ЕГЭ Профиль
Задание 1179
Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?
Пусть x - скорость мотоциклиста, а у - скорость велосипедиста. Пусть расстояние равно 1, минуты представим в виде часа (48/60) тогда: $$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{y}-\frac{1}{x}=3 \\ \frac{1}{x+y}=\frac{48}{60}=\frac{4}{5} \end{matrix}\right.$$
Выразим во втором x через у:$$ x = \frac{5-4y}{4}$$ и поставим в первое: $$\frac{1}{y}-\frac{1}{\frac{5-4y}{4}}=3$$
$$\frac{1}{y}-\frac{4}{5-4y}=3$$
Приведем к общему знаменателю и найдем y: $$5-4y-4y=15y-12y^{2}$$ $$12y^{2}-23y+5=0$$
$$y_{1}=\frac{1}{4} ; y_{2}=\frac{5}{3} $$
Если подставим в x второй у, то x получится отрицательным, что нас не устраивает. Значит остается скорость велосипедиста 1/4. Значит время его будет равно : $$ \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$$
Задание 1281
Первые пять часов автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 246 км он преодолел за 3 часа, а последние 130 км проехал со скоростью 65 км/ч. Найдите среднюю скорость (в км/ч) автомобиля на всем пути.
Задание 2736
По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 800 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 45 секундам. Ответ дайте в метрах.
Пусть х - длина скорого поезда. $$\frac{0,8+x}{70+50}=\frac{45}{3600}$$
$$\frac{0,8+x}{120}=\frac{1}{80}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{0,8+x}{12}=\frac{1}{8}$$
$$6,4+8x=12$$ $$\Leftrightarrow$$ $$8x=5,6$$
$$\Leftrightarrow$$ $$x=0,7$$ км
Задание 2788
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Пусть х - скорость второго авто: $$\frac{44}{112-x}=\frac{48}{60}=\frac{4}{5}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$44\cdot5=112\cdot4-4x$$ $$220-44=-4x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=57$$
Задание 2942
Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.
Пусть расстояние до С равно у км, тогда СВ=150-у км. Пусть скорость автомобиля х км/ч, тогда скорость, с которой мотоцикл догоняет автомобиль 90-х км/ч, а расстояние между ними к моменту выезда мотоцикла: $$x\cdot0,5=0,5x$$ км. $$\left\{\begin{matrix}\frac{y}{x}-\frac{y}{90}=\frac{1}{2}\\\frac{150-y}{x}=\frac{y}{90}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y(\frac{1}{x}-\frac{1}{90})=\frac{1}{2}$$ $$y\cdot\frac{90-x}{x\cdot90}-\frac{1}{90})=\frac{1}{2}$$ $$y=\frac{90\cdot x}{2(90-x)}=\frac{45x}{90-x}$$ $$\frac{150-\frac{45x}{90-x}}{x}=\frac{\frac{45x}{90-x}}{90}$$ $$\frac{150(90-x)-45x}{x(90-x)}=\frac{45x}{(90-x)90}$$ $$150\cdot90(90-x)-45\cdot90\cdot x=45x^{2}$$ |:45 $$150\cdot2(90-x)-90x=x^{2}$$ $$27000-300x-90x=x^{2}$$ $$x^{2}+390x-27000=0$$ $$D=152100+108000=260100=510^{2}$$ $$x_{1}=\frac{-390+510}{2}=60$$ $$x_{2}<0$$ $$y=\frac{45\cdot 60}{90-60}=\frac{45\cdot 60}{30}=90$$
Задание 3074
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в гоорд В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 8 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 8 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Пусть х - скорость первого дня
$$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+8}=8$$
$$\frac{22,5}{x}-\frac{22,5}{x+8}=1$$
$$22,5x+180-22,5x=x^{2}+8x$$
$$x^{2}+8x-180=0$$ $$D=64+720=784$$
$$x_{1}=\frac{-8+28}{2}=10$$
$$x_{2}<0$$
Задание 3327
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.
