Исследование функций без помощи производной

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем производную этой функции. Представим, что

$$\sqrt[3]{(x+5)^{2}}=(x+5)^{\frac{2}{3}}$$

$$ \sqrt[3]{(x+5)^{5}}=(x+5)^{\frac{5}{3}}$$

Тогда $$f_{'}(x)=\frac{2}{3}*(x+5)^{-\frac{1}{3}}-\frac{5}{3}*(x+5)^{\frac{2}{3}}=0$$

$$0=\frac{1}{3}*(2(x+5)^{-\frac{1}{3}}-5*(x+5)^{\frac{2}{3}})$$

$$0=2(x+5)^{-\frac{1}{3}}-5*(x+5)^{\frac{2}{3}}$$ Вынесем $$(x+5)^{-\frac{1}{3}}$$ за скобки:

$$(x+5)^{-\frac{1}{3}}(2-5*(x+5))=0$$

Получаем, что x = -4.6 и x = -5. 

Если начертить координатную прямую и расставить на ней знаки производной, то увидим, что на промежутках (-∞;-5] и [-4.6;+∞) производная отрицательна, а на промежутке [-5;-4.6] - положительна. Значит x = -5 точка минимума

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$f(x)=6-\log_{2}(16x-x^{2})$$ $$x_{0}=\frac{-16}{-2}=8$$ $$f(8)=6-\log_{2}(16\cdot8-8^{2})=f(8)=6-\log_{2}64=6-6=0$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть $$2^{x}=a$$: $$y=a^{2}-8a+1$$ - это квадратичная функция, ее наименьшее значение там, где вершина параболы: $$a_{0}=-\frac{-8}{2}=4$$; $$2^{x}=4$$ $$\Rightarrow$$ $$x=2$$; $$y(2)=4^{2}-8\cdot2^{2}+1=16-32+1=-15$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

На данном отрезке второе и третье подмодульные выражения положительны, следовательно, модули раскроются не поменяв знаки: $$y=7|x-3|-2x-10-4x+3+5=7|x-3|-6x-2$$ В данном случае получаем график (выглядит как галочка) вершина которого ( в том числе и наименьшее значение) в точке x=3. Тогда наименьшее значение функции: $$y(3)=7|3-3|-2|3+5|-|4*3-3|+5=-16-9+5=-20$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Воспользуемся неравенством: $$\left | \bar{a} \right |+\left | \bar{b} \right |\geq \left | \bar{a}+\bar{b} \right |$$ Рассмотрим правило треугольника : $$AB=\left | \bar{a} \right |; BC=\left | \bar{b} \right |; AC=\left | \bar{a}+\bar{b} \right |$$. По свойству треугольника: $$AC\leq AB+BC$$ При этом Знак равно $$(\left | \bar{a} \right |+\left | \bar{b} \right |=\left | \bar{a}+\bar{b}\right |)$$ только тогда, когда $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ сонаправлены , т.е. когда $$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}$$ (где $$\bar{a}(x;y));\bar{b}(x_{2};y_{2})$$) Выделим полные квадраты под корнями: $$x^{2}-2x+2=x^{2}-2x+1+1=(x-1)^{2}+1$$ $$x^{2}-10x+29=x^{2}-10x+25+4=(x-5)^{2}+4$$ Найдем наименьшее значение: $$y=\sqrt{(x-1)^{2}+1}+\sqrt{(x-5)^{2}+4}$$ Пусть: $$\bar{a}=(1-x; 1); \bar{b}(x-5; 2)$$ (Если найти длины векторов, получим подкоренные выражения) Тогда: $$\left | \bar{a} \right |=\sqrt{(1-x)^{2}+1}=\sqrt{(x-1)^{2}+1}$$ и $$\left | \bar{b} \right |=\sqrt{(x-5)^{2}+4}$$ Каждая координата суммарного вектора, равна сумме соответствующих координат первоначальных векторов: $$\bar{a}+\bar{b} =(1-x+x-5, 1+2)=(-4 ;3)$$ Тогда его длина: $$\left | \bar{a}+\bar{b} \right |=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=5$$ В таком случае получаем: $$\left | \bar{a} \right |+\left | \bar{b} \right |\geq \left | \bar{a}+\bar{b} \right |, y(x)\geq 5$$ То есть минимальное значение данной функции равно 5.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     При x>0: $$\sqrt{4x^{4}=3x^{2}+9}>\sqrt{4x^{4}-8x^{2}+9}$$

