Исследование тригонометрических функций

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем критические точки $$​y′=0​$$

​$$3\pi\cdot\cos x−\frac{3x-\pi}{\pi}\cdot\sin x−\frac{3}{\pi}\cos x=0$$​

$$​-\frac{3x-\pi}{\pi}\cdot\sin x=0​$$

$$\sin x=0$$​ $$x=\pi n​$$

​$$x=\frac{\pi}{3}$$

Так как отрезок $$[0;2\pi],$$ то подозрительные точки:

​$$x=0,\frac{\pi}{3},\pi,2\pi​$$

Проверяем все

$$​y(2\pi)=26​$$

$$y' = (2x – 3)'·\cos x + (2x – 3)·(\cos x)' – (2\sin x)´$$

$$y' = 2\cos x – (2x – 3)\sin x – 2\cos x = – (2x – 3)\sin x$$

$$y' = – (2x – 3)\sin x$$

$$y' = 0$$

$$– (2x – 3)\sin x = 0$$

$$(3 – 2x)\sin x = 0$$

$$3 – 2x = 0$$    и    $$\sin x = 0$$

Решим 1 уравнение:

$$3 – 2x = 0$$

$$x = \frac{3}{2}$$

$$x = 1,5$$

Решим 2 уравнение:

$$\sin x = 0$$

$$x = 0$$ не принадлежит промежутку $$(0;\frac{\pi}{2})$$

Отметим точку $$x = 1,5$$ на числовой прямой, учитывая промежуток $$(0;\frac{\pi}{2})$$ и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке $$x = 1,5$$ производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это искомая точка максимума.

$$y=\frac{2\sin x\cos x}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x)}=\frac{4}{\sqrt{2}\cdot\frac{\sin x}{1+\tg x}}​$$

​$$y'=\frac{\cos x(1+\tg x)−\sin x\frac{1}{\cos^2x}}{(1+\tg x)^2}=0​$$

$$\cos x(1+\tg x)-\sin x\frac{1}{\cos^2 x}$$

$$\cos x(1+\tg x)-\sin x(1+\tg^2 x)=0$$

$$\cos x(1+\tg x)=\sin x(1+\tg^2 x)$$

$$​1+\tg x=\tg x(1+tg^2x)​$$

​$$1+\tg x=\tg x+\tg^3x​$$

$$\tg^3x=1​$$

​$$\tg x=1​$$

​$$x=\frac{\pi}{4}$$ – точка экстремума

$$​y(0)=0​$$

$$​y(\frac{\pi}{4})=1​$$

$$​y(\frac{\pi}{2})=0$$

$$f'(x)=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{\cos^2x}$$

Так как $$\cos^2x\in[0;1],$$ то $$\frac{\sqrt{3}}{\cos^2x}\geq1.$$

$$\Rightarrow f'(x)\geq0\Rightarrow f(x)$$ возрастает на всём $$D(f)$$

$$\Rightarrow f_{min}=f(-\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}\cdot(-\frac{\pi}{3})-\sqrt{3}\ctg(-\frac{\pi}{3})+\frac{\pi\sqrt{3}}{3}=-\sqrt{3}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{3})=1$$

$$y'=6+6\sin2x$$

$$6\sin2x=-6$$

$$\sin2x=-1$$

$$x=0,75 $$

$$y(\frac{\pi}{2})=\frac{6\pi}{2}-3\cos\frac{2\pi}{2}-3\pi=3$$

$$y(\frac{3\pi}{2})=6\pi-3\cos3\pi-3\pi=3\pi+3$$

$$min=3$$

Найдём критические точки:

$$​y'=6-3\cos x​$$

$$6-3\cos x=0$$​

$$\cos x=2$$ - нет решений, т.к. множество значений косинуса $$[-1;1]$$

Значит наименьшее значение будет достигаться на отрезке

$$y(\frac{5\pi}{6})=-1,5$$​ – наименьшее значение