Так как поезда двигаются в одном направлении, то мы можем рассматривать ситуацию, когда один поезд стоит, а второй двигается относительно первого со скоростью, равной разности их первоначальных скоростей, то есть товарный у нас стоит, а пассажирский двигается со скоростью 90 - 30 = 60 км/ч В таком случае передняя точка пассажирского поезда проходит сначала длину товарного, а затем собственную длину пассажирского, так как он прошел мимо товарного. То есть расстояние, если длину пассажирского принять за х км, будет равно х + 0,6 (0,6 - это 600 метров, выраженное в километрах), за время 1/60 часа ( это 1 минута ). Тогда: $$\frac{x+0,6}{60} = \frac{1}{60} $$ $$x+0.6 = 1$$ $$x = 0.4$$ - длина пассажирского в км. Тогда в метрах 0,4*1000=400 метров
Задание 3858
Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали с постоянными скоростями два автомобиля. Скорость первого автомобиля была в два раза больше скорости второго. Второй автомобиль прибыл в A на 1 час позже, чем первый прибыл в B. На сколько минут раньше произошла бы встреча автомобилей, если бы второй автомобиль ехал с той же скоростью, что и первый?
Пусть $$2x-v_{1}$$; $$x-v_{2}$$; $$S_{AB}=1$$
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{2x}=1$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2x}=1$$ $$\Leftrightarrow x=0,5$$
Пусть $$t_{1}$$ - время встречи в первом случае:
$$t_{1}=\frac{1}{0,5+2\cdot0,5}=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}$$
Пусть $$t_{2}$$ - во втором:
$$t_{2}=\frac{1}{2\cdot0,5+2\cdot0,5}=\frac{1}{2}$$
$$t_{1}-t_{2}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$ (ч) - разница
$$\frac{1}{6}\cdot60=10$$ минут
Задание 4015
Из города A в город B одновременно выехали два автомобиля: первый со скоростью 65 км/ч, а второй—со скоростью 60 км/ч. Через 4 минуты следом за ними выехал третий автомобиль. Найдите скорость третьего автомобиля, если известно, что с момента, когда он догнал второй автомобиль, до момента, когда он догнал первый автомобиль, прошло 40 минут. Ответ дайте в км/ч.
Пусть х - скорость 3го. К моменту выезда 3го первый прошел $$S_{1}=65\cdot\frac{24}{60}=26$$ км
Второй : $$S_{2}=65\cdot\frac{24}{60}=24$$
Время за которое догнал второго $$t_{2}=\frac{24}{x-60}$$
Первого: $$t_{1}=\frac{26}{x-65}$$
$$\frac{26}{x-65}-\frac{24}{x-60}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$$
$$\frac{26(x-60)-20(x-65)}{(x-65)(x-60)}=\frac{2}{3}$$
$$3(26x-1560-24x+1560)=2x^{2}-250x+7800$$
$$2x^{2}-256x+7800=0$$
$$x^{2}-128x+3900=0$$
$$D=16384-15600=784=28^{2}$$
$$x_{1}=\frac{128+28}{2}=78$$
$$x_{2}=\frac{128-28}{50}=50$$ - не может быть
Задание 4185
Петя сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 70 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?
Пусть $$S=1$$ - длина эскалатора; $$x$$ - скорость Пети в ступеньках, $$y$$ - скорость эскалатора
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=30\\\frac{1}{x-y}=70\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y=\frac{1}{30}\\x-y=\frac{1}{70}\end{matrix}\right.$$
Сложим уравнения: $$2x=\frac{1}{30}+\frac{1}{70}=\frac{10}{210}=\frac{1}{21}$$; $$x=\frac{1}{42}$$
Тогда насчитал бы: $$\frac{1}{\frac{1}{42}}=42$$
Задание 4816
Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть—со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть—со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Пусть 3S - полное расстояние. Тогда время на первом участке : $$t_{1}=\frac{S}{12}$$. На втором участке: $$t_{2}=\frac{S}{16}$$. На третьем участке время: $$t_{3}=\frac{S}{24}$$ Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени: $$v=\frac{3S}{\frac{S}{12}+\frac{S}{16}+\frac{S}{24}}=$$$$\frac{3S}{\frac{9S}{48}}=\frac{3S*48}{9S}=16$$
Задание 5006
Расстояние между городами A и B равно 550 км. Из города A в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 75 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.
Пусть х -время второго, тогда $$x+1$$ - время первого: $$50\cdot(x+1)+75x=550$$; $$125x+50=560$$; $$x=4$$; $$S=50\cdot(4+1)=250$$
Задание 5138
Первые 140 км автомобиль проехал со скоростью 50 км/ч, следующие 160 км – со скоростью 60 км/ч, а затем 120 км – со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
$$t_{1}=\frac{140}{50}=\frac{14}{5}$$; $$t_{2}=\frac{160}{60}=\frac{8}{3}$$; $$t_{3}=\frac{120}{100}=\frac{6}{5}$$; $$v=\frac{S}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}=$$ $$\frac{140+160+120}{\frac{14}{5}+\frac{8}{3}+\frac{6}{5}}=\frac{420}{\frac{20}{3}}=\frac{420\cdot3}{20}=63$$
Задание 5191
Два пешехода вышли одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Когда первый прошел половину пути, второму до конца пути оставалось еще 24 км. Когда второй прошел половину пути, первому до конца оставалось еще 15 км. Сколько километров останется пройти второму до А после того, как первый дойдет из А в В?
Пусть S - общее расстояние, х - скорость первого (тогда время до середины $$\frac{S}{2x}$$); у - скорость второго (его время до середины $$\frac{S}{2y}$$): $$\left\{\begin{matrix}\frac{S}{2x}\cdot y=S-24\\\frac{S}{2y}\cdot x=S-15\end{matrix}\right.$$ Умножим первое на второе: $$(S-24)(S-15)=\frac{S^{2}}{4}$$;
$$S^{2}-39S+360-\frac{S^{2}}{4}=0$$ $$|\cdot\frac{4}{3}$$
$$S^{2}-52S+480=0$$
$$\left\{\begin{matrix}S_{1}+S_{2}=52\\S_{1}\cdot S_{2}=480\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}S_{1}=40\\S_{2}=14\end{matrix}\right.$$
$$S_{2}$$ не может быть, т.к. $$S-24>0$$. Подставим $$S$$ в первое уравнение: $$\frac{40}{2x}\cdot y=40-24$$; $$\frac{20y}{x}=16$$ $$\Rightarrow$$ $$16x=20y$$ $$\Rightarrow$$ $$x=1,25y$$ или $$y=\frac{4}{5}x$$
Время, за которое первый пройдет $$S$$: $$t=\frac{S}{1,25y}$$. Тогда расстояние, которое пройдет второй за это время: $$S_{1}=\frac{S}{1,25y}\cdot y=\frac{S}{1,25}=\frac{40}{1,25}=32$$
Значит останется : $$40-32=8$$
Задание 5286
Расстояние между городами A и B равно 450 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 240 км от города A. Ответ дайте в км/ч.
Расстояние от города B: $$S_{B}=450-240=210$$км Время авто из города B: $$\frac{210}{70}=3$$ч Время авто из города A: $$3+1=4$$ч Скорость авто из города А: $$\frac{240}{4}=60$$км\ч
Задание 5334
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. К моменту их встречи первое тело проходит на 200 м больше, чем второе, и возвращается в точку А через 25 мин после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 36 мин после встречи.
Пусть S км - расстояние от B до места встречи. Тогда S+0,2 км расстояние от A до места встречи. Пусть x км/ч - скорость тела из А, у км/ч - скорость тела из В. Время движения до встречи у них одинаковое, тогда : $$\frac{S+0,2}{x}=\frac{S}{x}$$. Время, за которое первое тело доедет до В 25 минут или $$\frac{5}{12}$$ часа: $$\frac{S}{x}=\frac{5}{12}$$. Аналогично время, за которое второе доедет до А после встречи 36 минут или $$\frac{3}{5}$$ часа: $$\frac{S+0,2}{y}=\frac{3}{5}$$.
Выразим во втором и третьем уравнении х и у через S: $$x=\frac{12S}{5} ; y=\frac{5(S+0,2)}{3}$$. Подставим полученные выражения в первое уравнение: $$\frac{5(S+0,2)}{12S}=\frac{3S}{5(S+0,2)} \Leftrightarrow$$$$25(S+0,2)^{2}=36S^{2} \Leftrightarrow$$$$11S^{2}-10S-1=0$$.
Решим данное уравнение и получим, что $$S_{1}=1 ; S_{2} < 0 $$. В таком случае полное расстояние в км составит $$1+0,2+1=2,2$$, что в метрах равно 2200
Задание 5382
Часы со стрелками показывают 11 ч 00 мин. Через сколько минут минутная стрелка в двенадцатый раз поравняется с часовой?
