Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C1) Уравнения

Тригонометрические уравнения

 

Задание 8797

а) Решите уравнение $$4\sin^{4}x+7\cos^{2}x-4=0$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi;-4\pi]$$

Ответ: а)$$\pm \frac{\pi}{3}+\pi n; \frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z$$ б)$$-\frac{14\pi}{3};-\frac{9\pi}{2};-\frac{13\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9161

а) Решите уравнение $$4\cos^{2}x+2(\sqrt{2}-1)\sin(\frac{\pi}{2}-x)-\sqrt{2}=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{\pi}{2};2\pi]$$

Ответ: А)$$\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n$$;$$\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$$ Б)$$\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4};\frac{5\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9228

а) Решите уравнение $$\cos x+2\cos(2x-\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}\sin 2x-1$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}]$$

Ответ: $$а) \frac{\pi}{2}+\pi n,\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k, n\in Z,k\in Z;$$ $$б)-\frac{14\pi}{3};-\frac{9\pi}{2};-\frac{7\pi}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9245

а) Решите уравнение $$\sin x+\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}-2x)=\cos 2x$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[4\pi;\frac{11\pi}{2}]$$

Ответ: $$а) \pi k;\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k, k\in Z;$$ $$б) 4\pi;5\pi;\frac{13\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9342

а) Решите уравнение $$\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x+\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{5x}{2}$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi}{2};-2\pi]$$

Ответ: а) $$\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n; \pi n, n\in Z$$; б) $$-\frac{9\pi }{4}; -2\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9527

а) Решите уравнение: $$\cos 4x-sin 2x=0$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[0;\pi]$$

Ответ: а)$$\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}, k\in Z$$ б)$$\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12};\frac{3\pi}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9772

Найдите наименьший положительный корень уравнения $$\cos^{4}\frac{\pi x}{4}=1+\sin^{4} \frac{\pi x}{4}$$

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9875

а) Решите уравнение $$(1+\sin \frac{\pi}{7})^{3-\cos 2x}=(\sin \frac{\pi}{14}+\cos \frac{\pi}{14})^{10\sin x}$$
б) Найдите корни этого уравнения, по абсолютной величине не превышающие $$1,5\pi$$
Ответ: а)$$\frac{\pi}{6}+2\pi n;$$$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$б)$$-\frac{7\pi}{6};\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10052

Дано уравнение $$\sin 2x+\sqrt{3}(\cos x-\sin x)=1,5$$

А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$$.
Ответ: А)$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;$$$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n;$$$$\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n, n \in Z$$ Б)$$-\frac{8\pi}{3};-\frac{7\pi}{3};-\frac{13\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

<object><embed src="https://mathlesson.ru/sites/default/files/larin/e301/pdf/e301_13_1.pdf" width="100%" height="500" /></object>

 

Задание 10278

Найдите $$x_{0}$$ ‐ наибольший отрицательный корень уравнения $$\sqrt{-3\sin x+\cos x}=\sqrt{\sin x-3\cos x}$$. В ответе укажите $$\frac{x_{0}}{\pi}$$

Ответ: -0,75
 

Задание 10382

А) Найдите корень уравнения $$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ (в градусах),
Б) Укажите корни, принадлежащий промежутку [270o;360o]
Ответ: 330
 

Задание 10440

а) Решите уравнение

$$\sin x+\cos x+\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$-\frac{\pi}{4}+\pi n, \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$$$\pi+2\pi n, n\in Z$$ Б)$$-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}$$
 

Задание 10595

а) Решите уравнение $$\left|{\cos x\ }+{\cos 3x\ }\right|=-{\cos 2x\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$$

Ответ: а)$$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\pm \frac{\pi}{3}+\pi n$$ б)$$-\frac{3\pi}{4};-\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{3};-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{3}$$
 

Задание 10655

а) Решите уравнение $${\cos 2x\ }-{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }\cdot {\cos x\ }+1={{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 3}} x\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$\left(-arctg2;\pi \right)$$

Ответ: а) $$\frac{\pi }{4}+\pi n, -arctg2+\pi n, n\in Z$$; б) $$\frac{\pi }{4}; \pi -arctg2$$
 

Задание 10731

а) Решите уравнение $${\cos 4x\ }+{\cos 2x\ }=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\pi ;\frac{\pi }{3}\right]$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$; $$x=\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in Z$$ б) $$-\frac{5\pi }{6};-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}.$$
Скрыть

а) Перепишем исходное уравнение, используя формулу: $${\cos \alpha \ }+{\cos \beta \ }=2{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\ }{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\ }$$. Получим: $$2{\cos 3x\ }{\cos x\ }=0$$

Имеем два уравнения:

$$1) {\cos 3x\ }=0\to 3x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z\to x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$

$$2) {\cos x\ }=0\to x=\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in Z$$

Множество $$\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in Z$$ является частью множества $$\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$.

б) Отбор корней сделаем с помощью двойного неравенства, получим:

$$-\pi \le \frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3}\le \frac{\pi }{3}\to -1\le \frac{1}{6}+\frac{n}{3}\le \frac{1}{3}\to -3,5\le n\le 0,5$$. (Целые n: -3,-2,-1,0)

Имеем следующие корни: $$-\frac{5\pi }{6};-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}.$$