Исследование частных и произведений

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдём производную функции:

$$y'=((x+4)^2)'(x+1)+(x+4)^2(x+1)'=$$

$$=2(x+4)(x+1)(x+4)'+(x+4)^2=2(x+4)(x+1)+(x+4)^2=$$

$$=2x^2+2x+8x+8+x^2+8x+16=3x^2+18x+24$$

Найдём нули производной: $$3x^2+18x+24=0$$

С помощью дискриминанта находим корни уравнения:

$$x_1=-4$$

$$x_2=-2$$

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка минимума: $$x=-2$$

$$y=−x−\frac{196}{x}​ (x\neq0)$$

$$​y′=0​$$

$$​−1+\frac{196}{x^2}=0​$$

$$​x=14​$$

$$​x=−14​$$

По методу интервалов $$​x=14​$$ – т. максимума

$$y'=e^{7-x}-e^{7-x}\cdot(x-6)=e^{7-x}\cdot(1-x+6)=e^{7-x}\cdot(7-x)=0,$$  так как $$e^{7-x}\neq0,$$ то $$7-x=0\Leftrightarrow x=7.$$

На промежутке $$(-\infty;7) y'>0$$ и функция возрастает, на промежутке $$(7;+\infty) y'<0$$ и функция убывает. Значит, наибольшее значения будет в точке $$х=7,$$ которая принадлежит данному отрезку. Найдем это значение:

$$y(7)=(7-6)*e^{7-7}=1 $$

$$y=x\sqrt{x}-6x+11$$

Найдём производную функции:

$$y'=x'\cdot\sqrt{x}+x\cdot\sqrt{x}'-6=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}-6$$

Найдём нули производной:

$$\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}-6-0$$

$$\frac{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}+x}{2\sqrt{x}}=6$$

$$\frac{2x+x}{2\sqrt{x}}=6$$

$$\frac{3x}{2\sqrt{x}}=6$$

$$2\sqrt{x}\cdot6=3x\cdot1$$

$$12\sqrt{x}=3x$$

$$4\sqrt{x}=x$$

$$16x=x^2$$

$$16x-x^2=0$$

$$x\cdot(16-x)=0$$

$$x_1\neq0$$ (знаменатель не может быть равен 0)

$$x_2=16$$

Определим знаки производной и изобразим поведение функции:

Точка минимума $$x=16,$$ там и будет наименьшее значение функции:

$$y(16)=16\sqrt{16}-6\cdot16+11=16\cdot4-96+11=-21$$

$$y=(x+8)^2\cdot е^{-x-3}$$

Найдём производную функции:

$$y'=((x+8)^2)'\cdot е^{-x-3}+(x+8)^2\cdot(e^{-x-3})'=2(x+8)\cdot e^{-x-3}+(x+8)^2\cdot(-e^{-x-3})=$$ $$=e^{-x-3}\cdot(2(x+8)-(x+8)^2)=e^{-x-3}\cdot(-x^2-14x-48)$$ 

Найдём нули производной:

$$e^{-x-3}\cdot(-x^2-14x-48)=0$$

$$e^{-x-3}>0$$ всегда

$$-x^2-14x-48=0$$

$$x^2+14+48=0$$

Через дискриминант находим корни уравнения:

$$x_1=-8$$

$$x_2=-6$$

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка минимума: $$x=-8.$$

$$y=(4x-3)^2\cdot(x+6)-9$$

$$y'=2(4x-3)\cdot4\cdot(x+6)+(4x-3)^2$$

$$y'=(4x-3)\cdot(8x+48+4x-3)$$

$$y'=(4x-3)\cdot(12x+45)$$

$$y'=12(4x-3)(x+\frac{15}{4})$$

$$x_{max}=-\frac{15}{4}$$ и $$x_{min}=\frac{3}{4}$$

$$y(-\frac{15}{4})=(\frac{4\cdot(-15)}{4}-3)^2(-\frac{15}{4}+6)-9=289\cdot\frac{9}{4}-9=\frac{289\cdot9-4\cdot9}{4}=\frac{9\cdot285}{4}$$

$$y(3)=81\cdot9-9=720$$

Найдем критические точки $$​y′=0​$$

​$$3\pi\cdot\cos x−\frac{3x-\pi}{\pi}\cdot\sin x−\frac{3}{\pi}\cos x=0$$​

$$​-\frac{3x-\pi}{\pi}\cdot\sin x=0​$$

$$\sin x=0$$​ $$x=\pi n​$$

​$$x=\frac{\pi}{3}$$

Так как отрезок $$[0;2\pi],$$ то подозрительные точки:

​$$x=0,\frac{\pi}{3},\pi,2\pi​$$

Проверяем все

$$​y(2\pi)=26​$$

$$y=−x−\frac{196}{x}$$​ $$(x≠0)$$

$$​y′=0​$$

$$​−1+\frac{196}{x^2}=0​$$

$$\frac{196}{x^2}=1$$

$$x^2=196$$

​$$x=\pm\sqrt{196}=\pm14​$$

$$x_{max}=14$$

$$y=(2x^2-30x+30)e^{x+30}$$

$$y'=(4x-30)e^{x+30}+(2xx^2-30x+30)e^{x+30}$$

$$y'=e^{x+30}(4x-30+2x^2-30x+30)$$

$$y'=e^{x+30}(2x^2-26x)$$

$$e^{x+30}\neq0;$$ $$e^{x+10}>0$$

Найдём нули производной:

$$2x^2-26x=0$$

$$2x(x-13)=0$$

$$2x=0$$ и $$x-13=0$$

$$x=0$$ и $$x=13$$

____+________-_______+

_________о_________о_______у^/

________0________13

$$x=0$$ - точка максимума

$$f'(x)=\frac{-5\cdot(x-2)-(14-5x)\cdot1}{(x-2)^2}=\frac{-5x+10-14+5x}{(x-2)^2}=\frac{-4}{(x-2)^2}$$

$$\frac{-4}{(x-2)^2}=0$$

$$x\notin\varnothing\Rightarrow$$ нет точек экстремума.

Значит, функция достигает max и min либо в -3, либо в 1

$$f(-3)=\frac{14-5\cdot(-3)}{-3-2}=\frac{14+15}{-5}=\frac{29}{-5}=-5,8$$

$$f(1)=\frac{14-5}{1-2}=-9$$

$$f(1)<f(-3)\Rightarrow -9$$ - наименьшее значение

$$1)$$ $$x\in R$$

$$2)$$ $$y'=-\frac{1(x^2+225)-2x\cdot x}{(x^2+225)^2}=-\frac{225-x^2}{(x^2+225)^2}=\frac{x^2-225}{(x^2+225)^2}$$

$$3)$$ $$\frac{x^2-225}{(x^2+225)^2}=0\Leftrightarrow x^2-225=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x=15\\ x=-15 \end{matrix}\right.$$

$$x_{min}=15$$

$$y=x^2\cdot e^x\Rightarrow y'=(x^2)'e^x+(e^x)'x^2=2xe^x+e^xx^2=e^xx(2+x)=0$$

$$\left[\begin{matrix} x=0\\ 2+x=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x=0\\ x=-2 \end{matrix}\right.$$

$$y'(-3)=e^{-3}\cdot(-3)(2-3)>0$$

$$y'(-1)=e^{-1}\cdot(-1)(2-1)<0$$

$$y'(1)=e^{1}\cdot1\cdot(2+1)>0$$

Тогда $$x=-2$$ - точка максимума

$$​y′=\frac{−x^2+10x+144}{(x^2+144)^2}=0​$$

$$​x=18$$​ – т. максимума

$$​x=−8​$$ – т. минимума