Первоначально минутная стрелка отстает от часовой на 11/12 окружности (так как часовая стоит на 11 часах, а минутная на 0 часах). Тогда, разница в пройденном расстоянии минутной и часовой стрелками, к моменту, когда они первый раз поравняются (это будет в отметке 0 часов) будет составлять те самые 11/12 окружности. Далее же минутная стрелка с каждым разом будет опережать на один полный круг каждый раз, когда догонит часовую, и так должно произойти еще 11 раз. Если взять, что длина окружности круга равна 1, тогда минутная стрелка пройдет больше часовой на $$11+\frac{11}{12}$$ кругов. Выразим скорость минутной и часовой стрелки в частях окружности в минуту: один круг составляет 60 минут, следовательно, скорость минутной $$\frac{1}{60}$$ кругов в минуту. С другой стороны, круг составляет 12 часов по 60 минут, следовательно, скорость часовой $$\frac{1}{12*60}$$ кругов в минуту. Пусть t - время, за которое минутная обгонит часовую 12 раз, тогда: $$t*\frac{1}{60}-t*\frac{1}{12*60}=11+\frac{11}{12}\Leftrightarrow$$$$t*(\frac{12-1}{12*60})=\frac{12*11+11}{12} \Leftrightarrow$$$$t=\frac{13*11}{12} : \frac{11}{12*60} \Leftrightarrow$$$$t=780$$
Задание 6038
За первый час автомобиль проехал 100 км, следующие два часа он ехал со скоростью 90 км/ч, затем автомобиль сломался. Через час приехал эвакуатор и за шесть часов отвез его обратно к месту оправления. Найдите среднюю скорость автомобиля за все время путешествия.
1)$$S_{1}=100$$ км; $$S_{2}=2*90=180$$ км$$\Rightarrow S_{3}=\left ( 100+180 \right )*2=560$$ км 2)$$t_{1}=1; t_{2}=2; t_{3}=6;\Rightarrow t=1+2+6=9$$ часов –время движения. Еще было ожидание 1 час, тогда общее время: t=1+9=10 часов Средняя скорость: $$v=\frac{560}{10}=56$$ км\ч
Задание 6180
Велосипедист ехал сначала 3 минуты с горы, а затем 5 минут в гору. Обратный путь он проделал за 16 минут, двигаясь с горы и в гору с теми же скоростями, что и прежде. Во сколько раз скорость велосипедиста при движении с горы была больше, чем скорость в гору?
Пусть x км\м-скорость с горы, у км\м-в гору. Тогда общее расстояние с горы :3x; в гору: 5y. Тогда в обратную сторону время составит: $$\frac{3x}{y}+\frac{5y}{x}=16\Leftrightarrow$$ $$3x^{2}+5y^{2}=16xy|:y^{2}$$ $$\frac{3x^{2}}{y^{2}}=-16\frac{x}{y}+5=0$$,пусть $$\frac{x}{y}=a$$ $$3a^{2}-16a+5=0$$ $$D=256-60=196$$ $$a_{1}=\frac{16-15}{6}\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$y=3x$$-скорость в гору не может быть больше чем с горы. $$a_{2}=\frac{16+14}{6}=5\Rightarrow$$ $$x=5y$$ Скорость с горы не может быть меньше скорости в гору, следовательно, остается только $$x=5y$$, то есть в 5 раз
Задание 6227
Иван и Алексей договорились встретиться в Н‐ске. Они едут к Н‐ску разными дорогами. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот находится в 168 км от Н‐ска и едет с постоянной скоростью 72 км/ч. Иван в момент звонка находится в 165 км от Н‐ска и ещё должен по дороге сделать 30‐минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в Н‐ск одновременно с Алексеем?
Время Алексея: $$t_{1}=\frac{168}{72}=\frac{7}{3}$$. Т.к. Иван делает остановку $$\frac{1}{2}$$ часа, то время его движения : $$\frac{7}{3}-\frac{1}{2}=\frac{11}{6}$$(часа) Получаем $$\frac{165}{x}=\frac{11}{6}$$,где x(км\ч)-скорость Ивана $$x=\frac{168*6}{11}=90$$(км\ч)
Задание 6323
Две точки равномерно вращаются по окружности. Первая совершает оборот на 5 секунд быстрее второй и делает за минуту на 2 оборота больше, чем вторая. Сколько оборотов в минуту совершает вторая точка?
