Исследование тригонометрических функций

Скрыть

Найдем критические точки:

$$y'=0​$$

​$$12\cos x−6\sqrt{3}=0$$​

$$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$​

$$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n$$​

Под отрезок попадает только $$x=\frac{\pi}{6}$$​

Проверкой методом интервалов эта точка и является точкой максимума

$$​y(\frac{\pi}{6})=12$$

Скрыть Найдем критические точки

$$​y'=0​$$

$$\frac{3}{\pi}\cdot\frac{24\cos^2 x-5}{\cos^2 x}$$

$$\cos x=-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{24}}​$$ точно нам не подходит, т.к. решение не будет в нужном отрезке

$$\cos x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{24}}​$$​ – тоже скорее всего не подходит, разберемся почему

$$\sqrt{\frac{5}{24}}=\frac{\sqrt{30}}{12}<\frac{6}{12}<\frac{1}{2}$$

$$\cos\frac{\pi}{3}=0,5$$

Т.е. получаем, что точки из решения ​$$\cos x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{24}}$$ тоже не попадут в отрезок

Значит, осталось проверить только граничные точки.

$$y(\frac{\pi}{3})=\frac{15\sqrt{3}}{\pi}+\frac{3}{\pi}(24\cdot\frac{\pi}{3}-5\tg\frac{\pi}{3})=\frac{15\sqrt{3}}{\pi}+24-\frac{15\sqrt{3}}{\pi}=24.$$

Скрыть

Найдём критические точки​ $$y'=0​$$

$$​\frac{3}{π}\cdot\cos x−\frac{3x−π}{π}\cdot\sin x−\frac{3}{π}\cos x=0​$$

$$−\frac{3x−π}{π}\cdot\sin x=0$$​

$$\sin x=0​​x=πn​$$

$$​x=\frac{π}{3}$$​

Так как отрезок $$[0;2\pi]$$, то подозрительные точки:

​$$x=0,\frac{π}{3},π,2π​$$

Проверяем все.

$$​y(2π)=26​$$

Скрыть

$$y=\frac{2\sin x\cos x}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x+\cos x)​}$$

Можно искать производную и точки экстремума, но это сложно.

Наименьшее значение будет когда знаменатель будет максимальным. Знаменатель будет максимальным в точке ​$$π/4$$​. Но на концах отрезка функция обращается в ноль

Значит, ​$$y(π2||0)=0$$

Скрыть

Найдем критические точки.

$$\frac{7}{π}+\frac{4}{3}\sin x=0$$​

$$\sin x=-\frac{21}{4}π$$ - нет решений, т.к. область значений синуса [-1;1].

Значит, наименьшее значение достигается на границах.

В $$​x=-\frac{2π}{3}$$​ – будет достигаться наименьшее значения.

$$​y(-\frac{2π}{3})=−7$$

Скрыть

Найдем критические точки:

$$​y'=0​$$

$$​−4\cos x\cdot\sin x=0​$$

$$​−\sin2x=0​$$

$$​x=\frac{πn}{2}$$​

Очевидно, что наиб значение будет при ​$$x=2π,4π,..​,$$ т.к. косинус будет равен 1.

$$y(2\pi)=\frac{1}{2}(1+4)=2,5$$

Скрыть

Найдем критические точки:

$$y'=−3\sin x+\frac{12}{π}=0​$$

$$\sin x=\frac{4}{π}​>1$$ - тут нет решения, т.к. множество значений синуса $$[-1;1]$$

Значит, наибольшее значение будет достигаться на концах отрезка.

Наибольшее значение будет в точке 0.

$$​y(0)=0$$

Скрыть

Найдем критические точки функции

$$y'=0$$​

$$-2\cdot\cos x-(1-2x)\cdot\sin x+2\cos x=0$$​

$$\sin x=0​$$

$$​x=0,5​$$

$$​x=πn​$$

$$​x=0,5​$$

Вспоминаем про промежуток, т.к. ​$$n$$​ - целое, то нам ничего не подходит

$$​x=0,5$$ – точка минимума (это можно проверить с помощью метода интервалов)

Скрыть

Найдем критические точки:

​$$y'=0$$​

Так как требуется искать наибольшее значение функции, то можно искать точку максимума у аргумента этого синуса, т.е. мы себе упрощаем вычисления. Но можно еще упростить, максимум будет тогда, когда знаменатель будет минимален, найдем эту точку.

​$$12x^3-12x^2=0​$$

$$​12x^2(x-1)=0​$$

$$​x=0$$ ​- здесь нет экстремума

$$​x=1​$$

По методу интервалов $$​x=1$$​ – точка максимума

$$​y(1)=\sin^2\frac{4π}{12}=0,75$$

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть