Тригонометрические уравнения

а) Упростим выражение, имеем: $$2{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+{\cos x\ }-1=0\to 2\left(1-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }\right)+{\cos x\ }-1=0\to 2{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{\cos x\ }-1=0$$

Сделаем замену $${\cos x\ }=t,\ t\in \left[-1;1\right]$$, получим: $$2t^2-t-1=0\to \left[ \begin{array}{c} t_1=1 \\ t_2=-\frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Имеем два уравнения: $$1: {\cos x\ }=1\to x=2\pi n,\ n\in Z$$ $$2: {\cos x\ }=-\frac{1}{2}\to x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z;\ x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi l,\ l\in Z$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке [$$-5\pi ;\ -4\pi $$]. Получим числа: $$-4\pi ;\ -\frac{14\pi }{3}$$.

а) $${{\sin }^{{\rm 2}} \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }={\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)\ }\cdot {\cos \left(\frac{17\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin x\ }{\cos x\ }\leftrightarrow {\cos x\ }\left({\cos x\ }-{\sin x\ }\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\cos x\ }=0 \\ {\tan x\ }=1 \end{array} \right.\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \\ x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in Z \end{array} \right..$$

б) С помощью единичной окружности отберем корни: 1) $$-\frac{\pi }{2}$$; 2) $$\frac{3\pi }{2}$$; 3) $$0+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$$; 4) $$2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$$; 5) $$\frac{\pi }{2}$$; 6) $$\frac{7\pi }{4}$$.

а) Преобразуем уравнение $$6{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+5{\sin x\ }-2=0\to 6\left(1-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\right)+5{\sin x\ }-2=0\to $$ $$\to 6{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }-5{\sin x\ }-4=0$$.

Сделаем замену $${\sin x\ }=t,t\in \left[-1;1\right]$$, получим: $$6t^2-5t-4=0$$, решаем уравнение, получаем корни $$t_1=-\frac{1}{2};\ t_2=\frac{4}{3}\in [-1;1]$$.

Подставляем синус вместо $$t$$, получаем уравнение $${\sin x\ }=-\frac{1}{2}\to x_1=-\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in Z;\ x_2=-\frac{5\pi }{6}+2\pi m,m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$$. Получим число $$-\frac{13\pi }{6}$$.

а) Упростим уравнение, получим: $$6\left(1-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }\right)+5{\cos x\ }-2=0\to 6{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-5{\cos x\ }-4=0$$.

Сделаем замену $${\cos x\ }=t,t\in [-1;1]$$, получим: $$6t^2-5t-4=0$$.

Решаем уравнение, имеем: $$D=25+96=121\to t_1=-\frac{1}{2};t_2=\frac{4}{3}\notin [-1;1]$$.

Переходя к косинусу, получаем $${\cos x\ }=-\frac{1}{2}\to x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in Z;\ x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]$$. Получаем один корень $$-\frac{14\pi }{3}$$.

а) Упростим уравнение, имеем: $$3\left({{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\right)-5{\sin x\ }+1=0\to 3\left(1-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\right)-3{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }-5{\sin x\ }+1=0\to $$ $$\to 6{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+5{\sin x\ }-4=0$$.

Делаем замену $${\sin x=t\ },\ t\in \left[-1;1\right],$$ получим: $$6t^2+5t-4=0$$.

Решаем уравнение, получаем: $$t_1=-\frac{4}{3}\notin \left[-1;1\right],\ t_2=\frac{1}{2}$$.

Переходя обратно к синусу, имеем $${\sin x\ }=\frac{1}{2}\to x_1=\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in Z;x_2=\frac{5\pi }{6}+2\pi m,m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$[\pi ;\frac{5\pi }{2}]$$. Получим число $$\frac{13\pi }{6}$$.

а) Преобразовываем уравнение, имеем: $${{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+{{sin}^{{\rm 2}} x\ }=\frac{3}{4}\to {{\sin }^{{\rm 2}} x\ }=\frac{3}{4}\to \frac{1-{\cos 2x\ }}{2}=\frac{3}{4}\to {\cos 2x\ }=-\frac{1}{2}$$.