     Пусть $$t=\frac{\sqrt{4x^{4}-3x^{2}+9}-\sqrt{4x^{4}-8x^{2}+9}}{x}=$$$$\frac{4x^{4}-3x^{2}+9-(4x^{4}-8x^{2}+9)}{x(\sqrt{4x^{4}-3x^{2}+9}+\sqrt{4x^{4}-8x^{2}+9})}=$$$$\frac{5x^{2}}{\sqrt{4x^{4}-3x^{2}+9}+\sqrt{4x^{4}-8x^{2}+9}}=$$$$\frac{5}{\sqrt{4x^{4}-\frac{9}{x^{2}}-3}+\sqrt{4x^{4}-\frac{9}{x^{2}}-8}}$$

     Учтем, что $$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$$. Пусть $$a^{2}=4x^{2}, b^{2}=\frac{9}{x^{2}}$$. Тогда: $$4x^{2}+\frac{9}{x^{2}}\geq 2\sqrt{4x^{2}*\frac{9}{x^{2}}}=2*6=12(1)$$

     Следовательно $$\sqrt{4x^{4}-\frac{9}{x^{2}}-3}+\sqrt{4x^{4}-\frac{9}{x^{2}}-8}(2)$$ минимальна при выполнении (1):

$$\sqrt{12-3}+\sqrt{12-8}=3+2=5$$. Чем меньше (2), тем больше t и тем меньше: $$\log_{0,5}t\Rightarrow \log_{0,5}\frac{5}{5}=\log_{0,5}1=0$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

На промежутке [1;6] x+5>0 4x-3>0, тогда: $$y=7\left | x-3 \right |-2x-10-4x+3+5=$$$$7\left | x-3 \right |-6x-2$$

Вершина полученного графика будет находиться в точке, где подмодульное выражение равно 0, то есть $$x=3\Rightarrow$$ $$y_{min}=y(3)$$

$$y(3)=7\left | 3-3 \right |-6*3-2=-20$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Пусть $$\bar{a}: (2x-1; 3y-1);\bar{b}: (3y-2x ; -3y)$$

     Из неравенства $$\left | \bar{a} \right |+\left | \bar{b} \right |\geq \left | \bar{a}+\bar{b} \right |$$, и учитывая , что $$\bar{a}+\bar{b}:(2x-1+3y-2x;3y-1-3y)=(3y-1;-1)$$, и $$z=\left | \bar{a} \right |+\left | \bar{b} \right |$$ получим : $$z\geq \left | \bar{a}+\bar{b} \right |=\sqrt{(3y-1)^{2}+(-1)^{2}}$$

     Рассмотрим $$(3y-1)^{2}+(-1)^{2}=g$$ .Т.к. $$(3y-1)^{2}\geq 0$$ при любом y,  $$g\rightarrow min$$, только тогда, когда $$3y-1\rightarrow 0$$, следовательно, $$g_{min}=1$$. Т.е. $$z\geq \sqrt{1}=1$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Раскроем модули :

1) $$x \in (-\infty ;-1]\Rightarrow$$ $$y=x^{2}-x-x-1=x^{2}-2x-1$$

2) $$x \in (-1,0]\cup [1;+\infty )\Rightarrow$$ $$y=x^{2}-x+x+1=x^{2}+1$$

3) $$x \in (0;1)\Rightarrow$$ $$y=-x^{2}+x+x+1=-x^{2}+2x+1$$

Следовательно , $$y _{min}=1$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Рассмотрим выражение по частям : Пусть $$f(x)=x^{2}-x$$; $$g(y)=y^{2}-y$$ (функции одинаковы, следовательно, минимальные значения будут так же одинаковы) $$f_{min}=f(x_{0}); x_{0}=-\frac{-1}{2}=0,5$$$$\Rightarrow$$ $$f(x_{0})=0,5^{2}-0,5=-0,25$$ $$g(y_{0})=0,5^{2}=0,5=-0,25$$$$\Rightarrow$$ $$f_{min}+g_{min}=-0,25-0,25=-0,5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$f(x)=4^{x}-2^{x+4}+100=2^{2x}-16*2^{x}+100$$ Пусть $$2^{x}=y>0$$, тогда $$f(y)=y^{2}-16y+100$$ - график парабола, ветви направлены вверх: Найдем вершину параболы (в ней будет $$f_{min}(y)$$ при y>0): $$y_{0}=-\frac{-16}{2}=8\Rightarrow$$ $$f(18)=8^{2}-16*8+100=36$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!