Пусть x-количество оборотов в минуту первой, y- количество оборотов в минуту второй, тогда если оборот принять за 1:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{5}{60} \\1*x-1*y=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{12} \\x=2+y(2)\end{matrix}\right.$$
Подставим (2) в первое уравнение:
$$\frac{1}{y}-\frac{1}{2+y}=\frac{1}{12}\Leftrightarrow$$ $$12(2+y-y)=2y+y^{2}\Leftrightarrow$$$$y^{2}+2y-24=0$$
$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=-2 \\y_{1}*y_{2}=-24 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=-6 \\y_{2}=4 \end{matrix}\right.$$
Отрицательной скорость быть не может, следовательно, второе тело совершает 4 оборота в минуту
Задание 6370
Из города A в город B одновременно выехали два автомобиля: первый со скоростью 80 км/ч, а второй—со скоростью 60 км/ч. Через полчаса следом за ними выехал третий автомобиль. Найдите скорость третьего автомобиля, если известно, что с момента, когда он догнал второй автомобиль, до момента, когда он догнал первый автомобиль, прошёл 1 час 15 минут. Ответ дайте в км/ч.
За полчаса первый проедет 40 км., второй 30 км. Тогда время , за которое догонит третий второго: $$t_{2}=\frac{30}{x-60}$$, первого: $$t_{1}=\frac{40}{x-80}$$, где x-км\ч скорость третьего
$$\frac{40}{x-80}-\frac{30}{x-60}=$$$$1\frac{15}{60}=\frac{5}{4}| : \frac{5}{4}$$
$$\frac{32}{x-80}-\frac{24}{x-60}=1\Leftrightarrow$$$$32x-60*32-24x+24*80=x^{2}-140x+4800\Leftrightarrow$$$$x^{2}-140x -8x+4800=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}-148x+4800=0\Leftrightarrow$$
D=21904-19200=2704
$$x_{1}=\frac{148+52}{2}=48<80$$
$$x_{2}=\frac{148+52}{2}=100$$ км/ч - скорость 3го
Задание 6417
Лида спустилась по движущемуся эскалатору за 24 секунды. По неподвижному эскалатору с той же скоростью относительно него она спустится 42 секунды. За сколько секунд она спустится, стоя на ступеньках движущегося эскалатора?
Пусть x (частей эскалатора в секунду)-скорость Лиды , y –скорость эскалатора . Тогда , если эскалатор взять за 1:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=24\\\frac{1}{x}=42\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}24x+24y=1\\x=\frac{1}{42}\end{matrix}\right.$$
$$24*\frac{1}{42}+y*24=1\Leftrightarrow$$$$24y=1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}\Leftrightarrow$$$$y=\frac{3}{7*24}=\frac{1}{56}$$
$$t_{y}=\frac{1}{\frac{1}{56}}=56$$ секунд
Задание 6465
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи.
Представим круг в виде отрезка с концами A и B. Пусть S –расстояние от B до места встречи, тогда S+0,1 км - из A. Пусть x км\ч –скорость тела из A, y км\ч из B. Первое тело до B доедет через 9 минут после встречи ,т.е. $$\frac{S}{x}=\frac{9}{60}(1)$$, второе до A через 16,т.е. $$\frac{S+0,1}{y}=\frac{16}{60}(2)$$
При этом , раз они встретились , то $$\frac{S+0,1}{x}=\frac{S}{y}(3)$$
Выразим в (1) и (2) x и y:
$$(1): x=\frac{60S}{9}=\frac{20 S}{3}$$
$$(2) :y=\frac{15(S+0,1)}{4}$$
Представим в (3) :$$\frac{3(S+0,1)}{20S}=\frac{4S}{15(S+0,1)}$$
$$45(S+0,1)^{2}=80S^{2}|*5$$
$$9(S+0,1)^{2}=16S^{2}$$
$$\left\{\begin{matrix}3(S+0,1)=4S\\3(S+0,1)=-4S\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3S+0,3=4S\\ \varnothing\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow S=0,3$$
Тогда вся трасса 0,3+0,1+0,3=0,7 км. Или 700 метров.
Задание 6802
Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
$$t_{1}=\frac{190}{50}=\frac{19}{5}$$ часа
$$t_{2}=\frac{180}{90}=2$$ часа
$$t_{3}=\frac{170}{100}=\frac{17}{10}$$ часа
$$S=190+180+170=540$$ км.
$$v=\frac{S}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}=\frac{540}{3,8+2+1,7}=72$$ км\ч
Задание 6822
Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час после этого—третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.