Получаем корень уравнения $$2x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi n\to x_1=\frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z$$. $$2x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi m\to x_2=-\frac{\pi }{3}+\pi m,\ m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$$. Получим числа: $$-\frac{5\pi }{3};\ -\frac{4\pi }{3};-\frac{2\pi }{3}$$.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) $${\cos 2x\ }-\sqrt{2}{\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }-1=0\leftrightarrow 1-2{{\sin }^2 x\ }-\sqrt{2}{\sin x\ }-1=0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow {\rm -2}{\sin x\ }\left({\sin x\ }+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\sin x\ }=0 \\ {\sin x\ }=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c} x=\pi n,n\in Z \\ x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in Z \\ x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z \end{array} \right.$$.

б) С помощью единичной окружности отберем корни: $$1)\ 2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4};2\pi ;3\pi $$

а) $${\cos (x+\frac{\pi }{3})\ }\cdot {\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\ }=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \frac{1}{2}({\cos \left(x+\frac{\pi }{3}+x-\frac{\pi }{3}\right)\ }+{\cos \left(x+\frac{\pi }{3}-x+\frac{\pi }{3}\right)\ }=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow {\cos 2x\ }+{\cos \frac{2\pi }{3}\ }=-1\leftrightarrow {\cos 2x\ }=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in Z\leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z.$$

б) С помощью единичной окружности отберем корни на $$\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right].$$ $$1)-\frac{\pi }{3};\ 2)-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3};3)\ 0+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3};4)\ \pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3};5)\ \pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$$

а) Упрощаем выражение, получаем: $$4{\sin x\ }{\cos x\ }-4{\cos x\ }+3{\sin x\ }-3=0$$.

Делаем группировку, имеем: $$4{\cos x\ }\left({\sin x\ }-1\right)+3\left({\sin x\ }-1\right)=0\to \left({\sin x\ }-1\right)\left(4{\cos x\ }+3\right)=0.$$

Получаем два уравнения: $$\left\{ \begin{array}{c} {\sin x\ }=1 \\ {\cos x\ }=-\frac{3}{4} \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in Z \\ x=\pm \left(\pi -{\arccos \frac{3}{4}\ }\right)+2\pi m,\ m\in Z \end{array} \right.$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$$. Получим числа: $$\frac{5\pi }{2};\pi +{\arccos \frac{3}{4}\ }.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

б) с помощью единичной окружности отберем корни: $$1)-arctg2;2)-arctg\frac{1}{2};3)\ arctg3$$

а) Преобразуем уравнение, получим: $${{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }=\frac{1}{2}\to {{\sin }^{{\rm 2}} x\ }=\frac{1}{2}\to \frac{1-{\cos 2x\ }}{2}=\frac{1}{2}\to {\cos 2x\ }=0\to $$ $$\to 2x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z\to x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in Z.$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right].$$ Получим числа: $$-\frac{5\pi }{4};-\frac{3\pi }{4}.$$

а) Упростим выражение:$$\ \frac{7}{{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }}-\frac{1}{{\cos x\ }}-6=0.$$ ОДЗ: $${\cos x\ne 0\ },\ x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z,$$ имеем: $$7-{\cos x\ }-6{{\cos }^2 x\ }=0.$$ Делаем замену $${\cos x\ }=t,t\in \left[-1;1\right]$$, получаем: $$6t^2+t-7=0.$$

Решаем уравнение: $$t_1=1;\ t_2=-\frac{7}{6}\in \left[-1;1\right].$$ Переходя к косинусу, получаем: $${\cos x\ }=1;x=2\pi n,n\in Z.$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-3\pi ;\ -\frac{\pi }{2}\right].$$ Получим число $$-2\pi .$$

а) Преобразуем уравнение: $$2{\sin (x-\frac{\pi }{2})\ }{\cos (\frac{\pi }{2}+x)\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to $$ $$\to -2{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to 2{\sin x\ }{\cos x\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to $$ $$\to {\cos x\ }\left(2{\sin x\ }+\sqrt{3}\right)=0.$$

Имеем два уравнения: $$1) {\cos x\ }=0\to x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z$$ $$2) {\sin x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\to x_1=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in Z;x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi l,l\in Z\ $$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-6\pi ;-5\pi \right].$$ Получим число $$-\frac{11\pi }{2}.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!