ЕГЭ Профиль
Задание 9161
а) Решите уравнение $$4\cos^{2}x+2(\sqrt{2}-1)\sin(\frac{\pi}{2}-x)-\sqrt{2}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{\pi}{2};2\pi]$$
Задание 9342
а) Решите уравнение $$\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x+\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{5x}{2}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi}{2};-2\pi]$$
Задание 9875
Задание 10052
Дано уравнение $$\sin 2x+\sqrt{3}(\cos x-\sin x)=1,5$$
Задание 10595
а) Решите уравнение $$\left|{\cos x\ }+{\cos 3x\ }\right|=-{\cos 2x\ }$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$$
Задание 10655
а) Решите уравнение $${\cos 2x\ }-{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }\cdot {\cos x\ }+1={{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 3}} x\ }$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$\left(-arctg2;\pi \right)$$
Задание 10731
а) Решите уравнение $${\cos 4x\ }+{\cos 2x\ }=0$$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\pi ;\frac{\pi }{3}\right]$$
а) Перепишем исходное уравнение, используя формулу: $${\cos \alpha \ }+{\cos \beta \ }=2{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\ }{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\ }$$. Получим: $$2{\cos 3x\ }{\cos x\ }=0$$
Имеем два уравнения:
$$1) {\cos 3x\ }=0\to 3x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z\to x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$
$$2) {\cos x\ }=0\to x=\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in Z$$
Множество $$\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in Z$$ является частью множества $$\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$.
б) Отбор корней сделаем с помощью двойного неравенства, получим:
$$-\pi \le \frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3}\le \frac{\pi }{3}\to -1\le \frac{1}{6}+\frac{n}{3}\le \frac{1}{3}\to -3,5\le n\le 0,5$$. (Целые n: -3,-2,-1,0)
Имеем следующие корни: $$-\frac{5\pi }{6};-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}.$$