Пусть x км\ч –скорость третьего . К моменту его выезда, первый ехал 2 часа, и проехал 15*2=30км , второй- 1 час $$\Rightarrow$$ 10*1=10 км. Тогда:
$$t_{2}=\frac{10}{x-10}$$ - время , через которое третий догонит второго.
$$t_{1}=\frac{30}{x-15}$$ - первого.
$$t_{1}-t_{2}=2\frac{20}{60}\Leftrightarrow$$ $$\frac{30}{x-15}-\frac{10}{x-10}=\frac{7}{3}\Leftrightarrow$$ $$3(30x-300-10x+150)=7(x^{2}-25x+150)\Leftrightarrow$$ $$60x-450=7x^{2}-175x+1050\Leftrightarrow$$ $$7x^{2}-235x+1500=0$$
$$D=55225-42000=13225=115^{2}$$
$$x_{1}=\frac{235+115}{14}=25$$
$$x_{2}=\frac{235-115}{14}=\frac{60}{7}$$ < скорости первого, не подходит
Задание 6921
Товарный поезд движется со скоростью 35 км/ч. По соседним путям его обгоняет электричка, идущая со скоростью 95 км/ч. Длина товарного поезда равна 780 м. Найдите длину электрички (в метрах), если известно, что мимо товарного поезда она прошла за 54 секунды.
Пусть x км. - длина электрички , тогда $$t=\frac{S}{v}$$, где S км.- сумма длин поездов ,v км\ч. –разность скоростей, t ч. –время обгона.
$$\frac{54}{3600}=\frac{0,78+x}{95-35}\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{200}=\frac{0,78+x}{60}\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{20}=\frac{0,78+x}{6}\Leftrightarrow$$ $$15,6+20x=18\Leftrightarrow$$ $$20x=2,4\Leftrightarrow$$ $$x=0,12$$ км. $$\Rightarrow$$ 120 метров
Задание 6969
Из пункта F круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 15 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Пусть x км\ч– скорость велосипедиста , y км\ч – скорость мотоциклиста. Раз выехал через 30 минут (0,5 часа) и догнал через 15 минут (0,25 часа) , то: $$(0,5+0,25)x=0,25y\Leftrightarrow$$$$y=3x$$. Раз второй раз догнал (опередил на 30 км.) через 30 минут (0,5 часа) , то: $$0,5y-0,5x=30\Leftrightarrow$$$$y-x=60$$. Тогда : $$3x-x=60\Rightarrow$$ $$x=30\Rightarrow$$ $$y=90$$
Задание 7036
Товарный поезд каждую минуту проезжает на 500 метров меньше, чем скорый, и на путь в 120 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.
За минуту на 500м =0,5 км. , следовательно, за час: 0,5*60=30км. Пусть x км\ч – скорость товарного, тогда x+30 км\ч – скорость скорого. $$\frac{120}{x}$$ - время товарного , $$\frac{120}{x+30}$$ – время скорого.
$$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+30}=2\Leftrightarrow$$ $$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+30}=1\Leftrightarrow$$$$60x+1800-60x=x^{2}+30x\Leftrightarrow$$ $$x^{2}+30x-1800=0$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-30\\x_{1}*x_{2}=-1800\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=-60\\x_{2}=30\end{matrix}\right.$$.
Скорость не может быть отрицательной $$\Rightarrow$$ 30 км/ч
Задание 7057
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 120 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Пусть x км\ч –скорость второго. Тогда время в часах , за которое первый опережает второго на S км. :$$ t=\frac{S}{120-x}$$, следовательно, $$\frac{10}{120-x}=\frac{20}{60}\Leftrightarrow$$ $$\frac{10}{120-x}=\frac{10}{30}\Leftrightarrow$$ $$120-x=30\Leftrightarrow$$ $$x=90$$
Задание 7177
Сцепленные зубчатые колеса вместе в сумме делают 240 оборотов в минуту. Найдите количество зубьев у второго колеса, если у первого их 100, и делает оно на 80 оборотов в минуту больше, чем второе колесо.
Пусть x-количество оборотов второго колеса, тогда $$x+80$$ - первого и $$x+x+80=240\Leftrightarrow$$ $$2x=160$$$$\Leftrightarrow$$ $$x=80$$ - второе колесо, 160-первое.
Первое колесо за 160 оборотов пройдет $$160*100=16000$$ зубьев. Второе пройдет столько же, но за 80 оборотов, следовательно , у него $$\frac{16000}{80}=200$$ зубьев.
Задание 7409
Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали с постоянными скоростями два автомобиля. Скорость первого автомобиля была в полтора раза больше скорости второго. Второй автомобиль прибыл в A на 5 часов позже, чем первый прибыл в B. На сколько минут раньше произошла бы встреча автомобилей, если бы второй автомобиль ехал с той же скоростью, что и первый?
