{2}]$$
Задание 12592
а) Решите уравнение $$\cos x+2{\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\ }=\sqrt{3}\sin 2x-1$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi ;\ -\frac{7\pi }{2}]$$