Логарифмические и показательные уравнения

а) 

ОДЗ уравнения: R

Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

$$x^2+4x-2=0$$ или $$4^{3x+1}+8{2x-1}-11)=0$$

Решим 1 уравнение:

$$x^2+4x-2=0$$

$$D=4^2-4\cdot1\cdot(-2)=24$$

$$x_{1,2}=\frac{-4\pm2\sqrt{6}}{2}$$

$$x_1=-2-\sqrt{6}$$

$$x_2=-2+\sqrt{6}$$

Решим 2 уравнение:

$$4^{3x+1}+8{2x-1}-11)=0$$

Используя свойства степеней, преобразуем  уравнение:

$$2^{2(3x+1)}+2^{3(2x-1)}-11=0$$

$$2^{6x+2}+2^{6x-3}-11=0$$

$$2^{6x}\cdot2^2+\frac{2^{6x}}{2^3}-11=0$$

$$2^{6x}\cdot(4+\frac{1}{8})=11$$

$$2^{6x}\cdot\frac{33}{8}=11$$

$$2^{6x}=\frac{8}{3}$$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$$\log_2 (2^{6x})=\log_2 \frac{8}{3}$$

В левой части уравнения показатель степени вынесем за знак логарифма, в правой части уравнения от логарифма частного переходим к разности логарифмов:

$$6x\cdot\log_2 2=\log_2 8-\log_2 3$$

$$6x=3-\log_2 3$$

$$x=\frac{3-\log_2 3}{6}$$

$$x=\frac{1}{2}-\frac{\log_2 3}{6}$$

б)

$$x=-2-\sqrt{6}\notin[-0,5;0,5]$$

$$x=-2+\sqrt{6}\in[-0,5;0,5]$$

$$x=\frac{1}{2}-\frac{\log_2 3}{6}\in[-0,5;0,5]$$