Задание 7728
Расстояние между городами А и В равно 80 км. Из А в В выехала машина, а через 20 минут – мотоциклист, скорость которого равна 90 км/ч. Мотоциклист догнал машину в пункте С и повернул обратно. Когда машина прибыла в В, мотоциклист проехал половину пути от С до А. Найти расстояние от С до А.
Задание 8234
Скорость первого бегуна на 4 км/ч больше скорости второго, а 1 км первый бегун преодолевает на 30 секунд быстрее, чем второй. За какое время (в секундах) первый бегун пробежит 800 м?
Задание 8284
Для того, чтобы успеть к началу занятий в университете по московским пробкам, Сюзанна Зайцева выезжает из дома на своем автомобиле «Бугатти» в 8:30. Расстояние до университета 20 км. Весь путь Сюзанна едет с постоянной скоростью. Однако, проехав 15 км, Сюзанна вспомнила, что надела туфли не одного цвета с сумочкой. Мгновенно развернувшись, Сюзанна поехала обратно домой, но из‐за пробки ей пришлось снизить скорость на 50 км/ч. Приехав домой и проведя там 15 минут, Сюзанна поехала в университет с той же скоростью, что и в первый раз. Найдите эту скорость (в км/ч), если Сюзанна приехала в университет ровно к началу занятий в 10.00.
Задание 8757
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 25 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 30 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Задание 8776
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 час позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Задание 8869
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 36 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 12 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 27 км. Ответ дайте в км/ч.
Задание 8910
Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,5 км от дома. Один идёт со скоростью 3,6 км/ч, а другой — со скоростью 4,8 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.
Задание 9159
Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу, один из пункта А в пункт Б, другой из Б в А. Каждый шёл с постоянной скоростью и, придя в конечный пункт, немедленно поворачивал обратно. Первый раз они встретились в 12 км от Б, второй раз – в 6 км от А через 6 часов после первой встречи. Найдите расстояние между пунктами А и Б.
Задание 9243
Автомобиль выехал с постоянной скоростью 72 км/ч из города А в город В, расстояние между которыми равно 246 км. Одновременно с ним из города С в город В, расстояние между которыми равно 221 км, с постоянной скоростью выехал мотоциклист. По дороге он сделал остановку на 35 минут. В результате автомобиль и мотоцикл прибыли в город В одновременно. Найдите скорость мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.
Задание 9380
Расстояние между городами А и В равно 500 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 260 км от города А. Ответ дайте в км/ч.
Задание 9873
Грузовик и гоночный автомобиль выехали одновременно из пункта A и должны прибыть в пункт C. Грузовик, двигаясь с постоянной скоростью, доехал до пункта C, проделав путь, равный 360 км. Гоночный автомобиль поехал по окружной дороге и сначала доехал до пункта B, расположенного в 120 км от пункта A, двигаясь со скоростью, вдвое большей скорости грузовика. После пункта B он увеличил свою скорость на 40 км/ч и проехал путь от пункта B до пункта C, равный 1000 км. Он прибыл в пункт C на 1 час 15 минут позднее грузовика. Если бы гоночный автомобиль весь свой путь от пункта A до пункта C ехал с той же скоростью, что и от пункта B до пункта C, то в пункт C он прибыл бы на 1 час позднее грузовика. Найти скорость грузовика.
Задание 9945
Из города в деревню одновременно отправились бегун Б и пешеход П1 , а в тот же момент из деревни в город вышел пешеход П2. Скорости пешеходов были равны. Встретившись, Б и П2 некоторое время стояли на месте, а затем направились в деревню. При этом Б побежал с прежней скоростью, равной 12 км/ч, а П2 уменьшил свою скорость в полтора раза. В результате в деревню сначала прибежал Б, а затем через промежуток времени, в два раза больший длительности встречи Б и П2, одновременно пришли оба пешехода. Найти скорость пешехода П1 .
Задание 10070
Из пункта A в пункт B со скоростью 80 км/ч выехал автомобиль, а через некоторое время с постоянной скоростью выехал второй. После остановки на 20 минут в пункте B второй автомобиль поехал с той же скоростью назад, через 48 км встретил первый автомобиль, шедший навстречу, и был на расстоянии 120 км от B в момент прибытия в B первого автомобиля. Найти расстояние от A до места первой встречи автомобилей, если AB = 480 км.
