Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Наибольшее и наименьшее значение функций

Исследование тригонометрических функций

 

Задание 7729

Найдите наибольшее значение функции $$y=\sin (2x+\frac{\pi}{6})$$ на промежутке $$[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$$ .

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7780

Найдите точку максимума функции $$y=(1-2x)\sin 2x-\cos 2x$$ , принадлежащую интервалу $$(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4})$$

Ответ: 0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7892

Найдите наибольшее значение функции $$y=14\sqrt{2}\sin x-14x+3,5\pi+3$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8266

Найдите наибольшее значение функции $$y=\log_{2}(\sin x-\cos x)$$, на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$
Ответ: 0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Функция логарифма, при основании больше единицы, возрастает, следовательно, наибольшее значение она будет принимать при наибольшем значение логарифмируемой функции $$f(x)=\sin x-\cos x$$

Найдем производную и приравняем ее к нулю: $$f'(x)=\cos x+\sin x=0| :\cos x\Leftrightarrow$$$$1+tg x=0\Leftrightarrow$$$$tg x=-1\Leftrightarrow$$$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z$$

При этом из множества этих точек на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$ располагается $$\frac{3\pi}{4}$$, которая является точкой максимума. Тогда $$y(max)=y(\frac{3\pi}{4})=\log_{2}(\sin \frac{3\pi}{4}-\cos \frac{3\pi}{4})=$$$$\log_{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=$$$$\log_{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2}=0,5$$

 

Задание 8285

Найдите наименьшее значение функции $$y=3\cos x-\frac{48}{\pi}x+19$$ на отрезке $$[-\frac{2\pi}{3};0]$$

Ответ: 22
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8891

Найдите наименьшее значение функции $$y=-9-8\sqrt{3}\pi+24\sqrt{3}x-48\sqrt{3}\sin x$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: -81
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8911

Найдите точку минимума функции $$y=(3-2x)\cos x+2\sin x+4$$, принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi}{2})$$

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9526

Найдите наименьшее значение функции $$y=6+\frac{\sqrt{3}\pi}{2}-3\sqrt{3}x-6\sqrt{3}\cos x$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10051

Найдите точку максимума функции $$y=(6-4x)\cos x+4\sin x+4$$, принадлежащую промежутку $$(-\frac{\pi}{2};\pi)$$.

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10113

Найдите наименьшее значение функции $$y=\cos x-16x+9$$ на отрезке $$[-\frac{3\pi}{2};0]$$

Ответ: 11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10166

Найдите точку минимума функции $$y=(x-0,5)\cdot \sin x+\cos x$$ на промежутке $$(0;\frac{\pi}{2})$$

Ответ: 0,5
 

Задание 10634

Найдите наименьшее значение функции $$y=4x-\frac{8\sqrt{3}}{3}{\sin x\ }+2+\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{2\pi }{3}$$ на отрезке $$\left[0;\pi \right]$$.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Найдем производную: $$y'={\left(4x\right)}'-\frac{8\sqrt{3}}{3}{\left({\sin x\ }\right)}'=4-\frac{8\sqrt{3}}{3}{\cos x\ }=0\to {\cos x\ }=\frac{4\cdot 3}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\to$$ $$\to x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,\ n\in Z.$$ На $$\left[0;\pi \right]$$ имеем $$x=\frac{\pi }{6}$$. При этом это точка минимума $$\to y\left(\frac{\pi }{6}\right)=4\cdot \frac{\pi }{6}-\frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{1}{2}+2+\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{2\pi }{3}=2$$ - наименьшее значение.
 

Задание 10839

Найдите наибольшее значение функции $$y=27x+25{\cos x\ }-14$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi }{2};0\right]$$.

Ответ: 11
Скрыть

Вычислим производную от функции y, получим: $$y'=27-25{\sin x\ }$$. В точках экстремума производная равна нулю, т.е. $$25{\sin x\ }=27\to {\sin x\ }=\frac{27}{25}\notin [-1;1]$$ следовательно, максимальное и минимальное значение функции находятся на границах диапазона $$\left[-\frac{\pi }{2};0\right]$$.

Вычислим значение функции в этих точках, получим: $$y\left(-\frac{\pi }{2}\right)=27\cdot \left(-\frac{\pi }{2}\right)+25{\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)\ }-14$$ данное значение не может быть выражено конечной десятичной дробью, а значит не является ответом в ЕГЭ;

$$y\left(0\right)=27\cdot 0+25{\cos 0\ }-14=11$$ точка максимума функции на отрезке.

 

Задание 10858

Найдите наибольшее значение функции $$y=20{\tan x\ }-20x+5\pi -6$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$$

Ответ: 14
Скрыть

Вычислим производную, получим: $$y'=\frac{20}{{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }}-20$$.

Приравняем производную нулю для поиска точек экстремума функции, получим уравнение $$\frac{20}{{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }}=20\to {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }=1$$ откуда имеем $${\cos x\ }=1\to x=0\in \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$$ и $${\cos x\ }=-1\to x=\pi \notin \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$$.

Дополнительно нужно оценить значение функции в граничных точках диапазона $$y\left(-\frac{\pi }{4}\right)=20{\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)\ }-20\left(-\frac{\pi }{4}\right)+5\pi -6$$ и $$y\left(0\right)=20{\tan \left(0\right)\ }+5\pi -6$$ данные значения не могут быть выражены конечными десятичными дробями, а значит не являются ответами в ЕГЭ; $$y\left(\frac{\pi }{4}\right)=14$$ - точка максимума.

 

Задание 10934

Найдите точку максимума функции $$y=\left(5x-6\right){\cos x\ }-5{\sin x\ }-8$$, принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi }{2})$$

Ответ: 1,2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Найдем производную $$y'=(5x-6)' {\cos x\ }+(5x-6)({\cos x\ })'-5{\cos x\ }\to $$ $$\to 5{\cos x\ }-5x{\sin x\ }+6{\sin x\ }-5{\cos x\ }=0\to {\sin x\ }\left(6-5x\right)=0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\sin x\ }=0 \\ 6-5x=0 \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} x=\pi n,n\in Z \\ x=1,2 \end{array} \right.\right.$$. На $$(0;\frac{\pi }{2})$$ точка максимума $$x=1,2$$