ЕГЭ Профиль
Задание 8266
Функция логарифма, при основании больше единицы, возрастает, следовательно, наибольшее значение она будет принимать при наибольшем значение логарифмируемой функции $$f(x)=\sin x-\cos x$$
Найдем производную и приравняем ее к нулю: $$f'(x)=\cos x+\sin x=0| :\cos x\Leftrightarrow$$$$1+tg x=0\Leftrightarrow$$$$tg x=-1\Leftrightarrow$$$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z$$
При этом из множества этих точек на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$ располагается $$\frac{3\pi}{4}$$, которая является точкой максимума. Тогда $$y(max)=y(\frac{3\pi}{4})=\log_{2}(\sin \frac{3\pi}{4}-\cos \frac{3\pi}{4})=$$$$\log_{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=$$$$\log_{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2}=0,5$$
Задание 10634
Найдите наименьшее значение функции $$y=4x-\frac{8\sqrt{3}}{3}{\sin x\ }+2+\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{2\pi }{3}$$ на отрезке $$\left[0;\pi \right]$$.
Задание 10839
Найдите наибольшее значение функции $$y=27x+25{\cos x\ }-14$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi }{2};0\right]$$.
Вычислим производную от функции y, получим: $$y'=27-25{\sin x\ }$$. В точках экстремума производная равна нулю, т.е. $$25{\sin x\ }=27\to {\sin x\ }=\frac{27}{25}\notin [-1;1]$$ следовательно, максимальное и минимальное значение функции находятся на границах диапазона $$\left[-\frac{\pi }{2};0\right]$$.
Вычислим значение функции в этих точках, получим: $$y\left(-\frac{\pi }{2}\right)=27\cdot \left(-\frac{\pi }{2}\right)+25{\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)\ }-14$$ данное значение не может быть выражено конечной десятичной дробью, а значит не является ответом в ЕГЭ;
$$y\left(0\right)=27\cdot 0+25{\cos 0\ }-14=11$$ точка максимума функции на отрезке.
Задание 10858
Найдите наибольшее значение функции $$y=20{\tan x\ }-20x+5\pi -6$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$$
Вычислим производную, получим: $$y'=\frac{20}{{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }}-20$$.
Приравняем производную нулю для поиска точек экстремума функции, получим уравнение $$\frac{20}{{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }}=20\to {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }=1$$ откуда имеем $${\cos x\ }=1\to x=0\in \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$$ и $${\cos x\ }=-1\to x=\pi \notin \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$$.
Дополнительно нужно оценить значение функции в граничных точках диапазона $$y\left(-\frac{\pi }{4}\right)=20{\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)\ }-20\left(-\frac{\pi }{4}\right)+5\pi -6$$ и $$y\left(0\right)=20{\tan \left(0\right)\ }+5\pi -6$$ данные значения не могут быть выражены конечными десятичными дробями, а значит не являются ответами в ЕГЭ; $$y\left(\frac{\pi }{4}\right)=14$$ - точка максимума.
Задание 10934
Найдите точку максимума функции $$y=\left(5x-6\right){\cos x\ }-5{\sin x\ }-8$$, принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi }{2})$$