Задание 10093
Два поезда выехали одновременно в одном направлении из городов A и B, расположенных на расстоянии 60 км друг от друга, и одновременно прибыли на станцию C. Если бы один из них увеличил свою скорость на 25 км/ч, а другой – на 20 км/ч, то они прибыли бы одновременно на станцию C, но на 2 часа раньше. Найдите скорости поездов в км/ч, в ответе укажите их сумму.
Задание 10112
Пункты A,B,C и D расположены на одной прямой в указанной последовательности. Пешеход выходит из пункта A со скоростью 5 км/час и направляется в пункт D. Достигнув пункта D, он поворачивает обратно и доходит до пункта B, затратив на всю дорогу 5 час. Известно, что расстояние между A и C он прошел за 3 часа, а расстояния между A и B, B и C, C и D (в заданном порядке) образуют геометрическую прогрессию. Найти расстояние между B и C в километрах.
Задание 10150
В гору ехал автомобиль. В первую секунду после достижения пункта A он проехал 30 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем в предыдущую. Через 9 с после того, как автомобиль достиг пункта A, навстречу ему выехал автобус из пункта B, находящегося на расстоянии 258 м от пункта A. В первую секунду автобус проехал 2 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 1 м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние в метрах проехал автобус до встречи с автомобилем?
Задание 10284
Поезд отправился со станции А, проследовал через станции В и С, прибыл на станцию D. Пусть ВС больше АВ на 1/4 часть АВ, а CD на 60% меньше ВС. Найдите среднюю скорость поезда на пути AD, если его скорость на АВ, ВС и CD равнялась соответственно 80 км/ч, 100 км/ч, 180 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Задание 10573
Два велосипедиста с постоянными скоростями стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы. Через 10 минут после старта один из велосипедистов в первый раз догнал другого. Через какое время после старта первый велосипедист во второй раз догонит другого? Ответ дайте в минутах.
Задание 10857
Расстояние между городами А и В равно 630 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города А. Ответ дайте в км/ч.
Задание 11017
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 68 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 6 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 15 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.
Пусть $$x$$ - скорость первого гонщика, а $$y$$ - скорость второго гонщика. Они оба проехали 68 кругов по 6 км каждый круг, т.е. расстояние $$S=68\cdot 6=408$$ км. Время первого гонщика составило $$\frac{408}{x}$$, а время второго $$\frac{408}{y}$$. Известно, что первый гонщик пришел на 15 минут раньше второго, т.е. на $$\frac{1}{4}$$ часа быстрее, получаем уравнение $$\frac{408}{y}-\frac{408}{x}=\frac{1}{4}.$$
Также в задаче сказано, что первый гонщик впервые обогнал на круг (на 6 км) второго через 60 минут (1 час), следовательно, $$x-y=6.$$
Получаем систему уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{408}{y}-\frac{408}{x}=\frac{1}{4} \\ x-y=6 \end{array} \right.$$
Найдем скорость второго гонщика, т.е. y, получим: $$x=6+y$$ подставляем в первое уравнение $$\frac{408}{y}-\frac{408}{6+y}=\frac{1}{4}\to \frac{2448+408y-408y}{6y+y^2}=\frac{1}{4}\to y^2+6y-9792=0.$$ Решаем квадратное уравнение, получаем два корня $$y_1=96;\ y_2=-102.$$ Так как скорость не должна быть отрицательной, то получаем значение скорости второго гонщика 96 км/ч.
Задание 11765
Из пункта A в пункт B, расположенный в 24 км от A, одновременно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в B на 4 ч раньше пешехода. Если бы велосипедист ехал со скоростью, меньшей на 4км/ч, то на путь из A в B он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода.
Задание 12309
Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 63 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью, большей скорости первого на 22 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Задание 12449
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 25 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 30 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Задание 12468
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 час позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Задание 12529
Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,5 км от дома. Один идёт со скоростью 3,6 км/ч, а другой - со скоростью 4,8 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.
Задание 12791
Расстояние между городами А и В равно 490 км. Из города А в город В со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.
Задание 12872
Расстояние между городами А и В равно 500 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 260 км от города А. Ответ дайте в км/ч.
Задание 12891
От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 208 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью на 3 км/ч большей отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
Задание 13367
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 105 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.
Задание 13386
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 135 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 9 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Задание 14025
Расстояние между городами А и В равно 180 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 3 часа следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.
Задание 14377
Из пункта A по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна и составляет 6/5 скорости грузовика. Через 30 минут вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью 90 км/час. Найти скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на один час раньше, чем легковой автомобиль.
