Исследование частных и произведений

Скрыть

Найдем критические точки:

$$​\frac{1}{2\sqrt{x}}(6−\sqrt{x})+\sqrt{x}(−\frac{1}{2\sqrt{x}})=0​$$

$$​x=9$$​ – т максимума по методу интервалов

$$​f(9)=−27​$$

Скрыть

Найдем критические точки: ​$$(2x−8)e^{2−x}−(x^2−8x+8)e^{2−x}=0​$$

$$​e^{2−x}(2x−8−x^2+8x−8)=0​$$

$$​e^{2−x}\neq0​$$

​$$−x^2+10x−16=0​$$

$$​x=2$$ -​ точка минимума

$$​x=8​$$ - точка максимума

$$​y(2)=−4$$

Скрыть

$$((17-6\sqrt{x})e^{1-x})'=(17-6\sqrt{x})'e^{1-x}+(e^{1-x})'(17-6\sqrt{x})=$$

$$=-\frac{6}{2\sqrt{x}}e^{1-x}-e^{1-x}(17-16\sqrt{x})=-e^{1-x}(\frac{3}{\sqrt{x}})+17-6\sqrt{x})$$

Пусть $$\frac{3}{\sqrt{x}}+17-6\sqrt{x}=0.$$ Пусть $$\sqrt{x}=a>0:$$

$$\frac{3}{a}+17-6a=0\Rightarrow \frac{-6a^2+17a+3}{a}=0$$

$$D=289+72=361$$

$$a_1=\frac{-17+91}{-12}=-\frac{1}{6};\quad a_2=\frac{-17-91}{-12}=3.$$

Получим: $$\sqrt{x}=3\Rightarrow x=9.$$

При $$x=4: \frac{3}{2}+17-6\cdot2>0.$$ С учётом с $$-e^{1-x}$$ получим отрицательное значение y'.

При $$x=16: \frac{3}{4}+17-6\cdot4<0\Rightarrow y'>0.$$ Т.е. $$x=9$$ - точка минимума.

Скрыть Найдем критические точки $$f'(x)=0$$​

$$​f(x)=x+\frac{4}{x^2}​$$

$$f'(x)=1−\frac{8}{x^3}$$

$$​x=2$$​ – точка минимума по методу интервалов

​$$x=0$$

Скрыть Найдём критические точки:

$$f​'(x)=0​$$

​$$8x^7e^{5x+8}+x^8\cdot5e^{5x+6}=0​$$

$$​e^{5x+6}\cdot x^7(8+5x)=0​$$

Т.к ​$$e^x>0$$​ всегда

Получаем ​$$x=0​$$

$$​x=−\frac{8}{5}=-1,6$$​ – точка максимума

Скрыть

Найдём критические точки​ $$y'=0​$$

$$​\frac{3}{π}\cdot\cos x−\frac{3x−π}{π}\cdot\sin x−\frac{3}{π}\cos x=0​$$

$$−\frac{3x−π}{π}\cdot\sin x=0$$​

$$\sin x=0​​x=πn​$$

$$​x=\frac{π}{3}$$​

Так как отрезок $$[0;2\pi]$$, то подозрительные точки:

​$$x=0,\frac{π}{3},π,2π​$$

Проверяем все.

$$​y(2π)=26​$$

Скрыть

Пусть $$t=\frac{5x^2+2}{3x^2+20}​$$

$$f(t)=t+\frac{1}{t}$$​

​$$f'(t)=1−\frac{1}{t^2}$$​

Найдем критические точки:

$$f'(t)=0$$​

$$\frac{t^2−1}{t^2}=0​$$

$$​t=−1$$​ – точка максимума

$$​t=1​$$ – точка минимума

$$​t=0​$$

$$​y(1)=2$$

Скрыть

Перепишем функцию

$$y=x−6+\frac{36}{x}​$$

$$y'=1−\frac{36}{x^2}​$$

Найдем подозрительные точки:

$$y'=0​$$

​$$x=−6$$​ – не входит в отрезок

$$x=6​$$

По методу интервалов $$x=-6$$ – max, $$x=6$$ – min

$$y(6)=6-6+6=6$$

Скрыть

$$y'=\frac{3\cdot(2x+5)}{(x^2+5x+7)^2}=0​$$

$$​x=−2,5$$​ – точка максимума по методу интервалов

$$y(-2,5)=4$$

Скрыть

$$y'=(4\cdot(x^2+16)^{-\frac{1}{2}})'=4\cdot(-\frac{1}{2})(x^2+16)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x=0$$

$$\frac{-4x}{\sqrt[2]{(x^2+16)^3}}=0\Rightarrow x=0$$ - точка максимума.

$$y(\pm3)=\frac{4}{\sqrt{9+16}}=\frac{4}{5}=0,8$$

Скрыть

$$y=\frac{2\sin x\cos x}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x+\cos x)​}$$

Можно искать производную и точки экстремума, но это сложно.

Наименьшее значение будет когда знаменатель будет максимальным. Знаменатель будет максимальным в точке ​$$π/4$$​. Но на концах отрезка функция обращается в ноль

Значит, ​$$y(π2||0)=0$$

Скрыть

Ограничения $$​x<2$$​ и $$​x>−4​$$

$$​y=\frac{2−x}{x+4}+6x$$​

Найдем критические точки

​$$y'=\frac{-(x+4)-(2-x)}{(x+4)^2}+6=0​$$

$$\frac{​(x+4)^2-1}{(x+4)^2}$$​

$$​x=-5​$$

$$​x=-4​$$

$$​x=3​$$

По методу интервалов ​$$x=-3​$$ – точка минимума (не забываем про ограничения)

Скрыть

Найдем критические точки:

$$y'=-\sqrt{x+13}-\frac{x-14}{2\sqrt{x+13}}=0$$​

$$\frac{​2x+26+x-14}{2\sqrt{x+13}}=0​$$

​$$x=−4​$$

​$$x=−13​$$

По методу интервалов:

$$​x=−4​$$ – точка максимума

$$​y(−4)=59$$

Скрыть

Найдём критические точки:

$$​y'=0​$$

$$​(2x-28)e^{2-x}+(x^2-28x+28)\cdot(-1)\cdot e^{2-x}=0​$$

​$$e^{2-x}>0$$​ – не может быть равна 0, как показательная функция

$$​2x-28-x^2+28x-28=0​$$

$$-x^2+30x-56=0​$$

$$​x=2​$$

$$​x=28​$$

По методу интервалов $$​x=28$$​ – точка максимума

Скрыть

Скрыть